系列导言, 本文是作者在学习史济怀老师数学分析教程的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习史济怀老师数学分析教程并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
16.1.zy1, $\int_a^{\infty} f(x) \mbox{d} x$ 收敛于 L 当且仅当 $\forall A_n, A_1 = a, \lim A_n = +\infty$ 都有 $L =\sum_{n=1}^{\infty} \int_{A_n}^{A_{n+1}} f(x) \mbox{d} x$.
证明: $\rightarrow$: 记 $F(y) = \int_a^{y} f(x) \mbox{d} x, \lim_{y \to \infty} F(y) = L$ 由定理 2.4.1 意味着对于任意 $A_n, \lim_{n \to \infty} A_n = \infty$ 有 $\lim_{n \to \infty} F(A_n) = L$. 当 $A_1 = a$ 时 $F(A_n) = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{A_n}^{A_{n+1}} f(x) \mbox{d} x$, 易得结论.
$\leftarrow$: 由已知条件易证任意 $A_n, \lim_{n \to \infty} A_n = \infty$ 有 $\lim_{n \to \infty} F(A_n) = L$, 之后继续由定理 2.4.1 可得结论.
P.S. 原文 $\int_0^{\infty} \cos x \mathrm{d}x$ 例子表明如果仅存在若干个 $A_n$ 满足 $L =\sum_{n=1}^{\infty} \int_{A_n}^{A_{n+1}} f(x) \mbox{d} x$ 此时并不能推出 $\int_a^{\infty} f(x) \mbox{d} x$ 收敛于 L.
P.S. 定理 16.1.4 表明若此时 f 非负, 那么只要存在一个 $A_n$ 满足条件, 那么 $\leftarrow$ 便成立.
习题 2 证明: 假设 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \gt 0$, 这里有可能 $L=+\infty$, 此时存在实数 $a \gt 0, L \gt a$. 即存在 $x_0, \forall x \ge x_0, f(x) \gt a$. 令 $F(y) = \int_{x_0}^y f(x) \ge a(y - x_0) = G(y)$, 已知 $\lim_{y \to \infty} G(y) = +\infty$ 易得 $\lim_{y \to \infty} F(y) = +\infty$, 与题设矛盾, 证明完毕. $L \lt 0$ 情况可以同理处理, 因此 L 只能是 0.
P.S. 从上证明可以看到 $\lim_{x \to \infty} f(x)$ 可以不存在, 就像 例子.
定理 16.2.2, 这里也易证 $\vert \int_a^{\infty} f(x) \mbox{d}x \vert \le \int_a^{\infty} \vert f(x) \vert \mbox{d}x$.
定理 16.2.3, 略作补充
- 等式 (2) 额外说明: 由原文可知:
同样由原文可知 $\vert \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) (g(x) - g(x_{i-1})) \mbox{d}x \vert \le K \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i$, 所以有
\[\lim_{\lVert \pi \rVert \to 0} \vert \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) (g(x) - g(x_{i-1})) \mbox{d}x \vert \le \lim_{\lVert \pi \rVert \to 0} K \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i = 0\]易得 $\lim_{\lVert \pi \rVert \to 0} \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) (g(x) - g(x_{i-1})) \mbox{d}x = 0$. 结论得证.
- $m b_1 \le \sum_{i=1}^{n-1} S_i (b_i - b_{i+1}) + S_n b_n \le Mb_1$
证明: 由:
\[\begin{align} b_i - b_{i+1} \ge 0, m(b_i - b_{i+1}) \le S_i (b_i - b_{i+1}) \le M (b_i - b_{i+1}) \\ m \sum_{i=1}^{n-1} (b_i - b_{i+1}) \le \sum_{i=1}^{n-1} S_i (b_i - b_{i+1}) \le M \sum_{i=1}^{n-1} (b_i - b_{i+1}) \end{align}\]结合 $\sum_{i=1}^{n-1} (b_i - b_{i+1}) = b_n - b_1$. 易得结论.
P.S. 由定理 6.5.4, 定理 6.6.1 可知单调函数几乎处处连续. 这个还是挺我诧异的, 我本来以为可以轻而易举地构造出一个处处不连续的单调函数==
16.1.zy2, 每一个瑕积分一定可以化成一个无穷积分.
证明: 通过 Tao analysis 习题 11.10.4 通过变量替换公式可得 $F(\epsilon) = G(\frac{1}{\epsilon})$:
\[\begin{align} F(\epsilon) &= \int_{a + \epsilon}^b f(x) \mbox{d}x \\ G(\epsilon) &= \int_{1/b-a}^{\epsilon} f(a + \frac{1}{y}) \frac{1}{y^2} \mbox{d} y \end{align}\]通过定理 2.4.1 易证 $\lim_{\epsilon \to 0} F(\epsilon) = L$ 成立当且仅当 $\lim_{\epsilon \to \infty} G(\epsilon) = L$ 成立.
P.S. 史老师定理 6.4.2 介绍的变量替换公式要求 f 连续, 这里无法使用.
16.1.zy3, 定义 $F(x, y) = \int_{-x}^y f(t) \mbox{d}t$, 当 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mbox{d}t = L$ 收敛时, 有 $\lim\limits_{(x, y) \to (+\infty, +\infty)} F(x,y) = L$.
证明: $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mbox{d}t = L$ 意味着 $\forall a, \int_{a}^{\infty} f(t) \mbox{d}t = L_1, \int_{-\infty}^{a} f(t) \mbox{d}t = L_2$ 都收敛且 $L = L_1 + L_2$. 固定 a, 定义 $F_1(x) = \int_{a}^{x} f(t) \mbox{d}t, F_2(x) = \int_{-x}^{a} f(t) \mbox{d}t$. 可知 $\lim_{x \to \infty} F_1(x) = L_1, \lim_{x \to \infty} F_2(x) = L_2$. 此时 $F(x, y) = F_1(y) + F_2(x)$.
根据定义, $\lim\limits_{(x, y) \to (+\infty, +\infty)} F(x,y) = L$ 意味着 $\forall \epsilon, \exists M_1, M_2, \forall x \gt M_1, y \gt M_2, \vert F(x, y) - L \vert \lt \epsilon$ 易证 $\lim\limits_{(x, y) \to (+\infty, +\infty)} F(x,y) = \lim_{x \to \infty} F_1(x) + \lim_{x \to \infty} F_2(x) = L$
P.S. 若 $\lim\limits_{(x, y) \to (+\infty, +\infty)} F(x,y) = L$ 则好像推不出 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mbox{d}t = L$. 如上所示 $F(x, y) = F_1(y) + F_2(x)$, 这里 $\lim\limits_{(x, y) \to (+\infty, +\infty)} F(x,y)$ 存在并不意味着 $\lim_{x \to \infty} F_1(x), \lim_{x \to \infty} F_2(x)$ 也存在.
引理 16.4.1, 这里 $d(\Gamma) \gt d(\Gamma_0)$ 应该改为 $d(\Gamma) \gt \rho(\Gamma_0)$ 吧. 只有这样才能确保 $D_{n_0} \subseteq D_{\Gamma}$.
定理 16.4.1, 我有个小疑问, 这里似乎肯定了 $\Gamma_n$ 序列是存在的. 不过从引理 16.4.1 可以看到, 当 $\iint_D g(x, y) \mbox{d}x \mbox{d}y$ 存在时, 我们可以选择 $\Gamma_n$ 为半径 n 的圆.
定理 16.4.2, 遗留了一个问题 $Q_n$ 为啥要求是连通的呀? 以及哪些协助构成连通的小通道对积分的影响是如何量化的.
