系列导言, 本文是作者在学习史济怀老师数学分析教程的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习史济怀老师数学分析教程并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
引理 10.6.1, 略作补充
- 线性映射会将矩形映射为平行四边形.
证明: 设矩形 4 个顶点分别是 A, B, C, D; 经过线性映射 T 映射为 T(A), T(B), T(C), T(D). 由几何学基础若干知识可知线段 AB 上的点 P = A + t(B - A), 这里 t 为标量, 此时 T(P) = T(A) + t(T(B) - T(A)) 即其位于 T(A), T(B) 定义的线段上.
- 原文证明是不严谨的.
这里依赖了 $\sigma(\varphi(A_{hk}))$ 约等于图 10.13 平行四边形的面积这一未严格证明结论. 如 10.3.zy1 所示, 面积就是勒贝格测度, 这里严谨证明需要在实分析中学习到, 在 Folland-实分析定理 2.47 有提到这块. 我们接下来会在含糊的证明中尽量严谨一点.
这里 $\varphi(u, v) = (x(u, v), y(u, v))$, 由上册定理 9.10.4 多元微积分泰勒公式可知:
\[\begin{align} x(u, v) &= x(u_0, v_0) + J_x(u_0, v_0)(h, k) + o(\lVert (h, k) \rVert) \\ y(u, v) &= y(u_0, v_0) + J_y(u_0, v_0)(h, k) + o(\lVert (h, k) \rVert) \\ \varphi(u, v) &= \begin{pmatrix} x(u, v) \\ y(u, v) \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x(u_0, v_0) \\ y(u_0, v_0) \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}(u_0, v_0) & \frac{\partial x}{\partial v}(u_0, v_0) \\ \frac{\partial y}{\partial u}(u_0, v_0) & \frac{\partial y}{\partial v}(u_0, v_0) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} o(\lVert (h, k) \rVert) \\ o(\lVert (h, k) \rVert) \end{pmatrix} \\ &= \varphi(u_0, v_0) + J_{\varphi}(u_0, v_0)(h, k) + o(\lVert (h, k) \rVert) \end{align}\]这里 $h = u - u_0, k = v - v_0$ 在 $x(u, v)$ 泰勒展开中 $o(\lVert (h, k) \rVert)$ 是 $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 映射, 而在 $\varphi(u, v)$ 展开中则是 $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 映射. 即在 $h, k$ 足够小时, $\varphi(A_{hk})$ 近似等于 $\varphi(u_0, v_0) + J_{\varphi}(u_0, v_0)(h, k)$, 这里 $J_{\varphi}(u_0, v_0)$ 是线性映射, 结合上面信息可以认为 $\varphi(A_{hk})$ 是一块平行四边形.
P.S. 本书上册只介绍了 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 映射的泰勒展开式, 这里展示了 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 映射是如何泰勒展开的.
- $\sigma(\varphi(A_{hk}))$ 公式推导.
解: 定义函数 $\varphi_1(t) = \varphi(t, v_0): \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ 则 $\varphi(u_0 + h, v_0) - \varphi(u_0, v_0) = \frac{\partial \varphi}{\partial u}(u_0, v_0) h + \xi$ 为 $\varphi_1(t)$ 1 阶泰勒展开, 这里 $\xi = (o(h), o(h)) = (\xi_1, \xi_2)$. 即:
\[\begin{align} \varphi(u_0 + h, v_0) - \varphi(u_0, v_0) &= (h u_1 + \xi_1, h u_2 + \xi_2), \frac{\partial \varphi}{\partial u}(u_0, v_0) = (u_1, u_2) \\ \varphi(u_0, v_0 + k) - \varphi(u_0, v_0) &= (k v_1 + \eta_1, k v_2 + \eta_2), \frac{\partial \varphi}{\partial v}(u_0, v_0) = (v_1, v_2) \end{align}\]由几何学基础定义 2.3.13 附近外积相关知识可知:
\[\begin{align} \sigma(\varphi(A_{hk})) &= \vert (h u_1 + \xi_1)(k v_2 + \eta_2) - (h u_2 + \xi_2)(k v_1 + \eta_1) \vert \\ \frac{\sigma(\varphi(A_{hk}))}{hk} &= \vert u_1 v_2 - u_2 v_1 + (o(1) \quad (h, k) \to (0, 0)) \vert \end{align}\]这里 $f \in o(1) \quad (h, k) \to (0, 0)$ 意味着 $\lim_{(h, k) \to (0, 0)} f = 0$, 此时由 $\vert A \vert - \vert f \vert \le \vert A + f \vert \le \vert A \vert + \vert f \vert$ 可得 $\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \vert A + f \vert = \vert A \vert$. 即 $\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{\sigma(\varphi(A_{hk}))}{hk} = \vert u_1 v_2 - u_2 v_1 \vert$.
定理 10.6.1, 也即多元微积分的换元公式其证明也充斥着各种不严谨, 简单看看了解一下好了, 后续这块在实分析学习中进行补全.
定理 10.7.1, 略作补充
- D 要求具有面积, 即可测.
解: 根据 定理 19.5.1 中讨论可知, 可测集的投影不一定可测. 即这里应该是无法证明出 D 是可测的. 所以 D 是可测的应该作为条件之一.
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$\varphi_1(x, y), \varphi_2(x, y)$ 从证明过程可以看到这里不要求这俩连续. 回到定理 10.5.1, 如果我们定义 B 有界且可测则应该也不需要要求 $y_1, y_2$ 连续.
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$\sigma(\partial D_z) = 0$
解: 我不知道为啥, 按照我上面推论, 这里 $D_z$ 并不一定可测呀.
