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代数学基础: 整数的同余理论(2)

引理 4.25, 对于任意素数 p, $k \in [1, p), p \mid \binom{p}{k}$. 这个引理忽然让我想到一个问题, 我好像还没证过 $\binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!}$ 一定是一个整数来着… 4.25.zy1, 对于自然数 1 < m <= n, 一定存在 k 使得 $m^k \le n \lt m^{k+1}$....

代数学基础: 整数的同余理论(1)

4.2.zy1, $a \equiv b \mod m$ 当且仅当在定理 3.3 带余除法表示中 $a = mq_1 + r_1, b = mq_2 + r_2, r_1 = r_2$. 证明: 若 $a \equiv b \mod m$, 即 $m \mid a - b$, 即 $a - b = mk, a = b + mk = mq_2 + r_2 + mk = m(q_2 + k) ...

代数学基础: 整数理论(1)

定理 3.3, 设 r 是 I 中最小的自然数. 等等这里为什么敢假设 I 中存在最小自然数? 这是因为 $I \cap N \subseteq N$ 是良序集, 所以存在最小元素. 命题 3.5(1), 这里 $(\pm a, \pm b)$ 是指 (+a, +b), (+a, -b), (-a, +b), (-a, -b); 以 (+a, -b) = (a, b) 为例证. 证明: ...

代数学基础: 群, 环, 域

早在去年甚至更久的时候, 出于某些原因, 我一直想重建下自己的数学知识体系. 中科大培养方案, 中科大评课社区 给了我非常大的帮助! 真的是非常感谢他们. 本系列文章是对欧阳毅老师代数学基础教材的学习. P.S. 唉我当时以为代数学基础嘛, 基础嘛? 能有多难, 132页, 我一周拿下. 没想到最后花了我将近 10 天的功夫== 定义 2.1, 这里群的定义缺少一个封闭性: ...

陶哲轩实分析: 再看三角函数

在完成陶哲轩 analysis 卷 ii, 4.7 三角函数之后就有一个问题困扰着我, 陶老师在这里通过级数定义的 sin/cos 与我初中时学过的通过几何形式定义的 sin/cos 是否是等价的? 当然答案肯定是等价的, 但如何证明是等价的一直困扰着我. 当时一直迫切于完成陶老师 analysis ii 所有章节的学习, 对这个问题没有深入探究下去. 现在在完成了 analysis ii ...

陶哲轩实分析: 富比尼定理(2)

本文章介绍了对富比尼定理的证明. 已知: 若 f 非负且绝对可积则其满足富比尼定理. 求证当 f 绝对可积时, 仍满足富比尼定理. 证明: 根据定义 19.3.2 可知此时 $f^+, f^-$ 也绝对可积且非负, 所以满足富比尼定理. 令 $F^+, F^-$ 分别为为富比尼定理中 $f^+, f^-$ 对应的函数 F. 此时 $\forall x \in R\setminu...

陶哲轩实分析: 富比尼定理(1)

本文章介绍了对富比尼定理的理解以及其用处, 下一篇文章会介绍富比尼定理的证明. 19.5 原文提到 $\int_\Omega f = \int_{R^2} f \chi_\Omega$, 但并未做任何证明. 这里我们补充下这个小结论. 19.5.zy1, f 在 $\Omega$ 上非负可测, 现有 $\Omega_1, \Omega_2$ 可测, $\Omega_1 \cup \Ome...

陶哲轩实分析: 勒贝格积分(1)

本文章介绍了 陶哲轩, analysis ii, 第 8 章, 勒贝格积分前 3 节内容. 定义 19.1.1, 这里 $f^{-1}(c_j)$ 是可测的, 证明见引理 19.1.4. 引理 19.1.4 也说明了若 $f = \sum_{i=1}^Nc_i\chi_{E_i}$, 则 f 是简单函数. 引理 19.1.5, 这里对原文证明过程做一些解释. $f_n(x)$ 是...

陶哲轩实分析: 勒贝格测度(2)

本文章介绍了陶哲轩实分析, analysis ii, 第 7 章勒贝格测度后 2 节读书笔记. 引理 18.4.2, 这里原文证明的不对. $\bigcup_{j \in J}B_j$ 只是 open 并不是 box, 所以此时习题 7.4.2 的结论对 $\bigcup_{j \in J}B_j$ 并不一定成立. 我的证明: 令 $E = {(x_1, \cdots, x_n) \in...

陶哲轩实分析: 勒贝格测度(1)

本文章介绍了陶哲轩实分析, analysis ii, 第 7 章勒贝格测度前 3 节读书笔记. 这个测度应当满足某些合理的特定性质, 从这段话可以看到数学的新概念引入也要具有某些现实意义, 不是凭空脑补的. 提到这个我就想起了注 16.2.8 引入的 $d_{L^2}$ 度量以及习题 16.2.6, $f_n$ 以 $d_{L^2}$ 度量收敛于 f 时都不能保证逐点收敛, 那这个度量有啥...

多元微积分: 再看反函数定理

如之前几篇文章所示, 在我完成陶哲轩 analysis-ii 第 6 章多元微积分学习之后, 我怀着愉悦的心情对第 6 章最后一个 remark 进行收尾 Sets which look like graphs of continuous functions at every point have a name, they are called manifolds. 映入眼帘地便...

陶哲轩实分析: 隐函数定理

这一篇文章介绍陶哲轩 analysis ii, 6.8 节隐函数定理读书笔记. 定理 17.8.1, 我一开始完全不了解隐函数定理的意义, 解决了哪些问题?! 这里介绍下背景说明. 隐函数, 显函数; 显函数是形如 y=f(x) 这种具有明确表示的函数; 隐函数则是由方程或方程组确定的函数关系, 比如 $f(x, y) = x^2 + y = 33$, 此时 y 是 x 的一个函数, 即...

陶哲轩实分析: 反函数定理

这一篇文章介绍陶哲轩 analysis ii, 6.7 节多元微积分的反函数定理读书笔记. 习题 17.7.1,习题 6.7.1; f 是连续可微, 即 $f’$ 是连续的重要性, 若 $f’$ 不是连续的, 则意味着就算 $f’(x_0) > 0$, 那么 $\forall \delta, \exists x_1 \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta], ...