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线性代数(3): 线性空间(1)

系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢! 定理 2,...

Posted by w@hidva.com on July 14, 2024

线性代数(2): 对偶

系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢! 2.zy1...

Posted by w@hidva.com on July 14, 2024

线性代数(1): 预备知识

系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢! 线性代数...

Posted by w@hidva.com on July 14, 2024

线性代数(1): 矩阵代数

线性代数是我目前重建数学知识体系学习计划的一部分, 我这里选用的教材是 David C.Lay 的线性代数及其应用. 这本书非常详细! 以至于我的读书笔记很薄. 不像当初学习代数学基础那样, 教材很薄, 反而我笔记记得很多=. = 这里很遗憾, 如果我的时间再多一点, 我就准备使用 Peter Lax 的线性代数及其应用了! 我很喜欢这种从公理入手一步步建立体系的教材, 就如我之...

Posted by w@hidva.com on July 13, 2024

几何学基础: 向量与欧氏空间(6)

命题 2.4.6, 验证帕施公理, 对原文证明略作补充. $\Phi$ 是双射. 已知对于 ABC 平面任一一点 D, 其可以唯一表示为 $A+t(B-A) + s(C-A)$, 即 D 对应 (t, s) 是唯一的. 这是因为 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ 线性无关, $\overrightarrow{AD}$ 可以唯一表...

Posted by w@hidva.com on June 23, 2024

几何学基础: 向量与欧氏空间(5)

2.4.zy6, STATEMENT 1. For any three points $p, q, r \in C_n, n \gt 1$ there exists an isometry f of space $C_n$ onto itself such that \[p'=f(p) = (0, \cdots, 0), q'=f(q) = (a_1, 0, \cdots, 0), r'=...

Posted by w@hidva.com on June 23, 2024

几何学基础: 向量与欧氏空间(4)

2.4 作为希尔伯特公理体系模型的 $\mathbb{E}^3$. 原文在这一章也不是很详细, 我这里会参考着一本 1960 的书: Foundations of Geometry Euclidean, Bolyai-Lobachevskian and Projective Geometry by Karol Borsuk and Wanda Szmielew, 下以 FOGB 来引用这本书...

Posted by w@hidva.com on June 23, 2024

几何学基础: 向量与欧氏空间(3)

2.3.2 应用：球面几何初步 这个章节一开始看就明白其内容不会深入介绍, 只是为了让读者对非欧氏几何有个感性认知. 所以我没仔细看, 对球面几何感兴趣的话另找书籍. 2.3.18.zy1, 过圆心的直线与圆交于 2 点. 解: 首先明确下圆的定义: 平面上到一个给定点(称为圆心)距离等于给定正数(称为半径)的点的集合. 因直线 L 穿过圆心 (O)，我们可以在 (L) 上取圆心 (O)...

Posted by w@hidva.com on June 23, 2024

几何学基础: 向量与欧氏空间(2)

右手系, 这里的 “依次序替换为” 是指从 $\vec{e_x}$ 的正向看向原点 $\vec{e_y}$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 到 $\vec{e_z}$. 这里借用 3D计算器 看非常直观. 2.3.3.zy1, 设想现在有向量 $\vec u = \overrightarrow{OU}, \vec v = \overrightarrow{OV}, \vec w=...

Posted by w@hidva.com on June 23, 2024

几何学基础: 向量与欧氏空间(1)

定理 2.1.12, 略作补充 这里对于 $\forall \tau \in \mathcal{T}$, 我一开始是用 $\tau$ 的平移向量作为映射后的结果. 即我假定了 $\tau$ 平移向量总是存在的. 这其实是不对的, 原文正确证明了平移向量一定存在. 2.1.12.zy1, 考虑映射 $f: X \to Y, g: Y \to X$ 若 $f...

Posted by w@hidva.com on June 23, 2024

几何学基础: 群的概念/向量空间

A.2 这里接着 代数学基础: 群论基础(2) 看下商群等概念定义. 香蕉空间-陪集, 左陪集 $G/H = {gH, g \in G}$. 右陪集 $H \setminus G = {Hg, g \in G}$. A.2.zy1, 左陪集, 右陪集之间存在自然双射. 证明: 令 $f: G/H \to H \setminus G: gH \to Hg^{-1}$. 易见 f 是个满射...

Posted by w@hidva.com on June 23, 2024

几何学基础: 几何与公理化

​几何学基础是我目前重建数学知识体系学习计划的一部分, 也是目前遇到自学起来较吃力的了, 主要是离公理太近了, 参考资料就很少, 我这里参考的两本书一本是 1930 年一本是 1960 年的! 毕竟现在很少有人再关心为啥平面内过一点做直线L的垂线, 垂线只有一条这种非常大众化的知识了… 我这里采用的教材是王作勤几何学基础讲义, 在我看来这本书除了部分细节缺失之外是本很好的教材, 让我对...

Posted by w@hidva.com on June 23, 2024

代数学基础: 整环上的多项式(2)

关于多项式未定元的理解, 在 2.2.3 中定义的交换环 R 上的多项式环 R[x] 中, 我理解 x 是对 R 中元素的代值; 但其实 x 就是未定元, 其语义要在多项式使用时根据上下文来确定. 基于此来理解 $R[x_1, x_2]$, 即 $R[x_1][x_2], a_n x_2^n + \cdots + a_0$, 我之前理解 $a_n, \cdots, a_0 \in R[x_1...

Posted by w@hidva.com on June 8, 2024

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