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代数学基础: 素数域上的算术(1)

定理 8.2, 略作补充 $S(d) = \varphi(d)$ 证明: 假设存在两个元素 $a, b, \langle a \rangle \ne \langle b \rangle$, 此时易见 a, b 生成群都是 $x^d - 1$ 的解, 即解的个数为 2d. 根据 5.15 拉格朗日定理可知解最多为 d 个, 矛盾! 所以意味着 $\langle a \rangle ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 置换群(2)

7.21.zy1 置换群中奇置换, 偶置换个数一致. 证明: 令置换群所有奇置换组成的集合记为 $B_n$, 定义映射 $H(f) = f(1,2), f \in A_n$, 这里 f(1,2) 为置换 f 与对换 (1, 2) 的复合. 由 7.15.zy2 可知此时 $H(f) \in B_n$. 若对于 $f_1, f_2 \in A_n; g_1=H(f_1), g_2=H(f_2...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 置换群(1)

7.5.zy1, 证明任一置换都可以唯一地写为两两不相交轮换之积. 证明: 这里主要证明唯一性. 若置换 $\sigma$ 是单位元恒等变换, 则显然可得结论, 虽然这里 $\sigma=(1)=(2)=\cdots=(n)$, 但其实 $(1),(2)\dots$ 这些 1 轮换都是相同的映射. 现在考虑置换不是恒等变换情况, 则存在 $i_1, \sigma(i_1) \ne i_1$...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 群论基础(2)

这里接着命题 6.8 研究下同余方程 $ax \equiv b \mod m$ 解的问题, 由命题 4.9 同余方程我们知道仅当 $d=(a,m) \mid b$ 时我们才有解; 这里介绍下会有多少解, 以及解具体是什么? 6.8.zy1, 在 $d=(a,m)=1$ 时 $ax \equiv b \mod m$ 有对模 m 的唯一解. 即若 $ax_0 \equiv b \mod m, ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 群论基础(1)

定义 6.1, 略作补充 包含 g 的最小子群, 这里 “小” 应该是按照集合包含关系定义的偏序中小于的意思. 并不是集合元素个数. S 生成的子群, 是包含 S 的最小子群, 群中任意元素都可以写作 S 中元素的乘积. 6.1.zy1, 我们定义符号 $g^k, g\in G, k\in \mathbb{Z}$ 如原文所示. 则 $\fora...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 域上的多项式环(3)

定理 5.23, 中国剩余定理的证明, 在整数中, 是在引入公倍数概念以及相关定理之后利用这些定理证明了整数的中国剩余定理. 但对于多项式, 尚未引入公倍式概念. 我们仿照下引入最小公倍式. 最小公倍式, 设 F[x] 中有 f(x), g(x); 她俩的最小公倍式是指满足如下条件的首一多项式 $[f(x), g(x)] = d(x) \in F[x]$: d(x) 是 f(x),...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 域上的多项式环(2)

定理 5.16, 韦达定理, 这里证明一下 (2) 证明: 只要我们能证明 $\prod_{i=1}^n(x - x_i)$ 中 $x^{n-k}$ 的系数是 $(-1)^k \sum_{1 \le i_1 \lt i_2 \lt \cdots \lt i_k \le n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}$ 即可. 即: \[\begin{align} \prod...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 域上的多项式环(1)

域 F 上的多项式环是整环, 但不是域; 主要原因是对于一个多项式 $x^3$, 其并不存在乘法逆元. 定理 5.3, 带余除法, 略作补充 deg r >= deg g 的说明. 此时 $a_n \ne 0, b_m \ne 0$, 所以其均存在乘法逆元 $a_n^{-1}, b_m^{-1}$. $\frac{a_n}{b_m}$ 等同于 $a_n b_m^{-1}$...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 整数的同余理论(3)

模 m 求幂, 略作补充. 原文要解决的问题是给定 a, n, m 求 $a^n$ 除以 m 所得余数. 解: $a^n = a^{n_0} \cdot a^{2n_1} \cdot a^{4n_2} \cdots a^{2^kn_k}$, 由命题 4.6(2) 可知一旦我们知晓了 $a^{2^in_i}$ 除以 m 所得余数为 $c_i$, 即 $a^{2^in_i} \equiv c_...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 整数的同余理论(2)

引理 4.25, 对于任意素数 p, $k \in [1, p), p \mid \binom{p}{k}$. 这个引理忽然让我想到一个问题, 我好像还没证过 $\binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!}$ 一定是一个整数来着… 4.25.zy1, 对于自然数 1 < m <= n, 一定存在 k 使得 $m^k \le n \lt m^{k+1}$....

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 整数的同余理论(1)

4.2.zy1, $a \equiv b \mod m$ 当且仅当在定理 3.3 带余除法表示中 $a = mq_1 + r_1, b = mq_2 + r_2, r_1 = r_2$. 证明: 若 $a \equiv b \mod m$, 即 $m \mid a - b$, 即 $a - b = mk, a = b + mk = mq_2 + r_2 + mk = m(q_2 + k) ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 整数理论(1)

定理 3.3, 设 r 是 I 中最小的自然数. 等等这里为什么敢假设 I 中存在最小自然数? 这是因为 $I \cap N \subseteq N$ 是良序集, 所以存在最小元素. 命题 3.5(1), 这里 $(\pm a, \pm b)$ 是指 (+a, +b), (+a, -b), (-a, +b), (-a, -b); 以 (+a, -b) = (a, b) 为例证. 证明: ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

代数学基础: 群, 环, 域

早在去年甚至更久的时候, 出于某些原因, 我一直想重建下自己的数学知识体系. 中科大培养方案, 中科大评课社区 给了我非常大的帮助! 真的是非常感谢他们. 本系列文章是对欧阳毅老师代数学基础教材的学习. P.S. 唉我当时以为代数学基础嘛, 基础嘛? 能有多难, 132页, 我一周拿下. 没想到最后花了我将近 10 天的功夫== 定义 2.1, 这里群的定义缺少一个封闭性: ...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

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