本文章介绍了 陶哲轩, analysis ii, 第 8 章, 勒贝格积分前 3 节内容.
定义 19.1.1, 这里 $f^{-1}(c_j)$ 是可测的, 证明见引理 19.1.4. 引理 19.1.4 也说明了若 $f = \sum_{i=1}^Nc_i\chi_{E_i}$, 则 f 是简单函数.
引理 19.1.5, 这里对原文证明过程做一些解释.
- $f_n(x)$ 是简单函数的证明, 原文这里未证 $f_n(x)$ 是可测函数.
证明: 根据 $f_n(x)$ 的定义, 易知:
\[f_n(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{m}{2^n}, m \in [0, 2^{2n}) & f(x) \in [\frac{m}{2^n}, \frac{m+1}{2^n}) \\ 2^n & f(x) \ge 2^n \end{array} \right.\]由于 f 可测, 根据 18.5.8.zy2 可知 $f^{-1}([\frac{m}{2^n}, \frac{m+1}{2^n})), f^{-1}((2^n, \infty))$ 均为可测集合. 即 $f_n(x)$ 可以看作一组 $c_i$, 互不相交可测集合 $E_i$, 按照引理 19.1.4 可知 $f_n(x)$ 可测.
- $f_n(x)$ 序列单调递增
证明: 根据 $f_n(x)$ 定义可得:
\[\begin{align} & f_k(x_0) = \frac{2m}{2^{k+1}} \in \{\frac{j}{2^{k+1}}, j\in Z, \frac{j}{2^{k+1}} \le min(f(x_0), 2^{k+1})\} \le f(x_0) \\ & f_k(x_0) = \frac{2m}{2^{k+1}} \in \{\frac{j}{2^{k+1}}, j\in Z, \frac{j}{2^{k+1}} \le min(f(x_0), 2^{k+1})\} \le f_{k+1}(x_0) \\ \end{align}\]- $f_n(x)$ 逐点收敛 f.
证明: $f(x) \in R$, 即 $f(x) \lt \infty$, 即 $\exists N, f(x) \lt 2^N$. 此时对于 $\forall n \gt N, f_n(x_0) = \sup{ \frac{j}{2^n}, j\in Z, \frac{j}{2^n} \le f(x_0) }$. 假设 $f_n(x_0) = \frac{j_1}{2^n}$, 则可知 $\frac{j_1}{2^n} \le f(x_0) \lt \frac{j_1 + 1}{2^n}$. 即 $d(f_n(x_0), f(x_0)) \le d(\frac{j_1 + 1}{2^n}, \frac{j_1}{2^n}) = \frac{1}{2^n}$.
命题 19.2.6, 对证明过程略作补充.
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(a), 对于任意 s 从下方控制 f, 则 ${s(x) \gt 0} \subseteq {f(x) \gt 0}$, 所以 $m({s(x) \gt 0}) \le m({f(x) \gt 0}) = 0$.
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(e), 这里有一处印刷错误. 准确是 $\int_{\Omega’} f = \int_{\Omega} f \chi_{E} \leq \int_{\Omega} f$
推论 19.2.11, 对原文证明略作补充
- 证明 $\sup_N f_N = \sum_{n=1}^{\infty}g_n$
证明, 这里令 $f_1 = \sup_N f_N, f_2=\sum_{n=1}^{\infty}g_n$, 现在 $f_1, f_2$ 都是函数, 我们要证这两个函数相等, 见定义 3.3.7 函数的相等, 即证 $\forall x \in \Omega, f_1(x) = f_2(x)$.
已知 $\forall x_0 \in \Omega, \forall N, f_N(x_0) \le \sum_{n=1}^{\infty}g_n(x_0)$, 所以有 $\sup_N f_N(x_0) \le \sum_{n=1}^{\infty}g_n(x_0)$. 假设现在存在 $x_0$, 使得 $\sup_N f_N(x_0) \lt \sum_{n=1}^{\infty}g_n(x_0)$.
此时若 $\sum_{n=1}^{\infty}g_n(x_0) = \infty$, 则 $\sup_N f_N(x_0)$ 为有限实数, 令 $a_n = f_N(x_0)$, 则已知 $a_n$ 单调递增, 且有上界, 所以 $a_n$ 收敛, 且 $\lim_{N \to \infty}f_N(x_0) = \sup_N f_N(x_0)$; 而 $f_N(x_0)$ 是 $\sum_{n=1}^{\infty}g_n(x_0)$ 部分和, $\lim_{N \to \infty}f_N(x_0) = \sum_{n=1}^{\infty}g_n(x_0)$, 所以有 $\sum_{n=1}^{\infty}g_n(x_0) \lt \infty$, 与假设已知条件矛盾.
$\sum_{n=1}^{\infty}g_n(x_0) \lt \infty$ 可以类似证出. 所以 $\sup_N f_N(x_0) \lt \sum_{n=1}^{\infty}g_n(x_0)$ 对 $\forall x_0$ 都不成立. 即 $\sup_N f_N(x) = \sum_{n=1}^{\infty}g_n(x), \forall x \in \Omega$.
从这一证明可以看出非负性条件的重要性, 若 $g_n$ 非复兴无法满足, 则 $f_N$ 无法确保单调递增, 即无法确保其收敛性. 这也是习题 19.2.4 不成立的原因之一.
P.S. 注 19.2.12 提到的 $\int_\Omega \lim_{n \to \infty}f_n = \lim_{n \to \infty} \int_\Omega f_n$ 在 $f_n$ 单调递增时是成立的, 这即是定理 19.2.9 勒贝格单调收敛定理.
引理 19.2.14, 我之前有个好奇, 这里 ${x\in \Omega : f(x) = +\infty}$ 会不会是外测度大于 0 的不可测集?! 实际上是不会的, f 是可测函数, 所以 $f^{-1}([+\infty, +\infty])$ 则是可测的.
引理 19.2.15, 对原文证明略作补充.
原文只是由 $ { x \in \mathbb{R}^N : x\in \Omega_n \text{ for infinitely many } n } \subseteq { x \in \mathbb{R}^N : f(x) = +\infty } $ 推测出 $m({ x \in \mathbb{R}^N : x\in \Omega_n \text{ for infinitely many } n }) = 0$, 这一点其实是不太准确的; 因为这里并未证明 ${ x \in \mathbb{R}^N : x\in \Omega_n \text{ for infinitely many } n }$ 是可测的.
其实这里 $ { x \in \mathbb{R}^N : x\in \Omega_n \text{ for infinitely many } n } = { x \in \mathbb{R}^N : f(x) = +\infty } $, 反证假设存在 $x_0, f(x_0) = \infty$, 且 $x_0$ 只在有限 $\Omega_n$ 中出现, 假设 k 个; 则此时 $f(x_0) = k$! 所以 ${ x \in \mathbb{R}^N : f(x) = +\infty } \subseteq { x \in \mathbb{R}^N : x\in \Omega_n \text{ for infinitely many } n }$.
引理 19.3.6, 这里对原文证明过程略作补充.
- $F^{+}$ 绝对可积. 这里先看一个小结论, 若 g <= f <= h, 其中 g, h 绝对可积, 则 f 也绝对可积.
证明: 令 h1 = f - g; h2 = h - g; 根据命题 19.3.3(a, b) 可知 h2 可积. $0 \le h_1 \le h_2, \int_\Omega h_1 \le \int_\Omega h_2$, 所以 $\int_\Omega h_1$ 也为有限值, 即 h1 绝对可积. 这里 f = g + h1, 根据命题 19.3.3(b) 可知 f 也绝对可积.
习题 19.3.3, 基于习题 19.3.3 我想到了一些有趣的小结论.
- 已知 f, g 几乎处处相等, 且 g 绝对可积, 求证 f 也绝对可积.
证明: 首先根据习题 18.5.5 可得此时 f 也是可测函数. f, g 几乎处处相等, 意味着 $|f|, |g|$ 也几乎处处相等, 根据命题 19.2.6(d) 可知 $\int_\Omega |f| = \int_\Omega |g|$ 也是一个有限值, 所以 f 绝对可积.
- 命题 19.2.6(d) 反过来并不一定成立, 即若 $\int_\Omega f = \int_\Omega g$, f 与 g 并不一定几乎处处相等.
说明: 令 h = g - f, 此时并不清楚 h 是否非负, $\int_\Omega h = 0$ 意味着 $\int_\Omega h^+ = \int_\Omega h^-$ 并不意味着 h 几乎处处为 0.
同理命题 19.3.3(d) 反过来也不一定成立.
- 习题 19.3.3 将 R 换成任意可测定义域 $\Omega$ 都是合法的.
命题 19.4.1, 这里对原文证明过程略作补充
- $f_\epsilon^-(x), f_\epsilon^+(x)$ 是简单函数. 见上我对定义 19.1.1 的补充, 可以看到 $f_\epsilon^-(x)$ 对应着一组常数, 一组互不相交的可测区域, 其自然是符合简单函数定义的.
