A.2 这里接着 代数学基础: 群论基础(2) 看下商群等概念定义.
香蕉空间-陪集, 左陪集 $G/H = {gH, g \in G}$. 右陪集 $H \setminus G = {Hg, g \in G}$.
A.2.zy1, 左陪集, 右陪集之间存在自然双射.
证明: 令 $f: G/H \to H \setminus G: gH \to Hg^{-1}$. 易见 f 是个满射. 设 $f(g_1 H) = f(g_2 H), H g_1^{-1} = H g_2^{-1}$ 由代数学基础 6.10 可知 $g_1^{-1} g_2 \in H$, 再由 6.10 可得 $g_1 H = g_2 H$. f 是个单射.
A.2.zy2, 当 H 为正规子群时, $G/H = H \setminus G$. 在集合 $G/H$ 上定义乘运算 $(g_1 H) \cdot (g_2 H) = (g_1 g_2) H$, 易证此时会变成群, 该群即商群.
A.2.9(2), $\ker(\phi) = {e}$ 意味着 $\phi$ 是单同态.
证明: 假设 $\phi$ 不是单同态, 即存在 $g_1, g_2 \in G_1, \phi(g_1) = \phi(g_2)$. 意味着 $\phi(g_1 g_2^{-1}) = e = \phi(g_2^{-1} g_1)$. 即 $\ker(\phi) = {e, g_1 g_2^{-1}, g_2^{-1} g_1}$. 假设 $g_1 g_2^{-1} = g_2^{-1} g_1 = e$, 此时意味着 $g_1$ 的逆就是 $g_2^{-1}$, 即 $g_1, g_2$ 具有相同的逆, 根据 2.31.zy1 可知 $g_1 = g_2$; 矛盾了! 所以 $g_1 g_2^{-1}, g_2^{-1} g_1$ 不全为 e, 与 $\ker(\phi) = {e}$ 矛盾了.
A.2.9(4) 群同构基本定理.
证明: 令 $H = \ker(\phi), G_1 / H = {g H, g \in G_1}$, 定义映射 $\hat{\phi}(gH) = \phi(g): G_1 / H \to \mathrm{Im}(\phi)$. 首先证 $\hat{\phi}$ 是个定义良好映射: 即对于 $g_1 \ne g_2, g_1 H = g_2 H, \hat{\phi}(g_1 H) = \hat{\phi}(g_2 H)$, 此时 $g_1 g_2^{-1} \in H$, 即 $\phi(g_1) = \phi((g_1 g_2^{-1}) g_2) = \phi(g_2)$.
由 $\hat{\phi}((g_1 H) \cdot (g_2 H)) = \hat{\phi}((g_1 \cdot g_2) H) = \phi(g_1 \cdot g_2) = \hat{\phi}(g_1 H) \cdot \hat{\phi}(g_2 H)$ 易证 $\hat{\phi}$ 是个群同态, 易证其也是一个满同态. $\forall xH \in \ker{\hat{\phi}}, \hat{\phi}(xH) = \phi(x) = e$, 即 $x \in H, xH = H$. 所以 $\ker{\hat{\phi}} = {e}$, 由 A.2.9(2) 可证其是一个单同态.
A.3 线性空间, 先看下这里线性空间等概念的定义. 之后再回到 2.2 欧氏空间, 我们一步步给这里的欧氏空间增加结构使其满足 A.3 线性空间等概念定义. 对应到程序界, 相当于 A.3 线性空间定义了线性空间类. 2.2 欧氏空间则是类的一个实例化对象.
A.3.1.zy1, 对于群 G 中元素 a, 若 a + a = a, 则 a 是零元.
证明: (a + a) + (-a) = a + (-a) = 0 = a + (a + (-a)) = a. 这里 (-a) 表示 a 的逆元.
A.3.1.zy2, 向量空间中任意元素与 0 相乘结果为零元.
证明: 0u = (0 + 0)u = 0u + 0u, 结合 A.3.1.zy1 可得 0u = 零元.
A.3.1.zy3, 向量空间中任意元素 u 与 -1 相乘结果为 u 的逆元.
证明: -1 u + u = (-1 + 1) u = 0. 则 (-1 u + u) + (-u) = (-u) = -1 u + (u + (-u)) = -1 u. 这里 -u 为 u 的逆元, 易证 -1 u = -u.
A.3.1.zy4, W 是 V 的子空间当且仅当 W 对加法和数乘封闭.
证明: 根据 A.3.1.zy2, A.3.1.zy3 可知 W 是 V 子群. 易证 W 此时满足线性空间其他性质.
线性无关另一个定义: I 是指标集, $(v_i \in V)_{i \in I}$ 是向量空间 V 中一组向量, 该向量组线性无关意味着 $\sum_{i\in I}a_i v_i = 0$ 当且仅当 $a_i = 0, \forall i \in I$.
P.S. “另一个定义” 提到的 “域”, 与实数系的关系; 类似于 C++ 中类与对象的关系. 这里 “域” 指的是类, 而实数系是域的一个实例化对象.
这个定义与原文 A.3.3(3) 定义是等价的. 即 $(v_i \in V)_{i \in I}$ 线性无关当且仅当其任意有限子集都是线性无关的.
证明: 本来我想证明这俩定义的等价性, 但没有整出来. 搜了下 MSE 看了下大家都说向量组线性无关的定义就是其任意有限子集都是线性无关的, 也就是不需要证. 那难道是 “另一个定义” 错啦? 我再定睛一看, 才发现是我看漏了 “若这些系数中只有有限个非零”, 即这里另一个定义与 A.3.3(3) 确实是完全等价定义.
A.3.3.zy1, 线性无关向量组 S 的任意子集是线性无关.
证明: 假设其某子集是线性相关, 即该子集下内有一有限子集是线性相关, 即 S 内有一有限子集是线性相关, 矛盾了.
空集是线性无关的. 假设空集是线性相关的, 意味着存在一组 $a_i, i \in I, a_i$ 不全为 0 使得 $a_i v_i = 0, v_i \in \emptyset$, 这这这明显不可能嘛…
P.S. 两两线性不相关并不总直接指出整个向量组的线性无关性, 举个反例 a = (1, 0, 0); b = (0, 1, 0); c = (1,1,0). 此时 a, b; b, c; a, c 线性无关. 但 a, b, c 线性相关.
基, 原文的定义没有 香蕉空间-基 的定义更清晰.
A.3.3.zy2, 若向量组 $B=(v_i \in V)_{i \in I}$ 是 “香蕉空间-基” 定义的基, 则向量组中其他向量都可以唯一表示为 $(v_i \in V)_{i \in I}$ 的线性组合.
证明: 这里只考虑哪些不属于 B 中的向量 x, 由定义可知 $B \cup {x}$ 是线性相关的, 意味着 B 中存在有限子集 $B’ = {v_j \in B, j \in J}, B’ \cup {x}$ 线性相关, 即存在 $a_j’, j \in J, a$ 使得 $\sum_{j \in J}a_j’ v_j + ax = 0$, 即 x 可以表示为 $B’$ 的线性组合 $x = \sum_{j \in J}a_j v_j$, 即可以表示为 B 的线性组合.
再证唯一性. 假设另存在有限子集 $C’ = {v_k \in B, k \in K}$, 使得 $x = \sum_{k \in K}b_k v_k$. 若 $C’ = B’$, 则意味着 $\sum_{j \in J}(a_j - b_j) v_j = 0$, 意味着 $B’$ 是线性相关的, 矛盾了. 若 $B’ \ne C’$, 则令 $D = B’ \cup C’$, 则 x 可以表示为 D 的线性组合 $x = \sum_{l\in L}c_l v_l = \sum_{l\in L}d_l v_l, v_l \in D$, 此时如果 $v_l \in B’$, 对应 $c_l = a_j$, 否则为 0. $v_l \in C’$, 对应 $c_l = b_k$, 否则为 0. 则易证 D 是线性相关, 矛盾了.
A.3.3.zy3, 基存在定理: 任意向量空间 V 都存在基
证明: 记 S 为 V 的全体线性无关子集组成的集合: $S = {X \subseteq V }$, 这里 X 线性无关. $\emptyset \in S$, 所以 S 是非空集合. 在 S 上定义偏序 $\le, X \le Y \Leftrightarrow X \subseteq Y$. 对于 S 任意全序子集 T, 即 $\forall x, y \in T$ 要么 $x \subseteq y$ 要么 $y \subseteq x$, 即 T 中元素是一个包含一个的情况. 令 $M = \bigcup_{t \in T}t$, 对于 M 任意有限子集 m, 易证 $\exists t’ \in T, m \subseteq t’$, 即 m 线性无关, 即 M 是线性无关 $M \in S$, 所以 M 是 T 的一个上界. 由佐恩引理可知 S 中存在最大元素, 易证该最大元素符合基的定义.
P.S. 佐恩引理相关可以参考陶哲轩 analysis i 8.5.15 无限集章节.
A.3.3.zy4, Steinitz 换元性质. 对线性空间 V 的任何两个基 Z,W, 若 $x \in Z \setminus W$ 则存在 $y \in W \setminus Z$ 使得 $(Z \setminus {x}) \cup {y}$ 也是 V 的基.
证明: 首先易证若 Z, W 不相同, 则 $Z \not\subseteq W$ 且 $W \not\subseteq Z$, 反证假设 $Z \subset W$, 则意味着存在 $y \in W \setminus Z, Z \cup {y}$ 线性相关, 与 W 线性无关矛盾了. 根据基的性质, $\forall w \in W, \exists S_w \subseteq Z$ 有限子集且 w 可以写作 $S_w$ 线性组合.
此时 $x \in \bigcup_{w \in W\setminus Z}S_w$, 反证: 此时对于 W 中任意元素 w, 若 w 属于 Z, 则 w 不可能是 x, 此时易证 w 可以写作 $Z \setminus {x}$ 的线性组合. 若 w 不属于 Z, 由 $x \notin \bigcup_{w \in W\setminus Z}S_w$ 可知, 其也可以写作 $Z \setminus {x}$ 的线性组合. 考虑到 V 中任意元素都可以写作 W 的线性组合, 即 V 中任意元素也可以写作为 $Z \setminus {x}$ 的线性组合, 易证 $Z \setminus {x}$ 此时也是 V 的基, 与 Z 是基矛盾了.
所以 $\exists y \in W\setminus Z, x \in S_y$, 即 x 可以表示为 $(S_y \setminus {x}) \cup {y}$ 的线性组合. $\forall x’ \in Z \setminus {x}$ 易知 $x’$ 都可以写作 $Z \setminus {x}$ 的线性组合. 所以 Z 中所有元素都可以写作 $(Z \setminus {x}) \cup {y}$ 的线性组合, 即 $(Z \setminus {x}) \cup {y}$ 是 V 的基.
A.3.3.zy4, 任意向量空间的任何两组基 Z, W, 其基数是相同的.
证明: 一开始陷入 “香蕉空间-基” 中提供的证明了. 其实没有那么复杂.
根据 Steinitz 换元性质可知, 存在 Z 到 W 的单射, 以及 W 到 Z 的单射. 再根据陶哲轩 analysis i 习题 8.3.3, 易证 W, Z 基数相同.
P.S. 三维欧氏空间基数是 3. 易见 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 是 3 维欧氏空间的一个基, 易知其他基的基数也是 3.
A.3.5 任何线性映射 $L: V_1 \to V_2$ 的像集是 $V_2$ 的线性子空间.
证明: 由上述知识可知, 这里我们仅需要证明 $\mathrm{Im}(L)$ 对数乘封闭即可. $\forall v_2 \in \mathrm{Im}(L), \lambda \in \mathbb{R}$ 易知 $\exists v_1 \in V_1, L(v_1) = v_2, L(\lambda v_1) = \lambda v_2$, 即 $\lambda v_2 \in \mathrm{Im}(L)$.
A.3.5.zy1, $L: V_1 \to V_2$ 同构的向量空间具有相同的维数.
证明: 首先证 $L(0_1) = L(0 \cdot v) = 0 \cdot L(v) = 0_2$, 即 L 将 $V_1$ 的零元映射到 $V_2$ 的零元, 另外这里 L 是双射, 所以 $L^{-1}(0_2) = 0_1$. 接下来证 $V_1$ 的基 $A={v_1, \cdots, v_n, \cdots}$ 经 L 映射为 $V_2$ 的基 $B={L(v_1), \cdots, L(v_n), \cdots}$, 对于 B 的任意子集 ${L(v_{i_1}), \cdots, L(v_{i_k})}$, 假设其是线性相关的, 即 $a_1 L(v_{i_1}) + \cdots + a_k L(v_{i_k}) = 0_2$, 即 $L(a_1 v_{i_1} + \cdots + a_k v_{i_k}) = 0_2$, 即 $a_1 v_{i_1} + \cdots + a_k v_{i_k} = 0_1$, 矛盾了.
A.3.5.zy2, 任何两个具有相同维数的向量空间 V, W 都是同构的.
证明: 现设 V 基为 $A={v_1, \cdots, v_n, \cdots}$, W 基为 $B={w_1, \cdots, w_n, \cdots}$, V, W 维数相同易知 A, B 中存在双射使其一一对应. 对于 V 中任意元素 v, 其可以唯一写为 A 某一有限子集的线性组合, 即 $v = a_1 v_{i_1} + \cdots + a_k v_{i_k}$, 以此来构造映射 $f: V \to W, f(v) = a_1 w_{i_1} + \cdots + a_k w_{i_k}, v_{i_k}, w_{i_k}$ 一一对应. 易证这里 f 是线性映射以及双射.
A.3.9.zy3, 诱导范数满足定理 2.2.3 平行四边形法则
证明: $\vert u+v\vert ^2 = \langle u+v, u+v \rangle$, 按照内积双线性法则展开算就可得答案.
P.S. 这里可以看到 $\langle u, v\rangle = \frac{1}{2}(\vert u + v\vert ^2 - \vert u\vert ^2 - \vert v\vert ^2)$.
A.3.9 柯西-施瓦茨不等式
证明: 令 $f(t) = \langle u + tv, u + tv \rangle, u, v \in V$, 易知 $f(t) = \langle v,v \rangle t^2 + 2\langle u,v \rangle t + \langle u,u \rangle \ge 0$; 即 f(t) = 0 至多只有 1 解, 即 f(t) 判别式 $\le 0$, 若判别式 $\gt 0$, 则意味着 $\exists t_1 \ne t_2; f(t_1) = f(t_2) = 0$, 矛盾了. 而 f(t) 判别式是 $(2\langle u,v \rangle)^2 - 4 \langle v,v \rangle \langle u,u \rangle$, 所以结论成立.
P.S. 若 $\langle u,v \rangle^2 = \langle v,v \rangle \langle u,u \rangle$, 此时意味着存在唯一一个 $t = -\frac{\langle u,v \rangle}{\langle v,v \rangle}$ 使得 f(t) = 0, 即 $u + tv = 0, \langle v,v \rangle u = \langle u,v \rangle v$, u, v 线性相关. 所以两个非零向量 u, v 之间的夹角为 $\pi/0$ 意味着 $\langle u,v \rangle^2 = \langle v,v \rangle \langle u,u \rangle$, 即 u, v 可以认为在同一条直线上.
A.3.9.zy1, 余弦定理 $\vert u+v\vert ^2 = \vert u\vert ^2 + \vert v\vert ^2 + 2\vert u\vert \vert v\vert \cos(\theta), \theta$ 为向量 u, v 夹角.
证明: $\vert u+v\vert ^2 = \langle u + v, u + v \rangle = \langle u, u \rangle + \langle v,v \rangle + 2\langle u, v\rangle = \langle u, u \rangle + \langle v,v \rangle + 2\vert u\vert \vert v\vert \cos(\theta)$. QED
P.S. $\vert u+v\vert = \vert u\vert + \vert v\vert $ 意味着 $\cos(\theta) = 1, \theta = 0$. $\vert u+v\vert = \vert u\vert - \vert v\vert $ 意味着 $\cos(\theta) = -1, \theta = \pi$. 无论哪种情况都可以推出 $\langle u,v \rangle^2 = \langle v,v \rangle \langle u,u \rangle$.
A.3.9.zy2, 对于内积空间中两点 A, B; 对于任一 [0, 1] 范围内的值 a, 存在唯一一个点 C, 使得 $\vert AC\vert + \vert BC\vert = \vert AB\vert , \vert AC\vert = a\vert AB\vert $.
证明: 令 $u = C - B, v = A - C, u + v = A - B$, 则由 A.3.9.zy3 可得 $\langle u, v \rangle = 0$, 再由 A.3.9 柯西-施瓦茨不等式可知 $u = \lambda v$ 计算可得此时 C 可以写作 $A + t(B-A), t \in R$ 的形式. 再由题目要求可得 t 只能为 a.
A.3.9.zy4, 内积空间中若一组不为 0 的元素 ${v_1,\cdots, v_n}$ 两两正交, 则这组元素线性无关.
证明: 假设这组元素线性相关, 即 $\exists a_i, \sum_{i=1}^n a_i v_i = 0$. 此时 $a_n = 0$, 反证设 $a_n \ne 0$, 即 $v_n$ 可以为 ${v_1,\cdots, v_{n-1}}$ 的线性组合 $v_n = b_1 v_1 + \cdots + b_{n-1} v_{n-1}$, 此时 $v_n \cdot v_n = v_n \cdot (b_1 v_1 + \cdots + b_{n-1} v_{n-1}) = 0$, 矛盾了! 同理依此可证 $a_i = 0, \forall i$.
P.S. 数学真是神奇, 能从寥寥无几几条公理入手推出这么多东西.
