系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
线性代数是我目前重建数学知识体系学习计划的一部分, 我这里选用的教材是 Peter Lax 的线性代数及其应用. 本来是准备使用 Lay 的线性代数及其应用. 但 Lay 老师喜欢不加证明直接引用某一定理, 我不喜欢, 所以中途换了教材.
定理 6, 对证明略作补充
- $x_1 = \sum_{i} a_i y_i + \sum_{k} b_k x_k, x_1’ = \sum_{i} a_i’ y_i + \sum_{k} b_k’ x_k, x_1 \equiv x_1’ \mod Y$ 当且仅当 $\forall k, b_k = b_k’$.
证明: 若 $\forall k, b_k = b_k’$ 则易证 $x_1 - x_1’ \in Y$. 反之若 $x_1 \equiv x_1’ \mod Y$ 假设 $\exists k_1, b_{k_1} \neq b_{k_1}’$ 则易证 $x_1 - x_1’ = \cdots + (b_{k_1} - b_{k_1}’)x_k + \cdots \not\in Y$, 因为这里若位于 Y 中, 则意味着这里 $x_k$ 是 $y_i$ 的线性组合, 矛盾了!
- 从该定理可以看到 Y 的补空间与商空间 $X/Y$ 同构.
推论 6’ 证明.
- dim X = 0, 则 X?
首先看下若对于线性空间 X, dim X = 0 意味着什么? 由定理 3 “我们定义单个元素 0 所构成的平凡空间的维数为 0”. 即域 K 上集合 X 只包含零元 0, 定义 $0 + 0 = 0, \forall k \in K, k 0 = 0$, 易证此时 X 满足线性空间要求, 并人为定义 dim X = 0.
- dim X/Y = 0 意味着 $X/Y = {{0_X}}, 0_X$ 是 X 零元. 即 $\forall x \in X, x \equiv 0 \mod Y$, 即 $x \in Y. Y = X$.
1.1.zy1, 若 $Y, Z$ 是 X 子空间且 $\dim Y + \dim Z = \dim X, Y \cap Z = {0}$, 则 $X = Y \oplus Z$.
证明: 设 $y_1, \cdots, y_n; z_1, \cdots, z_m$ 分别是 Y, Z 的基, $Y \cap Z = {0}$ 意味着这俩基之间互不线性相关. 即 $y_1, \cdots, y_n, z_1, \cdots, z_m$ 是 X 的基.
P.S. 本来我看完练习 11 之后想的是 $\dim Y + \dim Z = \dim X \to X = Y \oplus Z$, 但又仔细想了下还是得加上条件 $Y \cap Z = {0}$.
定理 7, 略作补充
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易证练习 11 中 $Y_1, \cdots, Y_m; \forall i \ne j, Y_i \cap Y_j = {0}$. 我本来以为交集为空集呢==
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易证 $0_X \in W$, 考虑 W 中只包含 $0_X$ 情况. 易证此时 U, V 的基的并集 $B_U \cup B_V$ 是线性无关的, 反证若 $u_1 \in B_U, u_1$ 是 $B_V$ 线性组合, 则 $u_1 \in W$ 矛盾了. 即此时 X 是 U, V 的直和由练习 11 可得结论.
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$U/W \subseteq (U+V)/W$, 即 U/W 是 (U+V)/W 的线性子空间.
证明: 记 $[u_0]={u \in U, u \equiv u_0 \mod W} \in U/W$, $[u_0]’={u \in U+V, u \equiv u_0 \mod W} \in (U+V)/W$, 易证 $[u_0] \subseteq [u_0]’$. 考虑 $\forall y \in [u_0]’, y - u_0 \in W, W \subseteq U, y - u_0 \in U$ 可得 $y - u_0 + u_0 \in U$, 即 $y \in U, y \in [u_0]$.
P.S. 我这里更喜欢像代数学基础那样使用 $[x]$ 而不是 ${x}$ 来表示同余类.
- (U+V)/W = U/W + V/W, 这里 “+” 并不是直和, 而是 Page4 和的定义, 直和的符号是 $\oplus$.
证明: 首先 $\forall [u_0] \in U/W, [v_0] \in V/W, [u_0] + [v_0] = [u_0 + v_0] \in (U+V)/W$ 可得 $U/W + V/W \subseteq (U+V)/W$. $\forall [y] \in (U+V)/W, y = u_y + v_y, [y] = [u_y] + [v_y], [y] \in U/W + V/W$ 可得结论.
- $\dim U/W \cap V/W = 0$
证明: 由 U/W, V/W 是 (U+V)/W 的子空间, 本命题等价于证明 $U/W \cap V/W = {0}$, 这里 0 是 (U+V)/W 的零元. 易证 $0 \in U/W \cap V/W$, 这里 U/W 的元素是同余类 ${u \in U, u \equiv x \mod W}$, V/W 的元素是同余类 ${v \in V, v \equiv x \mod W}$. U/W, V/W 交集意味着 $\exists x \in U, y \in V; [x]={u \in U, u \equiv x \mod W} = {v \in V, v \equiv y \mod W}=[y]$ 集合相等. 即 $\forall k \in [x], k \in U, k \in [y], k \in V; k \in W$ 即 $[x] = [y] = [0]$!
练习 18 证明: 设 $X_{11}, \cdots X_{1i}$ 是 $X_1$ 的基, $X_{21}, \cdots, X_{2j}$ 是 $X_2$ 的基, 则易证 $(X_{11}, 0), \cdots, (X_{1i}, 0), (0, X_{21}), \cdots, (0, X_{2j})$ 线性无关且是 $X_1 \oplus X_2$ 的基.
P.S. 这里重复使用了直和 $\oplus$ 符号. 对于 X 的子空间 $X_1, X_2$ 并且这俩子空间基的并集线性无关, 则由练习 11 可知 $X_1 + X_2$ 是 $X_1, X_2$ 的直和. 这就有个问题 $X_1 \oplus X_2$ 究竟是表示直和呢还是笛卡尔和呢? 我理解 Lax 老师是认为无所谓因为直和, 笛卡尔和维数相同即同构, 没必要区分清楚. 所以重复使用了符号.
