早在去年甚至更久的时候, 出于某些原因, 我一直想重建下自己的数学知识体系. 中科大培养方案, 中科大评课社区 给了我非常大的帮助! 真的是非常感谢他们.
本系列文章是对欧阳毅老师代数学基础教材的学习. P.S. 唉我当时以为代数学基础嘛, 基础嘛? 能有多难, 132页, 我一周拿下. 没想到最后花了我将近 10 天的功夫==
定义 2.1, 这里群的定义缺少一个封闭性: 若元素 a, b 属于 G, 则 ab 运算也属于 G. 注意本章中对于乘法, 加法, 1/0 这种标识若不特殊说明, 都是泛指群的运算, 单位元. 这里半群, 含幺半群的定义与原文一致, 即半群, 含幺半群均不需要满足封闭性要求.
错啦!错啦! 这里错啦. 根据 link1 描述, 一般二元运算的定义是: $op: G \times G \to H$, 群要求 $G = H$. 换而言之, 原文这里提到的 “二元运算 $\cdot$” 定义是 $G \times G \to G$, 即具有封闭性要求了. 从而这里半群, 含幺半群也隐式地满足封闭性要求的.
命题 2.2, 易证这里单位元也是唯一的.
例 2.6, R 在乘法运算下构成阿贝尔群, 这个例子不对! 此时 0 没有逆元. 例 2.7/2.8 不太懂, 不过无关细节, 只要了解构成群的元素不单单是数, 各种几何物件都可以算.
定义 2.18, 准确来说应该是命题, 对于群 G, H; 令 S = G 与 H 笛卡尔积, 定义运算: $\forall s_1=(g_1,h_1), s_2=(g_2,h_2) \in S, s_1 \cdot s_2 = (g_1 \cdot g_2, h_1 \cdot h_2)$, 则 S 在该运算下构成群. 这里 G 的运算与 H 的运算可能并不是同一种运算. 哦哦, 这里 “定义” 是指直积的定义.
例 2.21, 这个加法定义表让我咋一看有点懵, 其实就是普通的表格, 比如第2行第2列对应的是 1 + 1 的结果, 即 0.
例 2.22, 这个高斯整数环是个交换环. 我以为就是普通的含幺环呢.
定义 2.25, 证明这里 $R^{\times}$ 是个群.
证明: 这里主要证明下封闭性, 即 $\forall a, b \in R^{\times}; ab \in R^{\times}$ 也成立. 由 $a, b \in R^{\times}$ 可知 $a^{-1}, b^{-1} \in R^{\times}$; 此时 $a^{-1}\cdot b^{-1}, b^{-1} \cdot a^{-1}$ 属于 R, 不过由于这里乘法运算不一定满足交换律, 这俩元素不一定一致. 但这里乘法满足结合律, 所以可知 $(a\cdot b)\cdot(b^{-1} \cdot a^{-1}) = 1$, 即 ab 是可逆元, 所以 $ab \in R^{\times}$ 成立.
如下结论是错误的, 留着作为一个反例. 定义 2.19, 我这里有个小问题, 若 F 是域, 则 F 本身关于乘法运算是阿贝尔群么? 如下分情况探讨下, 此时 $F - {0}$ 是关于乘法的阿贝尔群, 即乘法单位元 $1 \in F - {0}$, 意味着加法单位元 0 一定不是乘法单位元. 此时:
- 若加法单位元 0 在 F 中关于乘法运算不存在逆元, 则显然此时 F 不可能是群.
- 若加法单位元 0 在 F 中关于乘法运算存在逆元
- 且逆元是自身, 此时可知 F 也是阿贝尔群.
- 且逆元不是自身, 这种情况不可能. 因为此时 $0^{-1} \in F - {0}$, 根据命题 2.2 逆元唯一, 可知 $0^{-1}$ 在 $F - {0}$ 中没有逆元, F 不可能是域.
反过来若 F 自身关于乘法是群, 那么 F 还可能是域么? 即此时 $F - {0}$ 有可能也是关于乘法的阿贝尔群么? 答案分情况讨论:
- 若加法单位元 0, 乘法单位元 1 是同一个元素, 则 $1 \notin F - {0}, F - {0}$ 都不是群.
- 若加法单位元 0, 乘法单位元 1 不是同一个元素:
- 且 0 逆元 $0^{-1}$ 是自身, 则此时 $F - {0}$ 是否是群取决于其是否仍能满足封闭性; 若 F 中存在 a,b 其乘法运算结果是 0, 那么这里 $F - {0}$ 不满足封闭性, 自然也就不可能是群了.
- 且 0 逆元 $0^{-1}$逆元不是自身, 则 $F - {0}$ 不可能是群.
这里解释下如何如上结论是错误的, 以及若干正确的结论.
2.19.zy1, 若 F 是群, + 是其对应二元运算. 若对于 F 中某个元素 a 有 a + a = a, 则 a 一定是单位元 0.
证明: $a \in F, a^{-1} \in F$, 有:
\[\begin{align} a + a + a^{-1} + a^{-1} &= a + (a + a^{-1}) + a^{-1} \\ &= a + 0 + a^{-1} = 0 \\ a + a^{-1} + a^{-1} &= a^{-1} \\ a^{-1} &= 0 \end{align}\]结合命题 2.22 逆元唯一可证 a 为单位元.
2.19.zy2, 若 F 是环, 0 是加法单位元, 则对于 F 中任意元素 b, 0 与 b 乘法运算都是 0.
证明: $\forall b, 0 \cdot b = (0 + 0) \cdot b = 0 \cdot b + 0 \cdot b$, 结合 2.19.zy1 可得 $0 \cdot b = 0$
2.19.zy3, F 中加法单位元 0 与乘法单位元 1 可能是同一个元素么?
解: 假设 F 中 0, 1 是同一个元素, 则由 2.19.zy1 可知 $\forall b \in F, 0 \cdot b = 1 \cdot b = b = 0$, 即 F 全为 0, 这样一个仅包含一个元素 (0) 的环被称为 平凡环 或 零环.
同理可以看出对于非平凡环, F 中加法单位元 0 与乘法单位元 1 不可能是同一个元素.
2.19.zy4, 因此若 F 是非平凡环, 则 F 本身不可能是关于乘法的群, 因为加法单位元 0 没有逆元.
2.19.zy5, 同样若 F 关于加法运算是阿贝尔群, 关于乘法是群, F 中元素不全为加法单位元 0, 那么 F 不可能是环.
例 2.26, 本小段搞这么多只是为了研究下, 若 F 是域, 那么 $F^{\times}$ 只会是 $F - {0}$ 么? $F^{\times}$ 可能是自身 F 么?
解: 不可能! $F^{\times}$ 只会是 $F - {0}$!
P.S. 在命题 2.27 中看到了这里的一些结论, 感觉排版上在介绍环这个概念之后应该紧跟着介绍这个概念相关的一些性质定理更好一点==
命题 2.27, n(-a) = -(na), 即 n 个 (-a) 之和的负元是 n 个 a 之和. 原文这里用 (-n)a 我觉得不好, 这个符号没啥意义呀?
定理 2.28, 这里 $x \in R, n \in N, x^n$ 表示的是 n 个 x 在乘法运算下的结果.
定义 2.29, 证明: 域都是整环;
证明: 假设存在 $a \ne 0, b \ne 0, ab = 0$, 则 $a \in F - {0}, b \in F - {0}, ab \notin F - {0}, F - {0}$ 不满足群的封闭性要求!
2.31.zy1, 对于群 G, 元素以及其逆元是一一对应的关系.
证明: 假设对于 G 中不同元素 a, b 它们具有相同逆元, 即 -b = -a, 则 -b + b = -a + b = 0, 即 -a 的逆元是 b, 而已知 -a 的逆元是 a, 结合逆元唯一性要求可知 a = b.
P.S. 我这里本来想接着证明下除单位元外元素逆元不可能是自身. 后来想起了例子 2.21, 在布尔代数中, 1 的逆元正是自身 1.
定义 2.32, 子环定义中为何要把 ‘T=0’ 单独抽出来?
解: 由 2.19.zy3 可知若环 R 为非平凡环, 则 T=0 在乘法运算中不包含乘法单位元, 所以 T=0 不符合环的定义. 那我理解就让 T=0 时不是 R 的子环好了, 为啥这里要强行令 T=0 是 R 的子环呢?
定义 2.34, $(x, 1) \cdot (1, y) = 0$ 应该是印刷错误 $(x, 0) \cdot (0, y) = 0$.
多项式次数, 原文这里 ‘非零多项式次数为 1’ 令我感到很奇怪, 这与 $f(x) = a_1x$ 这类次数也为 1 的多项式该怎么区分? 查了一下, 这里应该是笔误, 非零多项式次数为 0.
命题 2.49(2) 这个命题是指令 X 为 G 到 H 所有同构组成的集合, 则 X = fAutG, 这里 f 为任一 G 到 H 的同构. 即令 g, f 为 G 到 H 的同构, 则 gAutG = fAutG. 也即要找到 G 到 H 所有同构, 只要先找到一个同构, 之后便可以通过复合操作构造出所有同构了.
P.S. 这里 X 中元素通过复合操作能否构成群? 构成不了, 准确来说复合操作在这里应用不了…
命题 2.51, 这里指出了若 $g \in R_1^{\times}$, 即 g 存在逆元, 则 f(g) 也存在逆元, 且 $f(g)^{-1} = f(g^{-1})$.
证明:
\[\begin{align} f(1) = f(g \cdot g^{-1}) = f(g^{-1} \cdot g) \\ f(g \cdot g^{-1}) = f(g) \cdot f(g^{-1}) \\ f(g^{-1} \cdot g) = f(g^{-1}) \cdot f(g) \end{align}\]即 $f(g^{-1}) \cdot f(g) = f(g) \cdot f(g^{-1}) = f(1) = 1$, 则按照逆元定义 $f(g^{-1})$ 就是 f(g) 的逆.
2.52.zy1, 在交换群 G 中, 使用 + 表示其二元运算, 对于不同元素 g, h; g + (-h) 一定不为单位元 0.
证明: 假设 g + (-h) = 0, 则在交换群中 g + (-h) = (-h) + g = 0, 即 g 就是 (-h) 的逆元, 即 g 就是 h 了. 矛盾!
P.S. 感觉这里若 G 不是交换群, 则应该不会有这条结论.
例 2.52, 证明域到环的同态 f 一定是单同态.
证明: 假设存在 F 中不同元素 g, h, f(g) = f(h), 则 g + (-h) 不为 0, 即 $g + (-h) \in F^{\times}$ 可逆.
\[\begin{align} f(1) &= f((g+(-h)) \cdot (g+(-h))^{-1}) = f(g+(-h)) \cdot f(g+(-h))^{-1} \\ &= (f(g) + f(-h)) \cdot f(g+(-h))^{-1} \\ &= (f(g) + -(f(h))) \cdot f(g+(-h))^{-1} \\ &= 0 \cdot f(g+(-h))^{-1} = 0 \quad \text{2.19.zy2} \end{align}\]与 f(1) = 1 矛盾.
例子 2.56, 这里令 a = x + yi, b = z + wi; 则映射 f = (x + yi) + (z + wi)j = x + yi + zj + wk.
