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几何学基础: 向量与欧氏空间(2)

右手系, 这里的 “依次序替换为” 是指从 $\vec{e_x}$ 的正向看向原点 $\vec{e_y}$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 到 $\vec{e_z}$. 这里借用 3D计算器 看非常直观. 2.3.3.zy1, 设想现在有向量 $\vec u = \overrightarrow{OU}, \vec v = \overrightarrow{OV}, \vec w=...

Posted by w@hidva.com on June 23, 2024

几何学基础: 向量与欧氏空间(1)

定理 2.1.12, 略作补充 这里对于 $\forall \tau \in \mathcal{T}$, 我一开始是用 $\tau$ 的平移向量作为映射后的结果. 即我假定了 $\tau$ 平移向量总是存在的. 这其实是不对的, 原文正确证明了平移向量一定存在. 2.1.12.zy1, 考虑映射 $f: X \to Y, g: Y \to X$ 若 $f...

Posted by w@hidva.com on June 23, 2024

几何学基础: 群的概念/向量空间

A.2 这里接着 代数学基础: 群论基础(2) 看下商群等概念定义. 香蕉空间-陪集, 左陪集 $G/H = {gH, g \in G}$. 右陪集 $H \setminus G = {Hg, g \in G}$. A.2.zy1, 左陪集, 右陪集之间存在自然双射. 证明: 令 $f: G/H \to H \setminus G: gH \to Hg^{-1}$. 易见 f 是个满射...

Posted by w@hidva.com on June 23, 2024

几何学基础: 几何与公理化

​几何学基础是我目前重建数学知识体系学习计划的一部分, 也是目前遇到自学起来较吃力的了, 主要是离公理太近了, 参考资料就很少, 我这里参考的两本书一本是 1930 年一本是 1960 年的! 毕竟现在很少有人再关心为啥平面内过一点做直线L的垂线, 垂线只有一条这种非常大众化的知识了… 我这里采用的教材是王作勤几何学基础讲义, 在我看来这本书除了部分细节缺失之外是本很好的教材, 让我对...

Posted by w@hidva.com on June 23, 2024

代数学基础: 整环上的多项式(2)

关于多项式未定元的理解, 在 2.2.3 中定义的交换环 R 上的多项式环 R[x] 中, 我理解 x 是对 R 中元素的代值; 但其实 x 就是未定元, 其语义要在多项式使用时根据上下文来确定. 基于此来理解 $R[x_1, x_2]$, 即 $R[x_1][x_2], a_n x_2^n + \cdots + a_0$, 我之前理解 $a_n, \cdots, a_0 \in R[x_1...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 整环上的多项式(1)

定理 9.1, 略作补充: 整数环与有理数域多项式行为上的不一致, 我认为就如同我在定理 5.15 所理解的: 对于一般的环, 多项式的拉格朗日定理不成立的原因; 我认为是一般的环上, 定理 5.3 带余除法不成立, 主要是一般的环上 $b_m$ 不一定存在逆元, 即 $a_n b_m^{-1}$ 不一定有意义. 所以定理 9.1 加了要求, $b_m ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 素数域上的算术(3)

8.3 采用高斯引理对二次互反律的证明 利用几何图形证明公式 (8.19) 有意思. 这里对角线对应着 $y = \frac{q}{p}x, \left \lfloor \frac{iq}{p} \right \rfloor$ 为点 $(i, \frac{iq}{p})$ 作垂直 x 轴的直线上包含的整点数. 所以 $\sum_i \frac{iq}{p}$ 就是下面三角形内包含的整点数....

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 素数域上的算术(2)

定理 8.7, 略作补充 $m = m_1 \cdot m_2, m_1, m_2 \gt 2, (m_1, m_2) = 1$, 证明下这里 m 总能分解出满足条件的 $m_1, m_2$. 证明: 从定理 3.17 可以看出 $m = 2^{v_2(m)}\prod_{p \gt 2}p^{v_p(m)}$. 若 $v_2(m) = 0$, 则由上下文易知 m 一定可以分为 ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 素数域上的算术(1)

定理 8.2, 略作补充 $S(d) = \varphi(d)$ 证明: 假设存在两个元素 $a, b, \langle a \rangle \ne \langle b \rangle$, 此时易见 a, b 生成群都是 $x^d - 1$ 的解, 即解的个数为 2d. 根据 5.15 拉格朗日定理可知解最多为 d 个, 矛盾! 所以意味着 $\langle a \rangle ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 置换群(2)

7.21.zy1 置换群中奇置换, 偶置换个数一致. 证明: 令置换群所有奇置换组成的集合记为 $B_n$, 定义映射 $H(f) = f(1,2), f \in A_n$, 这里 f(1,2) 为置换 f 与对换 (1, 2) 的复合. 由 7.15.zy2 可知此时 $H(f) \in B_n$. 若对于 $f_1, f_2 \in A_n; g_1=H(f_1), g_2=H(f_2...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 置换群(1)

7.5.zy1, 证明任一置换都可以唯一地写为两两不相交轮换之积. 证明: 这里主要证明唯一性. 若置换 $\sigma$ 是单位元恒等变换, 则显然可得结论, 虽然这里 $\sigma=(1)=(2)=\cdots=(n)$, 但其实 $(1),(2)\dots$ 这些 1 轮换都是相同的映射. 现在考虑置换不是恒等变换情况, 则存在 $i_1, \sigma(i_1) \ne i_1$...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 群论基础(2)

这里接着命题 6.8 研究下同余方程 $ax \equiv b \mod m$ 解的问题, 由命题 4.9 同余方程我们知道仅当 $d=(a,m) \mid b$ 时我们才有解; 这里介绍下会有多少解, 以及解具体是什么? 6.8.zy1, 在 $d=(a,m)=1$ 时 $ax \equiv b \mod m$ 有对模 m 的唯一解. 即若 $ax_0 \equiv b \mod m, ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 群论基础(1)

定义 6.1, 略作补充 包含 g 的最小子群, 这里 “小” 应该是按照集合包含关系定义的偏序中小于的意思. 并不是集合元素个数. S 生成的子群, 是包含 S 的最小子群, 群中任意元素都可以写作 S 中元素的乘积. 6.1.zy1, 我们定义符号 $g^k, g\in G, k\in \mathbb{Z}$ 如原文所示. 则 $\fora...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

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