系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
GL(n, K); 针对原文这句话:
于是, $\mathcal{L}(X, X)$ 中的全体可逆元关于乘法构成了一个群. 这个群只与 X 的维数以及数域 K 有关, 记作 $GL(n, K), n = \dim X$.
这里 “群” 可以理解就是环中的乘法群. 关键是这个乘法群只有 n, K 有关啥意思? 我的理解是群同构, 毕竟如 代数学基础 所示, 群同构意味着群基本上是一回事.
P.S. 我这里越来越感谢中科大的培养方案, 遵循着这个培养方案使得我的基础一步步搭建. 如果没有这个培养方案, 看到这里我可能会很懵逼群是个什么玩意? 可惜现在访问这个培养方案需要内部学生账号了. 我再也看不到了.
3.3.zy1, 线性空间也是加法阿贝尔群. 证明很显然.
3.3.zy2, 在 X, Y 为有限维线性空间时, $\dim \mathcal{L}(X, Y) = \dim X \cdot \dim Y$.
证明: 设 X 的基为 $e_1^X, \cdots, e_n^X$. Y 的基为 $e_1^Y, \cdots, e_m^Y$. 此时 $\forall x \in X, x = \sum_{i=1}^n a_i e_i^X$ 且 $\forall T \in \mathcal{L}(X, Y), T(x) = \sum_{i=1}^n a_i T(e_i^X)$, 易证不同的 T 对应不同的 $(T(e_1^X), \cdots, T(e_n^X))$. 与此同时在确定了 $e_i^X, i=1,\cdots, n$ 在 Y 中对应的值之后也可以唯一地确定一个线性映射, 设 $e_i^X \to y_i$, 以此定义映射 $T(x) = \sum_{i=1}^n a_i y_i$, 易证$T \in \mathcal{L}(X, Y)$.
定义线性映射 $T_{ij}$, 由上可知这里我们只需要给定 $T_{ij}(e_i^X), i = 1, \cdots, n$ 的值即可. 此时可以计算 $T_{ij}(x) = \sum_{k=1}^n a_k T_{ij}(e_k^X) = a_j e_i^Y$.
\[T_{ij}(e_k^X) = \begin{cases} e_i^Y \ \ \ \mbox{ if } k=j; \\ 0\_Y \ \ \ \mbox{ if } k \neq j. \end{cases}\]由上已知对于 X 到 Y 中的任何线性映射 T, 其可以由 $T(e_i^X), i=1, \cdots, n$ 唯一确定. 假设 $T(e_j^X) = \sum_{i=1}^m c_{ij} e_i^Y, j = 1, \cdots, n$. 此时 $T(x) = \sum_{j=1}^n a_j T(e_j^X) = \sum_{j=1}^n a_j(\sum_{i=1}^m c_{ij} e_i^Y)$, 这里即 $ = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n c_{ij} a_j e_i^Y = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n c_{ij} T_{ij}(x)$, 即 $T = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n c_{ij} T_{ij}$.
现在证 $T_{ij}$ 线性无关, $\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n c_{ij} T_{ij} = 0_{\mathcal{L}(X, Y)}$, 即 $\forall x \in X, (\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n c_{ij} T_{ij})(x) = 0_Y$. 即 $(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n c_{ij} T_{ij})(e_k^X) = \sum_{i=1}^m c_{ik} e_i^Y = 0_Y, k = 1, \cdots, n$ 成立. 考虑到 $e_i^Y$ 彼此线性无关, 所以这里 $c_{ik} = 0, \forall k, \forall i$ 成立, 即 $T_{ij}$ 线性无关.
矩阵的引入, 由上可知 $\dim \mathcal{L}(X,X) = n^2, n = \dim X$, 在给定基 $e_{ij}$ 之后, $\forall L \in \mathcal{L}(X,X)$ 都可以用 $n \times n$ 个标量确定, 这里 $L = \sum_i \sum_j a_{ij} e_{ij}$:
\[L = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}\]矩阵加法. 考虑 $L_1 = \sum_i \sum_j a_{ij} e_{ij}, L_2 = \sum_i \sum_j b_{ij} e_{ij}, L_1 + L_2 = \sum_i \sum_j (a_{ij} + b_{ij}) e_{ij}$.
矩阵乘法. 首先易证:
\[e_{i k_1} \circ e_{k_2 j} = \begin{cases} 0\_{\mathcal{L}(X,X)} \ \ \ \mbox{ if } k_1 \ne k_2; \\ e_{ij} \ \ \ \mbox{ if } k_1 = k_2. \end{cases}\]之后经过一堆复杂的运算 $L_1 L_2 = (\sum_i \sum_j a_{ij} e_{ij}) (\sum_i \sum_j b_{ij} e_{ij})$ 可得现如今矩阵的乘法运算法则.
恒等映射对应的矩阵, 在给定基如下. 此时 $E_{ij}; i, j = 1, \cdots, n$ 是 $\mathcal{L}(X,X)$ 的基. $e_k, k = 1, \cdots, n$ 是 X 的基.
\[E_{ij}(e_k) = \begin{cases} e_i \ \ \ \mbox{ if } k=j; \\ 0\_X \ \ \ \mbox{ if } k \neq j. \end{cases}\]易证此时恒等映射 I 在此基下对应的矩阵如下, 即 $I = E_{11} + E_{22} + \cdots + E_{nn}$.
\[I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}\]P.S. 我理解在其他基下恒等映射的矩阵表示可能并不会是这样=.
定义映射 $H: \mathcal{L}(X,X) \to \mathcal{L}(Y,Y); \dim X = \dim Y$, H 就是朴素地把 $f \in \mathcal{L}(X,X)$ 对应的矩阵表示映射为同样矩阵表示在 $\mathcal{L}(Y,Y)$ 中对应的元素. 此时 $\mathcal{L}(X,X), \mathcal{L}(Y,Y)$ 采用的基如上 $E_{ij}$. 此时 $H(f) = g, f, g$ 具有相同的矩阵表示. 易证 H 是 $\mathcal{L}(X,X) \to \mathcal{L}(Y,Y)$ 的线性同构. 易证 $H(I_X) = I_Y, H(fg) = H(f) H(g)$. 即 H 是 $\mathcal{L}(X,X) \to \mathcal{L}(Y,Y)$ 环同构.
由 代数学基础 知识可知这里 H 将 $\mathcal{L}(X,X)$ 可逆元映射到 $\mathcal{L}(Y,Y)$ 中可逆元, 且对于 $\mathcal{L}(Y,Y)$ 可逆元, $H^{-1}$ 将其映射到 $\mathcal{L}(X,X)$ 可逆元; 即 H 是这俩环乘法群同构. 所以 $\mathcal{L}(X,X), \mathcal{L}(Y,Y)$ 中的乘法群也是同构的. 这也是为啥 Lax 老师说 $GL(n, K)$ 只于 n, K 有关. 等等与 n 有关上面证明表明了.
那与 K 有关呢? 目前为止若不特殊说明则讲到的涉及到多个线性空间的定理都仅当线性空间都是定义在相同数域 K 上才成立. 比如对于两个不同的域, 线性空间之间的同构关系是依赖于域上的线性变换的存在性与否的. 例如, 假设 X 是实数域上的二维平面而 Y 是复数域上的二维平面, 那么它们的维数相同(都是二维), 但是它们不是同构的. 因为实数域上的线性空间和复数域上的线性空间有着不同的性质, 导致它们之间不存在保持线性结构的双射(同构).
P.S. Lax 老师为啥要在这里多嘴说一句 $GL(n, K)$ 只于 n, K 有关呢.. 在引入矩阵之后再论证不是更合理么==. 估计也有不引入矩阵来证明这里群同构的法子吧 ==
