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代数学基础: 域上的多项式环(3)

定理 5.23, 中国剩余定理的证明, 在整数中, 是在引入公倍数概念以及相关定理之后利用这些定理证明了整数的中国剩余定理. 但对于多项式, 尚未引入公倍式概念. 我们仿照下引入最小公倍式. 最小公倍式, 设 F[x] 中有 f(x), g(x); 她俩的最小公倍式是指满足如下条件的首一多项式 $[f(x), g(x)] = d(x) \in F[x]$: d(x) 是 f(x),...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 域上的多项式环(2)

定理 5.16, 韦达定理, 这里证明一下 (2) 证明: 只要我们能证明 $\prod_{i=1}^n(x - x_i)$ 中 $x^{n-k}$ 的系数是 $(-1)^k \sum_{1 \le i_1 \lt i_2 \lt \cdots \lt i_k \le n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}$ 即可. 即: \[\begin{align} \prod...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 域上的多项式环(1)

域 F 上的多项式环是整环, 但不是域; 主要原因是对于一个多项式 $x^3$, 其并不存在乘法逆元. 定理 5.3, 带余除法, 略作补充 deg r >= deg g 的说明. 此时 $a_n \ne 0, b_m \ne 0$, 所以其均存在乘法逆元 $a_n^{-1}, b_m^{-1}$. $\frac{a_n}{b_m}$ 等同于 $a_n b_m^{-1}$...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 整数的同余理论(3)

模 m 求幂, 略作补充. 原文要解决的问题是给定 a, n, m 求 $a^n$ 除以 m 所得余数. 解: $a^n = a^{n_0} \cdot a^{2n_1} \cdot a^{4n_2} \cdots a^{2^kn_k}$, 由命题 4.6(2) 可知一旦我们知晓了 $a^{2^in_i}$ 除以 m 所得余数为 $c_i$, 即 $a^{2^in_i} \equiv c_...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 整数的同余理论(2)

引理 4.25, 对于任意素数 p, $k \in [1, p), p \mid \binom{p}{k}$. 这个引理忽然让我想到一个问题, 我好像还没证过 $\binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!}$ 一定是一个整数来着… 4.25.zy1, 对于自然数 1 < m <= n, 一定存在 k 使得 $m^k \le n \lt m^{k+1}$....

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 整数的同余理论(1)

4.2.zy1, $a \equiv b \mod m$ 当且仅当在定理 3.3 带余除法表示中 $a = mq_1 + r_1, b = mq_2 + r_2, r_1 = r_2$. 证明: 若 $a \equiv b \mod m$, 即 $m \mid a - b$, 即 $a - b = mk, a = b + mk = mq_2 + r_2 + mk = m(q_2 + k) ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 整数理论(1)

定理 3.3, 设 r 是 I 中最小的自然数. 等等这里为什么敢假设 I 中存在最小自然数? 这是因为 $I \cap N \subseteq N$ 是良序集, 所以存在最小元素. 命题 3.5(1), 这里 $(\pm a, \pm b)$ 是指 (+a, +b), (+a, -b), (-a, +b), (-a, -b); 以 (+a, -b) = (a, b) 为例证. 证明: ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 群, 环, 域

早在去年甚至更久的时候, 出于某些原因, 我一直想重建下自己的数学知识体系. 中科大培养方案, 中科大评课社区 给了我非常大的帮助! 真的是非常感谢他们. 本系列文章是对欧阳毅老师代数学基础教材的学习. P.S. 唉我当时以为代数学基础嘛, 基础嘛? 能有多难, 132页, 我一周拿下. 没想到最后花了我将近 10 天的功夫== 定义 2.1, 这里群的定义缺少一个封闭性: ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

陶哲轩实分析: 再看三角函数

在完成陶哲轩 analysis 卷 ii, 4.7 三角函数之后就有一个问题困扰着我, 陶老师在这里通过级数定义的 sin/cos 与我初中时学过的通过几何形式定义的 sin/cos 是否是等价的? 当然答案肯定是等价的, 但如何证明是等价的一直困扰着我. 当时一直迫切于完成陶老师 analysis ii 所有章节的学习, 对这个问题没有深入探究下去. 现在在完成了 analysis ii ...

Posted by w@hidva.com on May 26, 2024

陶哲轩实分析: 富比尼定理(2)

本文章介绍了对富比尼定理的证明. 已知: 若 f 非负且绝对可积则其满足富比尼定理. 求证当 f 绝对可积时, 仍满足富比尼定理. 证明: 根据定义 19.3.2 可知此时 $f^+, f^-$ 也绝对可积且非负, 所以满足富比尼定理. 令 $F^+, F^-$ 分别为为富比尼定理中 $f^+, f^-$ 对应的函数 F. 此时 $\forall x \in R\setminu...

Posted by w@hidva.com on May 26, 2024

陶哲轩实分析: 富比尼定理(1)

本文章介绍了对富比尼定理的理解以及其用处, 下一篇文章会介绍富比尼定理的证明. 19.5 原文提到 $\int_\Omega f = \int_{R^2} f \chi_\Omega$, 但并未做任何证明. 这里我们补充下这个小结论. 19.5.zy1, f 在 $\Omega$ 上非负可测, 现有 $\Omega_1, \Omega_2$ 可测, $\Omega_1 \cup \Ome...

Posted by w@hidva.com on May 26, 2024

陶哲轩实分析: 勒贝格积分(1)

本文章介绍了 陶哲轩, analysis ii, 第 8 章, 勒贝格积分前 3 节内容. 定义 19.1.1, 这里 $f^{-1}(c_j)$ 是可测的, 证明见引理 19.1.4. 引理 19.1.4 也说明了若 $f = \sum_{i=1}^Nc_i\chi_{E_i}$, 则 f 是简单函数. 引理 19.1.5, 这里对原文证明过程做一些解释. $f_n(x)$ 是...

Posted by w@hidva.com on May 26, 2024

陶哲轩实分析: 勒贝格测度(2)

本文章介绍了陶哲轩实分析, analysis ii, 第 7 章勒贝格测度后 2 节读书笔记. 引理 18.4.2, 这里原文证明的不对. $\bigcup_{j \in J}B_j$ 只是 open 并不是 box, 所以此时习题 7.4.2 的结论对 $\bigcup_{j \in J}B_j$ 并不一定成立. 我的证明: 令 $E = {(x_1, \cdots, x_n) \in...

Posted by w@hidva.com on May 19, 2024

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