系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
2.zy1, 域 K 上线性空间 X 上的线性函数被定义为 $f: X \to K$. 易证域 K 上的 K 也是线性空间, 所以这里 f 也是 X, K 的线性映射. 且这里线性空间 K 是 1 维的, 其基可以是 ${1}, \forall k \in K, k = k \cdot 1$.
线性空间 X 的对偶 $X’$. $\forall f, g \in X’$ 定义 (f+g)(x) 为 f(x) + g(x). 定义 $\forall k \in K, f \in X’, (kf)(x) = k \cdot f(x)$. 令 $h = (f+g)(x)$, 易证 $h(x + y) = h(x) + h(y), h(kx) = k h(x)$ 即 $h \in X’$. 同理令 $h(x) = (kf)(x)$ 可证 $h \in X’$. 并且易证此时 $X’$ 满足线性空间其他运算要求. 即 $X’$ 确实是个线性空间.
定理 2, 若线性空间 X 中元素可以像定理 1 中那样用 n 个表示, 即 $X \cong K^n$. 那么定理 2 证明比较直观. 此时已证 X 上线性函数 l 也与 n 个标量构成的列一一对应, 即 $X’ \cong K^n$, 所以 $\dim X’ = \dim X$. 问题是若 X 中元素不可用 n 个标量表示时咋办?
此时可以一样处理, 设 X 中的基为 $x_1, \cdots, x_n. \forall x \in X, x = \sum_{i=1}^n c_i x_i$ 即 x 与 $(c_1, \cdots, c_n)$ 一一对应 $X \cong K^n$. 且 $l(x) = \sum_{i=1}^n c_i l(x_i), a_i = l(x_i)$, 此时 $l, l’$ 相等当且仅当她们对应的 $a_i, i=1,\cdots,n$ 全部相同, 即 l 也与 n 个标量构成的列一一对应, 则可像定理 1 一样证明 $X’ \cong K^n$.
双线性函数. 由上讨论已知任意线性空间 X 中的元素都可以表示为 n 个标量构成的列 $c_1, \cdots, c_n$, 且 X’ 中的元素 l 也可以如此 $(a_1, \cdots, a_n)$, 且 $l(x) = \sum_{i=1}^n a_i c_i$. 此时固定 l, 即固定 $a_i$ 等值, $\sum_{i=1}^n a_i c_i$ 可以视为 $h(x): X \to K, h \in X’$. 固定 x, 即固定 $c_i$ 等值, 则 $\sum_{i=1}^n a_i c_i$ 可以视为 $g(l): X’ \to K, g \in X’’$, 为了方便理解这里可以将 $a_i, c_i$ 视为定理 1 中的 $c_i, a_i$. 所以 $\dim X’’ = \dim X’ = \dim X$. 且易证不同的 $x$, 即不同的 $c_i$ 组合生成了不同的 g(l) 函数, 这种映射 $M: X \to X’’$ 便是 $X, X’’$ 的自然同构.
定理 4 $\dim Y^{\perp} + \dim Y = \dim X$, 这里对证明略作补充.
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定义映射 $h: Y^{\perp} \to (X/Y)’. L = h(l), l \in Y^{\perp}, L \in (X/Y)’$. 这里 $L([x]) = l(x)$.
这里证明 L 是合法的映射, 即若 $[x_1] = [x_2]$, 那么 $L([x_1]) = L([x_2])$. 即 $l(x_1) = l(x_2), x_1 - x_2 \in Y$. 由 $l(x_1) = l(x_1 - x_2 + x_2) = l(x_1 - x_2) + l(x_2) = l(x_2)$ 可证. 且易证 $L([x_1] + [x_2]) = L([x_1]) + L([x_2]), L(k[x_1]) = k L([x_1])$ 即 $L \in (X/Y)’$.
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再证 h 本身是 $Y^{\perp} \to (X/Y)’$ 的线性映射.
易证 $h(l_1 + l_2) = h(l_1) + h(l_2), h(k l) = k h(l)$. 且易证 h 是单射. 下面证 h 是满射, $\forall L \in (X/Y)’$ 定义 $l(x) = L([x]), l: X \to K$, 易证这里 $l \in X’$. 且 $\forall y \in Y, l(y) = L([y]) = L([0]) = 0. l \in Y^{\perp}$. 且易证 $h(l) = L$.
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所以 h 是 $Y^{\perp} \to (X/Y)’$ 的线性同构.
练习 1. 我这里一开始以为练习 1 讲的是: 证明存在线性函数 $\exists l \in X’, \forall x \in X, x \ne 0, l(x) \ne 0$. 考虑到这里 $l \cong K^n, l = (a_1, \cdots, a_n), a_i \in K$. 这里要求找到 $a_1, \cdots, a_n$ 是线性无关的 l. 即等同于证明 $\dim K \ge n$. 但由 2.zy1 知 $\dim K = 1$. 懵逼了…
后来定睛一看才意识到练习 1 讲的是: $\forall x_1 \in X, \exists l \in X’, l(x_1) \ne 0$. 假设 $\exists x_1 \in X, \forall l \in X’, l(x_1) = 0$, 令 $Y = {k x_1 \mid k \in K}$, 则 Y 是 X 的线性子空间. 且 $\forall l \in X’, l \in Y^{\perp}, Y^{\perp} = X’$. 但由定理 4 结合 $\dim Y = 1$ 可知这不可能.
定理 5, 咋一看 $Y^{\perp\perp} = Y$ 很奇怪, 毕竟 $Y^{\perp\perp}$ 中的元素都是映射, 而 Y 中元素可能是各种各样, 这俩集合肯定不可能是一回事. 由上已知存在线性同构 $h: X \to X’’, X \cong X’’$. 定理 5 更合适的描述是令 $Y^2 = h(Y)$ 则 $Y^2= Y^{\perp\perp}$.
由这里 h 特性易证 $Y^2$ 是 $X’’$ 的线性子空间. $\forall y = (y_1, \cdots, y_n) \in Y, L = h(y), L: X’ \to K$. 且 $\forall l \in Y^{\perp}, \forall y \in Y, l(y) = 0$. 所以 $L(l) = \sum_{i=1}^n a_i y_i = l(y) = 0$, 这里 $a_1, \cdots, a_n$ 对应着 l. 即 $L \in Y^{\perp\perp}, Y^2 \subseteq Y^{\perp\perp}$. 之后由原文证法可得 $\dim Y^2 = \dim Y^{\perp\perp}$ 即 $Y^2 = Y^{\perp\perp}$.
P.S. 关于这里 $Y = Y^{\perp\perp}$, 见第 3 章练习 8 有了点新理解, 即 n 元标量构成的列是相同的.
定理 6, 这里补充下证明.
证明: 首先证明 S 存在极大线性无关组. 参考 A.3.3.zy3 同样利用佐恩引理证明即可. 且由于 X 是有限维的, 这里 S 的极大线性无关组必定也是有限的, 记 $x_1, \cdots, x_m$ 是 S 的极大线性无关组. 记 $Y = \text{span}(x_1, \cdots, x_m)$ 由练习 1.9 可知 Y 是包含 S 且最小的子空间.
$S \subseteq Y; \forall l \in Y^{\perp}, l(y) = 0, \forall y \in Y$ 可得 $\forall s \in S, l(s) = 0, l \in S^{\perp}, Y^{\perp} \subseteq S^{\perp}$. 之后由 $\forall y \in Y, y = \sum_i y_i x_i, \forall l \in S^{\perp}, l(y) = \sum_i y_i l(x_i) = 0, l \in Y^{\perp}$, 即 $S^{\perp} \subseteq Y^{\perp}$.
定理 7, 算是对对偶的一次应用, 用来告诉我们对偶是有其实际意义的, 并不是空中楼阁.
- $q_k(t_k) \ne 0$. 由 多项式的拉格朗日定理 可得 $q_k$ 至多有 n - 1 个根. 若 $q_k(t_k) = 0$ 则意味着 $q_k$ 有了 n 个不同的根了.
- $l = \int_I p, l: X \to R, l \in X’$ 所以存在唯一一组 $m_1, \cdots, m_n; l = \sum_i m_i l_i$. 即 $\forall p \in X, \int_I p = l(p) = \sum_i m_i l_i(p)$ 成立.
练习 6(c)(1) 解答: $\forall x \in V, x = \sum_i x_i e_i, \forall l \in V’, l(x) = \sum_i x_i l(e_i)$, 即 $l$ 可以用 $l(e_1), \cdots, l(e_n)$ 唯一表示 $V’ \cong K^n$. 易证 $(1, 0, \cdots, 0), \cdots, (0, \cdots, 0, 1)$ 是 $K^n$ 的基, 由 A.3.5.zy1 可知 $l_1, \cdots, l_n$ 也是 $V’$ 的基.
