定理 3.3, 设 r 是 I 中最小的自然数. 等等这里为什么敢假设 I 中存在最小自然数? 这是因为 $I \cap N \subseteq N$ 是良序集, 所以存在最小元素.
命题 3.5(1), 这里 $(\pm a, \pm b)$ 是指 (+a, +b), (+a, -b), (-a, +b), (-a, -b); 以 (+a, -b) = (a, b) 为例证.
证明: 令 d = (a, b), 则 d|a, d|b, d|(-b), 即 d 也是 (a, -b) 公因子. 假设 d1 = (a, -b), d1 > d, d1 | a, d1 | (-b), d1 | b 也成立, 即 d1 也是 (a, b) 公因子. 但 d1 > d 矛盾.
定理 3.6, 这里对原文证明略作补充.
- 这里原文在证明 $d_1 | d$ 时应该是使用了命题 3.8(1) 的结论, 但命题 3.8(1) 的结论在证明时依赖了定理 3.6, 有点循环证明了. 我这里换个方法证明下 $d_1 = d$.
证明: 易知 $d|d_1, 0 \lt d_1 \le d$, 即 $\exists c > 0, d_1 = dc$, 得 $dc \le d, 0 \lt c \le 1$, 所以 c=1, 即 $d = d_1$.
- 证明 I = dZ; $I \subseteq dZ$ 是比较直观的, 这里主要证明下 $dZ \subseteq I$.
证明: 已知 $d \in I$, 即 $\exists x_1, y_1, d = ax_1 + by_1$, 所以 $\forall z \in Z, dz = a(zx_1) + b(zy_1)$, 即 $dZ \subseteq I$.
- 由这个命题我们直接得到几个小结论, 若 d = (a, b); 则 d > 0. 且 d 是 ${ax + by}$ 集合中最小的正整数.
比如命题 3.8(4) 就利用了这一结论, 因为 $1 \in {abx + my}$, 即 1 是 ${abx + my}$ 集合中最小的正整数, 所以 (ab, m) = 1.
3.1.3 欧几里得算法说明
解: 这里着重说明下 $(a, b) = (b, r_1)$, 由于 $r_1 = a - bq_1$ 易知 ${ax + by | x, y \in Z} = { bx + r_1y | x, y \in Z }$. 结合定理 3.6 可知, 若 $d = (b, r_1)$, 则 d 是集合 ${ bx + r_1y | x, y \in Z }$ 最小正整数, 同时也是集合 ${ax + by | x, y \in Z}$ 最小正整数, 即 d = (a, b).
命题 3.11(2) 求证
证明: 已知 a | d, b | d; 所以 ma | md, mb | md, 即 md 是 ma, mb 公倍数; 令 h=[ma, mb]; 则存在正整数 k, md = hk; ma | h, mb | h, 所以 a | h/m, b | h/m, 即 h/m 是 a, b 公倍数; 所以存在正整数 l, h/m = dl; 即 h = mdl = hkl; 所以 kl = 1, 即 k = 1, l = 1. 即 h = md.
命题 3.11(3), 对证明略作补充.
假设我们已经证得 (a, b) = 1 时, [a, b] = |ab|; 现在考虑 k = (a, b) != 1 的情况, 由命题 3.8(3) 可知 (a/k, b/k) = 1, 此时 $[\frac{a}{k}, \frac{b}{k}] = \frac{|ab|}{k^2}$, 应用命题 3.11(2) 可得 $[a, b] = \frac{|ab|}{k}$ 得证.
引理 3.14.zy1, 对于 n>=2 时正因子中最小值必为素数.
证明: 假设此时正因子最小值 c 不是素数, 则表明 c 除了 1, c 之外还存在正因子 d, d < c, d|c, 与此同时 d 也是 n 的因子. 这违背了 c 是最小正因子.
P.S. 这一命题换而言之就是 n 必存在素数因子.
定理 3.15, 这里对证明略作补充.
证明: 由定理 3.3 可知, 对于每一个素数 $p_i$, N 都写成了 $p_i \cdot k_i + 1$ 的形式, 即 $p_i \nmid N$. 结合 3.14.zy1 N 必存在一个素数因子可证毕.
定理 3.16, 略作补充
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可以看到这个证明严重依赖 ‘X’ 必存在最小值这一性质. 幸运的是 X 是良序集确实存在最小值.
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$p_1 = q_j$ 的说明, 由欧几里得引理可知, 在 $q_1\cdots q_t$ 中必存在 $q_j$, 使得 $p_1 \mid q_j$, 考虑到这俩都是素数即得 $p_1 = q_j$ .
例 3.22 略作补充
- $\sum_{1 \le d \mid n} d = \sum({ d: d \ge 1, d \mid n }). \sum_{1 \le d \mid n} 1$ 即是集合 ${ d: d \ge 1, d \mid n }$ 中元素的个数.
