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代数学基础: 整环上的多项式(1)

定理 9.1, 略作补充: 整数环与有理数域多项式行为上的不一致, 我认为就如同我在定理 5.15 所理解的: 对于一般的环, 多项式的拉格朗日定理不成立的原因; 我认为是一般的环上, 定理 5.3 带余除法不成立, 主要是一般的环上 $b_m$ 不一定存在逆元, 即 $a_n b_m^{-1}$ 不一定有意义. 所以定理 9.1 加了要求, $b_m ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 素数域上的算术(3)

8.3 采用高斯引理对二次互反律的证明 利用几何图形证明公式 (8.19) 有意思. 这里对角线对应着 $y = \frac{q}{p}x, \left \lfloor \frac{iq}{p} \right \rfloor$ 为点 $(i, \frac{iq}{p})$ 作垂直 x 轴的直线上包含的整点数. 所以 $\sum_i \frac{iq}{p}$ 就是下面三角形内包含的整点数....

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 素数域上的算术(2)

定理 8.7, 略作补充 $m = m_1 \cdot m_2, m_1, m_2 \gt 2, (m_1, m_2) = 1$, 证明下这里 m 总能分解出满足条件的 $m_1, m_2$. 证明: 从定理 3.17 可以看出 $m = 2^{v_2(m)}\prod_{p \gt 2}p^{v_p(m)}$. 若 $v_2(m) = 0$, 则由上下文易知 m 一定可以分为 ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 素数域上的算术(1)

定理 8.2, 略作补充 $S(d) = \varphi(d)$ 证明: 假设存在两个元素 $a, b, \langle a \rangle \ne \langle b \rangle$, 此时易见 a, b 生成群都是 $x^d - 1$ 的解, 即解的个数为 2d. 根据 5.15 拉格朗日定理可知解最多为 d 个, 矛盾! 所以意味着 $\langle a \rangle ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 置换群(2)

7.21.zy1 置换群中奇置换, 偶置换个数一致. 证明: 令置换群所有奇置换组成的集合记为 $B_n$, 定义映射 $H(f) = f(1,2), f \in A_n$, 这里 f(1,2) 为置换 f 与对换 (1, 2) 的复合. 由 7.15.zy2 可知此时 $H(f) \in B_n$. 若对于 $f_1, f_2 \in A_n; g_1=H(f_1), g_2=H(f_2...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 置换群(1)

7.5.zy1, 证明任一置换都可以唯一地写为两两不相交轮换之积. 证明: 这里主要证明唯一性. 若置换 $\sigma$ 是单位元恒等变换, 则显然可得结论, 虽然这里 $\sigma=(1)=(2)=\cdots=(n)$, 但其实 $(1),(2)\dots$ 这些 1 轮换都是相同的映射. 现在考虑置换不是恒等变换情况, 则存在 $i_1, \sigma(i_1) \ne i_1$...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 群论基础(2)

这里接着命题 6.8 研究下同余方程 $ax \equiv b \mod m$ 解的问题, 由命题 4.9 同余方程我们知道仅当 $d=(a,m) \mid b$ 时我们才有解; 这里介绍下会有多少解, 以及解具体是什么? 6.8.zy1, 在 $d=(a,m)=1$ 时 $ax \equiv b \mod m$ 有对模 m 的唯一解. 即若 $ax_0 \equiv b \mod m, ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 群论基础(1)

定义 6.1, 略作补充 包含 g 的最小子群, 这里 “小” 应该是按照集合包含关系定义的偏序中小于的意思. 并不是集合元素个数. S 生成的子群, 是包含 S 的最小子群, 群中任意元素都可以写作 S 中元素的乘积. 6.1.zy1, 我们定义符号 $g^k, g\in G, k\in \mathbb{Z}$ 如原文所示. 则 $\fora...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 域上的多项式环(3)

定理 5.23, 中国剩余定理的证明, 在整数中, 是在引入公倍数概念以及相关定理之后利用这些定理证明了整数的中国剩余定理. 但对于多项式, 尚未引入公倍式概念. 我们仿照下引入最小公倍式. 最小公倍式, 设 F[x] 中有 f(x), g(x); 她俩的最小公倍式是指满足如下条件的首一多项式 $[f(x), g(x)] = d(x) \in F[x]$: d(x) 是 f(x),...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 域上的多项式环(2)

定理 5.16, 韦达定理, 这里证明一下 (2) 证明: 只要我们能证明 $\prod_{i=1}^n(x - x_i)$ 中 $x^{n-k}$ 的系数是 $(-1)^k \sum_{1 \le i_1 \lt i_2 \lt \cdots \lt i_k \le n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}$ 即可. 即: \[\begin{align} \prod...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 域上的多项式环(1)

域 F 上的多项式环是整环, 但不是域; 主要原因是对于一个多项式 $x^3$, 其并不存在乘法逆元. 定理 5.3, 带余除法, 略作补充 deg r >= deg g 的说明. 此时 $a_n \ne 0, b_m \ne 0$, 所以其均存在乘法逆元 $a_n^{-1}, b_m^{-1}$. $\frac{a_n}{b_m}$ 等同于 $a_n b_m^{-1}$...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 整数的同余理论(3)

模 m 求幂, 略作补充. 原文要解决的问题是给定 a, n, m 求 $a^n$ 除以 m 所得余数. 解: $a^n = a^{n_0} \cdot a^{2n_1} \cdot a^{4n_2} \cdots a^{2^kn_k}$, 由命题 4.6(2) 可知一旦我们知晓了 $a^{2^in_i}$ 除以 m 所得余数为 $c_i$, 即 $a^{2^in_i} \equiv c_...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 整数的同余理论(2)

引理 4.25, 对于任意素数 p, $k \in [1, p), p \mid \binom{p}{k}$. 这个引理忽然让我想到一个问题, 我好像还没证过 $\binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!}$ 一定是一个整数来着… 4.25.zy1, 对于自然数 1 < m <= n, 一定存在 k 使得 $m^k \le n \lt m^{k+1}$....

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

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