学习让我快乐

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陶哲轩实分析: 勒贝格测度(2)

本文章介绍了陶哲轩实分析, analysis ii, 第 7 章勒贝格测度后 2 节读书笔记. 引理 18.4.2, 这里原文证明的不对. $\bigcup_{j \in J}B_j$ 只是 open 并不是 box, 所以此时习题 7.4.2 的结论对 $\bigcup_{j \in J}B_j$ 并不一定成立. 我的证明: 令 $E = {(x_1, \cdots, x_n) \in...

陶哲轩实分析: 勒贝格测度(1)

本文章介绍了陶哲轩实分析, analysis ii, 第 7 章勒贝格测度前 3 节读书笔记. 这个测度应当满足某些合理的特定性质, 从这段话可以看到数学的新概念引入也要具有某些现实意义, 不是凭空脑补的. 提到这个我就想起了注 16.2.8 引入的 $d_{L^2}$ 度量以及习题 16.2.6, $f_n$ 以 $d_{L^2}$ 度量收敛于 f 时都不能保证逐点收敛, 那这个度量有啥...

多元微积分: 再看反函数定理

如之前几篇文章所示, 在我完成陶哲轩 analysis-ii 第 6 章多元微积分学习之后, 我怀着愉悦的心情对第 6 章最后一个 remark 进行收尾 Sets which look like graphs of continuous functions at every point have a name, they are called manifolds. 映入眼帘地便...

陶哲轩实分析: 隐函数定理

这一篇文章介绍陶哲轩 analysis ii, 6.8 节隐函数定理读书笔记. 定理 17.8.1, 我一开始完全不了解隐函数定理的意义, 解决了哪些问题?! 这里介绍下背景说明. 隐函数, 显函数; 显函数是形如 y=f(x) 这种具有明确表示的函数; 隐函数则是由方程或方程组确定的函数关系, 比如 $f(x, y) = x^2 + y = 33$, 此时 y 是 x 的一个函数, 即...

陶哲轩实分析: 反函数定理

这一篇文章介绍陶哲轩 analysis ii, 6.7 节多元微积分的反函数定理读书笔记. 习题 17.7.1,习题 6.7.1; f 是连续可微, 即 $f’$ 是连续的重要性, 若 $f’$ 不是连续的, 则意味着就算 $f’(x_0) > 0$, 那么 $\forall \delta, \exists x_1 \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta], ...

陶哲轩实分析: 多元微积分(3)

这一篇文章介绍陶哲轩 analysis ii, 6.5 节二阶导数和克莱罗定理, 6.6 节压缩映射定理读书笔记. 定理 17.5.4, 这里对证明各个方程进行补全: 为什么原文只讨论了 m=1 的情况? 对于 $f:R^n \to R^m, f=(f_1, \cdots, f_m)$. 易知, 这里 $f_1, \cdots, f_m$ 也都是二次连续可微的, 证明同 17....

陶哲轩实分析: 多元微积分链式法则

定理 17.4.1, 原文解答有几处笔误, 修正如下: 对于 $x \in B(x_0, \delta)$, 此时: \[\begin{align} & \frac{\lVert g(f(x)) - g(f(x_0)) - L_2L_1(x-x_0) \rVert}{\lVert x-x_0 \rVert} \\ & \le \frac{\lVert g(f(x)) - g...

陶哲轩实分析: 多元微积分(1)

这一篇文章介绍陶哲轩 analysis ii, 6.1 线性变换; 6.2 多元微积分中的导数; 6.3 偏导数与方向导数读书笔记. 例 17.1.12, $(L_Ax)^T = A(x^T)$ 的解释, 这里 $L_A: R^n \to R^m$ 是线性变化, $L_Ax$ 即 $L_A(x), x \in R^n$. 本章内容习惯将线性变换函数调用使用矩阵乘法表示, 我初看时有点不习惯...

陶哲轩实分析: 黎曼积分(2)

在 陶哲轩实分析: 黎曼积分 之后, 遗留着一个问题, 即习题 11.10.4; 同时关于黎曼-斯蒂尔杰斯可积我也有一些疑问. 这些疑问在习题 14.8.4(b) 时爆发了出来, 答主在解答这一题时使用黎曼-斯蒂尔杰斯可积概念 $\int_I f d\alpha$, 并且此时 $\alpha=x-z$ 是关于 z 的单调递减函数; 而陶从未定义过在单调递减时黎曼-斯蒂尔杰斯可积是个什么东西…...

给异常加上堆栈

不止一次, 有同学发给我一个 exception what message, 希望我能告知他们这个异常究竟是从哪里抛出的. 经历过C++ 异常与 longjmp: 尘埃落定之后, 我对给异常加上堆栈是有一种模糊可行的想法的, 正好现在有机会抽出了时间实现了这种想法. 关于 C++ 异常机制实现以及相关 ABI 标准, 见前文, 不再在本文中叙述. 基本思想也很简单, 就是我们维护着类...

小心! 编译器会创建临时对象

是的! 还是我的一个 CR! 在跑测试时又遇到了一个奇怪的 coredump 问题! 总之我解决了! 最小复现代码是: struct Class1 { virtual ~Class1() {} }; struct Class2 : public Class1 { virtual ~Class2() {} }; struct UsefulClass { ExecutionCo...

初始化! 初始化! 又是未初始化!

最近我的一个 CR 反反复复跑了好几轮测试, 每一轮测试都有零星几个测试失败, 每次失败的测试也都不一样, 而且从我 CR 内容上也可以分析到与这些测试毫无关系, 所以我一直信誓旦旦地给测试小姐姐强调不是我的问题, 测试小姐姐就去找 case owner 去排查 case 不稳定的问题. 但考虑到我的 CR 就一直没有跑成功过一轮测试, 而且测试小姐姐被我也折腾烦了: @盏一 请再仔...

陶哲轩实分析: 黎曼积分

这是我关于实分析学习总结的第一篇文章,为了便于读者了解背景和快速进入主题,我认为有必要先介绍一下这篇文章的风格和如何使用。 首先,我为什么会选择学习数学?一方面是因为看到了Jemalloc Profile背后的数学原理所展示的数学的强大和实用性,另一方面则是被Polar Code(极化码)具体原理是怎样的回答所展示的数学对生产力的推动所吸引。为此,我制定了一个全面的数学学习计划,...