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几何学基础: 向量与欧氏空间(6)

命题 2.4.6, 验证帕施公理, 对原文证明略作补充. $\Phi$ 是双射. 已知对于 ABC 平面任一一点 D, 其可以唯一表示为 $A+t(B-A) + s(C-A)$, 即 D 对应 (t, s) 是唯一的. 这是因为 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ 线性无关, $\overrightarrow{AD}$ 可以唯一表...

几何学基础: 向量与欧氏空间(5)

2.4.zy6, STATEMENT 1. For any three points $p, q, r \in C_n, n \gt 1$ there exists an isometry f of space $C_n$ onto itself such that \[p'=f(p) = (0, \cdots, 0), q'=f(q) = (a_1, 0, \cdots, 0), r'=...

几何学基础: 向量与欧氏空间(4)

2.4 作为希尔伯特公理体系模型的 $\mathbb{E}^3$. 原文在这一章也不是很详细, 我这里会参考着一本 1960 的书: Foundations of Geometry Euclidean, Bolyai-Lobachevskian and Projective Geometry by Karol Borsuk and Wanda Szmielew, 下以 FOGB 来引用这本书...

几何学基础: 向量与欧氏空间(3)

2.3.2 应用:球面几何初步 这个章节一开始看就明白其内容不会深入介绍, 只是为了让读者对非欧氏几何有个感性认知. 所以我没仔细看, 对球面几何感兴趣的话另找书籍. 2.3.18.zy1, 过圆心的直线与圆交于 2 点. 解: 首先明确下圆的定义: 平面上到一个给定点(称为圆心)距离等于给定正数(称为半径)的点的集合. 因直线 L 穿过圆心 (O),我们可以在 (L) 上取圆心 (O)...

几何学基础: 向量与欧氏空间(2)

右手系, 这里的 “依次序替换为” 是指从 $\vec{e_x}$ 的正向看向原点 $\vec{e_y}$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 到 $\vec{e_z}$. 这里借用 3D计算器 看非常直观. 2.3.3.zy1, 设想现在有向量 $\vec u = \overrightarrow{OU}, \vec v = \overrightarrow{OV}, \vec w=...

几何学基础: 向量与欧氏空间(1)

定理 2.1.12, 略作补充 这里对于 $\forall \tau \in \mathcal{T}$, 我一开始是用 $\tau$ 的平移向量作为映射后的结果. 即我假定了 $\tau$ 平移向量总是存在的. 这其实是不对的, 原文正确证明了平移向量一定存在. 2.1.12.zy1, 考虑映射 $f: X \to Y, g: Y \to X$ 若 $f...

几何学基础: 群的概念/向量空间

A.2 这里接着 代数学基础: 群论基础(2) 看下商群等概念定义. 香蕉空间-陪集, 左陪集 $G/H = {gH, g \in G}$. 右陪集 $H \setminus G = {Hg, g \in G}$. A.2.zy1, 左陪集, 右陪集之间存在自然双射. 证明: 令 $f: G/H \to H \setminus G: gH \to Hg^{-1}$. 易见 f 是个满射...

几何学基础: 几何与公理化

​几何学基础是我目前重建数学知识体系学习计划的一部分, 也是目前遇到自学起来较吃力的了, 主要是离公理太近了, 参考资料就很少, 我这里参考的两本书一本是 1930 年一本是 1960 年的! 毕竟现在很少有人再关心为啥平面内过一点做直线L的垂线, 垂线只有一条这种非常大众化的知识了… 我这里采用的教材是王作勤几何学基础讲义, 在我看来这本书除了部分细节缺失之外是本很好的教材, 让我对...

代数学基础: 整环上的多项式(2)

关于多项式未定元的理解, 在 2.2.3 中定义的交换环 R 上的多项式环 R[x] 中, 我理解 x 是对 R 中元素的代值; 但其实 x 就是未定元, 其语义要在多项式使用时根据上下文来确定. 基于此来理解 $R[x_1, x_2]$, 即 $R[x_1][x_2], a_n x_2^n + \cdots + a_0$, 我之前理解 $a_n, \cdots, a_0 \in R[x_1...

代数学基础: 整环上的多项式(1)

定理 9.1, 略作补充: 整数环与有理数域多项式行为上的不一致, 我认为就如同我在定理 5.15 所理解的: 对于一般的环, 多项式的拉格朗日定理不成立的原因; 我认为是一般的环上, 定理 5.3 带余除法不成立, 主要是一般的环上 $b_m$ 不一定存在逆元, 即 $a_n b_m^{-1}$ 不一定有意义. 所以定理 9.1 加了要求, $b_m ...

代数学基础: 素数域上的算术(3)

8.3 采用高斯引理对二次互反律的证明 利用几何图形证明公式 (8.19) 有意思. 这里对角线对应着 $y = \frac{q}{p}x, \left \lfloor \frac{iq}{p} \right \rfloor$ 为点 $(i, \frac{iq}{p})$ 作垂直 x 轴的直线上包含的整点数. 所以 $\sum_i \frac{iq}{p}$ 就是下面三角形内包含的整点数....

代数学基础: 素数域上的算术(2)

定理 8.7, 略作补充 $m = m_1 \cdot m_2, m_1, m_2 \gt 2, (m_1, m_2) = 1$, 证明下这里 m 总能分解出满足条件的 $m_1, m_2$. 证明: 从定理 3.17 可以看出 $m = 2^{v_2(m)}\prod_{p \gt 2}p^{v_p(m)}$. 若 $v_2(m) = 0$, 则由上下文易知 m 一定可以分为 ...

代数学基础: 素数域上的算术(1)

定理 8.2, 略作补充 $S(d) = \varphi(d)$ 证明: 假设存在两个元素 $a, b, \langle a \rangle \ne \langle b \rangle$, 此时易见 a, b 生成群都是 $x^d - 1$ 的解, 即解的个数为 2d. 根据 5.15 拉格朗日定理可知解最多为 d 个, 矛盾! 所以意味着 $\langle a \rangle ...