是的, 这是一本学习笔记, 对 Sutton Reinforcement Learning: An Introduction 的学习笔记, 正如我之前那些学习笔记一样, 这种笔记内容上并不连贯, 阅读性不佳. 更多的是作为我时不时的参考使用, 所以不要尝试读下去.

1 Introduction

1.3 强化学习的要素 1.4 Limitations and Scope 1.5 An Extended Example: Tic-Tac-Toe; 利用强化学习来解决问题的步骤,

Q: 你能帮我描述下在训练, 推理阶段各自做什么么? 我理解在训练结束之后会得到一个表格, 记录每个状态的获胜概率; 之后推理时每次选择概率最大的状态?

ChatGPT: 在 Sutton 1.5 井字棋例子里（用“状态价值”+自博弈学习），训练和推理大致是这样：

训练阶段（learning / self-play）目标：学到一个状态价值函数 $V(s)$，表示“轮到我走、处于状态 $s$ 时，最终赢的概率/期望回报”。

1) 表示状态与初始化

状态 $s$：棋盘局面（通常会把对称局面合并，或至少把它们当不同状态也行）。
初始化 $V(s)$：
- 终止状态：赢=1，输=0（或输=-1，看你用的回报定义），平局=0.5（书里常用 0.5 表示平局中性）。
- 非终止状态：初始化为 0.5（不知道胜率，先当一半）。

2) 自我对弈生成数据

让两个玩家反复下棋（可以都用同一套学习机制）。
每一步从当前状态 $S_t$ 选动作得到下一状态 $S_{t+1}$。
选动作一般是 ε-greedy：多数时候选“看起来最好”的走法，少数时候随机探索。

3) 用 TD(0) 更新 $V$（核心）对每一步经历的状态做时间差分更新： $V(S_t)\leftarrow V(S_t)+\alpha\,[V(S_{t+1})-V(S_t)]$

$\alpha$ 是学习率
若 $S_{t+1}$ 是终止状态，则 $V(S_{t+1})$ 就是终局回报（1/0/0.5）

反复很多盘后，$V(s)$ 会逐渐逼近“在当前策略/对手条件下”的胜率估计；同时因为用 ε-greedy，策略也会逐渐变强。训练产物：你说的“表格”基本对——就是一个从状态到数值的映射 $V(s)$（或用函数近似器存起来）。

推理阶段（play / inference）目标：用学到的 $V$ 来下棋（通常不再更新参数，或只极小地在线更新）。在轮到自己走、处于状态 $s$ 时：

1) 枚举所有合法走法得到所有可能的下一状态集合 ${s’}$ 2) 用 $V(s’)$ 评估每个走法 3) 选择使 $V(s’)$ 最大的走法（贪心） $a^*=\arg\max_a V(s’)$ 其中 $s’$ 是在 $s$ 执行动作 $a$ 后得到的下一状态。

所以你最后一句“推理时每次选择概率最大的状态”——更精确地说是：在所有可达的下一步状态里，选 $V$ 最大的那个下一状态对应的动作。两个常见细节/坑 1) $V(s)$ 的含义依赖“轮到谁走” 同一个棋盘布局，如果轮到你走 vs 轮到对手走，价值可能不同。实现时通常把“当前执子方”也编码进状态，或用“总是从当前玩家视角”表示局面。

2) 只存 $V(s)$ 也能做决策，但本质是在做“一步前瞻” 它不是直接输出“这个动作多好”，而是：动作 → 下一状态 → 看下一状态的 $V$。

Q: it can achieve the e↵ects of planning and lookahead without using a model of the opponent and without conducting an explicit search over possible sequences of future states and actions. a model of the opponent 是指什么?

ChatGPT: 在井字棋这个例子里，“a model of the opponent” 指的是：智能体内部有一个对“对手如何行动”的明确描述/预测器，用来回答诸如：

在状态 $s$ 下，对手会以多大概率选择动作 $a$（即对手策略模型） $\pi_{\text{opp}}(a\mid s)$
或者更一般地：给定我方动作后，环境（包含对手）会如何转移到下一状态（即把对手也纳入环境动力学模型） $p(s’\mid s,a)=\sum_{a_{\text{opp}}}\pi_{\text{opp}}(a_{\text{opp}}\mid s’)\;\cdots$

有了这种模型，你就可以做显式规划/搜索：枚举“我走一步—对手走一步—我再走…”的未来序列，计算每条分支的胜率（这就是 minimax / 博弈树搜索的思路）。Sutton 这句话想强调的是：强化学习在这个例子中不需要事先知道或显式建立 $\pi_{\text{opp}}$（对手会怎么下），也不需要展开一棵未来博弈树去算；它通过大量对弈经验学习到一个价值函数 $V(s)$，下棋时只做一步前瞻（看下一步局面价值）就能表现出“像是在规划”的效果。简化对比：

有对手模型 + 搜索：minimax：需要“对手会走哪些步/怎么选”的假设，并展开多步。
无对手模型（RL）：通过对局数据把对手行为的影响“折叠进” $V(s)$ 里，用 $V$ 直接指导走法。

Q: We also have access to the true state in the tic-tac-toe example, whereas reinforcement learning can also be applied when part of the state is hidden, or when di↵erent states appear to the learner to be the same. 怎么理解?

ChatGPT: 这段话在对比两种情况：

1) 井字棋例子里：我们“能看到真实状态”（true state）在井字棋中，环境的状态就是整个棋盘布局 + 轮到谁走。这些信息对学习者是完全可见的、无歧义的，所以学习者观察到的就是 $S_t$ 本身（完全可观测，MDP）。

因此可以直接学一个表：每个状态 $s$ 一个 $V(s)$。

2) 一般强化学习里：状态可能“部分隐藏”（part of the state is hidden）很多任务中，真正决定未来的“完整状态”并不都能被智能体看到。智能体只能看到一个观测 $O_t$（partial observation），例如：

扑克：对手手牌是隐藏状态
机器人：传感器噪声、看不到背后障碍物
网络系统：内部拥塞情况不可直接观测

这类问题在形式上更像 POMDP：你看见的不是 $S_t$，而是 $O_t\sim p(o\mid s)$。

3) “不同状态在学习者看来是一样的”（different states appear the same）这是第 2 点的另一种描述：可能存在两个不同的真实状态 $s_1\neq s_2$，但它们给智能体的观测是一样的 $O(s_1)=O(s_2)$。智能体无法区分它们，只能把它们当成同一个“表面状态”。

结果是：

你用“观测”来做决策时，实际上是在把多个真实状态混叠在一起学习同一个价值/策略；
这会让最优决策更困难，因为在 $s_1$ 该做的事可能和在 $s_2$ 不同，但你分不出来。

这句话想表达的核心, 井字棋是“最简单、最干净”的场景：完全可观测，学习直接针对真实状态。而强化学习方法并不局限于这种理想情况：即使看不全或会混叠，仍然可以做学习（例如学 $\pi(a\mid O)$ 或用历史 $H_t=(O_1,A_1,\dots,O_t)$ / RNN 来间接推断隐藏状态）。

MDP（Markov Decision Process）：假设状态完全可观测。POMDP：状态不可直接观测，只能通过观测（observation）间接推断。

Note: “short-term model of the efects of actions is lacking” 这个意思是指在没有真正采取 action 时, 看不到 environment 如何变化? 是的, 不执行动作 a，你就无法可靠预测下一状态/奖励会是什么（可能因为物理复杂、未知、随机、部分可观测等）。

Q: 对于 model-free system 我理解只是指在 action 未真正实施之前无法确定环境状态; 但在 action 实施之后是可以确定环境状态的把?

ChatGPT: 你的理解接近，但需要加两点限定。

1) model-free 的意思不只是“事前不确定”model-free 指的是：智能体不学习/不使用一个显式的环境模型 $p(s’,r \mid s,a)$ 因此它在“脑内”不能用模型去推演：如果我在 $s$ 做 $a$，下一步会到哪里、得到什么奖励（哪怕只看一步）——这就是书里说的 “cannot even think…”. 它只能通过真实交互得到样本 $(s,a,r,s’)$，再用这些样本去更新价值函数 $V/Q$ 或直接更新策略。

2) action 实施之后，“能否确定环境状态”取决于可观测性与随机性

能确定你观测到的结果：执行动作后，环境会给你一个观测（在MDP里就是 $S_{t+1}$）和奖励 $R_{t+1}$。这些你当然“知道”（因为环境告诉你/你观测到了）。
但不一定能确定“真实状态”：
- 如果是完全可观测 MDP（如井字棋），那观测到的就是 $S_{t+1}$，可以说你知道下一状态。
- 如果是部分可观测 POMDP，你得到的是 $O_{t+1}$（观测），真实状态 $S_{t+1}$ 仍可能隐藏，你并不能确定，只能形成“信念”（belief）。

另外，即便是 MDP，环境也可能随机：你事前无法确定会转移到哪个 $s’$，但事后你会看到实际发生的那个 $s’$。

Q: “actions” may itself be the application of a possibly elaborate problem-solving method. “actions” may itself be the application 是什么意思?

ChatGPT: 这里的意思是：在强化学习里，“动作（action）”不一定是最底层的原子操作（比如井字棋里“在某格落子”）。动作也可以被定义成一个高层次的决策/技能，而这个高层动作本身是“执行某个方法/算法/子程序”的过程。因此句子里 “actions may itself be the application of … method” 可以理解为：

一个 action 不是“按一下按钮”，而是“调用并运行一个（可能很复杂的）问题求解方法”，把它运行完后得到结果，再把这个结果当作这一步动作的效果。

举例：

机器人导航里，一个高层 action = “用 A* 规划到门口并走过去”（动作内部包含规划与控制）。
游戏里，一个 action = “执行一套连招/战术”（内部包含多步微操作）。
优化/编程任务里，一个 action = “运行一个局部搜索/启发式算法若干步”或“调用某个工具函数”。

这类“动作=子策略/技能/宏动作”的思想在 RL 里很常见，叫 temporal abstraction / options（选项）/ hierarchical RL：一次“动作”可能持续多个时间步，而不是一步就结束。

2 Multi-armed Bandits

Q: “but not whether it was the best or the worst action possible” 我理解是指只评论当前 action 好坏, 并无法从全局上来判断这次行动所带来的影响? This kind of feedback 是指 instructive feedback 么? 为啥说他是监督学习的基础?

ChatGPT: 第一句你理解得差不多，但这里的重点更“局部”一些：

1) “but not whether it was the best or the worst action possible”是什么意思？是的：奖励/评价型反馈只告诉你“你刚才选的这个动作结果如何”，但不告诉你在同一状态下其他没选的动作会怎样，因此你不知道它在所有可选动作里排第几（是最优、次优还是最差）。它不一定是在说“全局长期影响”这一层（虽然长期回报确实也增加了难度），更直接的是在说反事实信息缺失：

你做了 $a$，只观察到这个 $a$ 的回报
你没做 $a’$，就不知道 $a’$ 会不会更好/更差

所以需要探索（try other actions）。对比一下：

evaluative feedback：给的是 $r$（对你实际做的动作的评价）
instructive feedback：直接告诉你“正确动作应该是 $a^*$”（哪怕你做错了也告诉你应该做什么）

2) “This kind of feedback” 指的是什么？这里的 “This kind of feedback” 指的是紧接着前一句的 purely instructive feedback（纯指导型反馈）。

3) 为什么说 instructive feedback 是监督学习的基础？因为监督学习的数据形式就是“输入—正确答案（标签）”：

输入：特征/状态 $x$
监督信号：正确输出 $y$（分类标签、回归目标、正确动作）

模型训练的目标就是拟合 $f(x)\approx y$。这对应的就是 instructive feedback：告诉你应该做什么，而不是对你做了什么进行打分。而强化学习里通常没有这种“正确动作标签”，只有奖励信号（评价），因此才需要探索、信用分配等机制。

Q: nonassociative setting 是指什么?

ChatGPT: 在 Sutton 里 nonassociative setting 指的是一种“非关联/无情境”的简化强化学习设定：学习者不需要根据不同状态（situation/state）选择不同动作，也就没有“把状态和动作关联起来”的问题。更具体地说：

只有一个情境/一个状态（或可以认为状态恒定、不被区分）
学习的任务仅是：在一组动作中学会选哪个动作回报更高这就是后面要讲的 k-armed bandit（多臂赌博机）问题。

为什么叫 nonassociative？

在完整 RL（或“associative”）里，你要学的是策略 $\pi(a\mid s)$：不同状态对应不同动作偏好，这是“状态–动作”的关联学习。
在 nonassociative 里没有 $s$ 的区分，策略退化成只学 $\pi(a)$：不依赖状态，因此不需要学“关联”。

它“避免了复杂性”主要是因为去掉了：

状态转移/序列决策（今天的动作影响明天处境）
信用分配（长期回报如何归因到早期动作）
价值函数随状态变化等问题

只剩下“探索 vs 利用”和“估计每个动作的期望回报”这类核心问题。

Note: $q_*(a)$ “动作 a 的价值（value）”在 bandit 里就定义为：只要你选了动作 a 平均能拿到多少奖励（长期平均/期望）。

Q: In the language of statistics, these methods are biasedby their initial estimates. For the sample-average methods, the bias disappears once allactions have been selected at least once,

A: 这句话的意思是在 sample-average 方法中, 在所有动作被选择 1 次之前, 在决策 action 时仍会使用某个未被选中动作的初始值作为依据; 考虑到 Q_2 = R_1, 只要所有动作都被选择一次, 那么后续决策动作时都不会收到初始值影响.

Q: 我不理解, sample-average method 不是 Q_2 = R_1; Q_3 = (R_1 + R_2) / 2, Q_4 = (R_1 + R_2 + R_3) / 3 么; 并没有太多在意 the beginning of time 啊?

Gemini: 这是一个非常深刻的问题，触及了非平稳（Nonstationary）环境下强化学习的核心逻辑。Sutton 在书里之所以说 sample-average (采样平均法) 将“时间的开始”视为一个特殊事件，主要有以下三个层面的原因，我们可以通过对比“平稳”和“非平稳”环境来理解：

权重分配的“永久性” (Weighting) 在采样平均法中：$Q_{n+1} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n R_i$

这意味着，无论你现在是在第 10 步还是第 1,000,000 步，第一步获得的奖励 $R_1$ 和最近一步获得的奖励 $R_n$ 的权重是完全一样的（都是 $1/n$）。

为什么这是“在意”开头？因为采样平均法假设：从时间 $t=1$ 开始的所有观测都是同等重要的。
在非平稳环境下的问题：如果环境在第 500 步发生了剧变（比如原本好的动作变差了），那么 $R_1$ 到 $R_{500}$ 已经是“过时的错误信息”了。但采样平均法依然给它们分配和当前数据一样的权重。它无法摆脱“过去”的影响，这种对历史数据的无差别保留，本质上就是把“从头开始的整个过程”当成了一个不可分割的整体。

“开始时刻”决定了分母 (The Anchor of t=1) 当你使用 $1/n$ 作为步长时，这个 $n$ 是从哪里算起的？是从 $t=1$（时间的开始）算起的。

随着 $n$ 的增大，步长 $1/n$ 会趋近于 0。
如果 $n$ 非常大（比如 10,000），此时 $1/n$ 变得极小。这意味着算法此时几乎不再学习新信息，它变得极其迟钝。
这种“学习率随时间递减”的机制，实际上是基于一个假设：随着我们离“开始时刻”越来越远，我们掌握的信息就越来越准，所以不需要再大幅度更新了。
在非平稳环境下，这就像是一个固执的老人，因为他活得够久（$n$ 很大），他只相信年轻时的经验（早期的 $R$），而对现在发生的新变化（新的 $R$）充耳不闻。这种“倚老卖老”的行为，其根源就是它把 $t=1$ 视为统计的起点，并根据距离这个起点的远近来决定学习的快慢。

对比：为什么 Constant Step-size 不在意“开始”？如果我们使用固定步长（指数衰减加权平均）： $Q_{n+1} = Q_n + \alpha(R_n - Q_n)$ 展开后： $Q_{n+1} = (1-\alpha)^n Q_1 + \sum_{i=1}^n \alpha(1-\alpha)^{n-i} R_i$ 在这种方法中：
- 遗忘机制：随着时间推移，早期的奖励 $R_1$ 的权重 $(1-\alpha)^{n-1}$ 会以指数级速度衰减到几乎为 0。
- 专注当下：无论你运行了多久，最近一次奖励 $R_n$ 的权重始终是 $\alpha$。
- 不看出身：这种方法不在乎你是什么时候开始的（即 $n$ 有多大不影响步长 $\alpha$），它只在乎“最近发生了什么”。这就是 Sutton 所说的“不把开始视为特殊事件”——它对数据的处理方式是平移不变的，而采样平均法是锚定起点的。

总结 Sutton 的批评点在于：

采样平均法：死记硬背从 $t=1$ 至今的所有事，导致老旧、过时的信息永远在干扰判断。它默认“开始”是数据的源头且永远有效。
非平稳环境的要求：我们需要“喜新厌旧”。

所以，他说采样平均法“treat the beginning of time as a special event”，是指它赋予了初始阶段的数据与当前数据同等的地位，并让初始时刻 $t=1$ 决定了后续所有步长的衰减程度。在不断变化的世界里，这种“怀旧”是致命的。

Note: If $Nt(a) = 0$, then a is considered to be a maximizing action, 即 a 是 argmax 选中的 action.

Q: “The quantity being max’ed over” 我理解是 argmax 后面的表达式. a sort of upper bound on the possible true value of action a 是什么意思?

Gemini: 你的理解完全正确，”The quantity being max’ed over” 指的就是 $\text{argmax}$ 括号里的那一整串表达式：$U_t(a) = Q_t(a) + c \sqrt{\frac{\ln t}{N_t(a)}}$ 要理解为什么它被称作 “动作 $a$ 真实价值的一个可能的置信上限 (Upper Bound)”，我们需要从统计学和“乐观估计”的角度来看：

真实价值 $q_*(a)$ 与估计值 $Q_t(a)$
- $q_*(a)$：是动作 $a$ 真正的期望奖励（这是上帝视角，我们不知道）。
- $Q_t(a)$：是我们根据有限的采样得到的平均值（这是目前的经验）。

由于采样是有限的，我们的估计值 $Q_t(a)$ 往往是不准的。真实价值 $q_*(a)$ 可能比 $Q_t(a)$ 高，也可能比它低。

这个根号项是什么？根号项 $c \sqrt{\frac{\ln t}{N_t(a)}}$ 代表的是不确定性（Uncertainty）或误差范围。
- 如果你对动作 $a$ 尝试的次数 $N_t(a)$ 很少，分母很小，整个根号项就会很大。这说明：因为样本太少，你的估计 $Q_t(a)$ 可能极度不准，真实价值 $q_*(a)$ 可能会比 $Q_t(a)$ 高出很多。
- 随着你尝试次数 $N_t(a)$ 增加，根号项会变小。这说明：你越来越了解这个动作了，不确定性在降低。
为什么叫 Upper Bound (置信上限)？在统计学中，当我们说一个值的“置信上限”时，意思是以很高的概率，真实值不会超过这个边界。

UCB 公式其实是在说：

“虽然我不知道 $q_(a)$ 到底是多少，但我敢打赌（以很高的概率），$q_(a)$ 不会超过 $Q_t(a) + \text{这一串根号项}$。”

所以，整个括号里的表达式 $Q_t(a) + c \sqrt{\dots}$ 就像是给动作 $a$ 画了一个“潜力的天花板”。

为什么要 Max 这个上限？ (面对不确定性的乐观) UCB 算法的核心逻辑是：面对不确定性，抱有乐观态度（Optimism in the face of uncertainty）。

如果一个动作 $Q_t(a)$ 高：它被选是因为它看起来真的很好（Exploitation，利用）。
如果一个动作 $N_t(a)$ 小（导致上限很高）：虽然它目前表现一般，但因为它被探索得少，它的“潜力天花板”很高，它有可能是一个隐藏的宝藏（Exploration，探索）。

总结： “A sort of upper bound on the possible true value” 的意思是：我们不只看动作现在表现出来的平均分（$Q_t$），我们还要加上一个“由于数据不足带来的可能增量”。加和后的结果，就是这个动作在理论上可能达到的最高分（上限）。我们每次都选那个“潜力上限”最高的动作。这就是为什么它叫 UCB (Upper Confidence Bound)。

Q: As an example, suppose there are several different k-armed bandit tasks, and that on each step you confront one of these chosen at random. Thus, the bandit task changes randomly from step to step. If the probabilities with which each task is selected for you do not change over time, this would appear as a single stationary k-armed bandit task, and you could use one of the methods described in this chapter. 我理解虽然每一步 k-armed bandit task 发生了变化, 但整个问题等同于只有 1 个 k-armed bandit, 只是 nonstationary 的?

Gemini: 你的理解中有一个关键点需要修正：在原文所描述的这种特殊情况下，整个问题等同于 1 个 Stationary（平稳）的 k-armed bandit，而不是 nonstationary（非平稳）。让我们来拆解一下为什么它是“平稳”的：

什么是“平稳”（Stationary）？在强化学习中，如果一个动作 $a$ 的期望收益 $q_*(a)$ 随时间推移保持不变，我们就称这个任务是平稳的。
为什么例子中是平稳的？假设有三个不同的任务（Task A, Task B, Task C），每个任务中同一个动作 $a$ 的收益期望分别是 $10, 20, 30$。现在规定：每一步随机抽取一个任务，抽到 A 的概率是 0.2，B 是 0.5，C 是 0.3。

对于你（学习者）来说，你并不知道当前是哪个任务，你只能看到你选择了动作 $a$。那么动作 $a$ 的综合期望收益是： $E[R

a] = (0.2 \times 10) + (0.5 \times 20) + (0.3 \times 30) = 21$

只要这个“抽取任务的概率”（0.2, 0.5, 0.3）在每一时刻都不变，那么动作 $a$ 的期望收益永远是 $21$。

虽然每一时刻具体给你的奖励在跳动（一会儿来自任务 A，一会儿来自任务 B），但它们的统计特性（均值）是恒定的。
因此，从算法的角度看，这和一个单一的、收益期望为 21 的平稳 bandit 没有任何区别。

什么是真正的“非平稳”（Nonstationary）？如果情况变成这样，才是非平稳：
- 第 1-100 步：抽到任务 A 的概率是 0.9。
- 第 101-200 步：抽到任务 A 的概率变成了 0.1。

在这种情况下，动作 $a$ 的期望收益会从接近 10 变成接近 30。因为期望值随时间改变了，所以它是非平稳的。此时，你才需要“给最近的奖励更多权重”，因为很久以前的奖励反映的是旧的概率分布，对预测未来没有帮助。

3 有限马尔可夫决策过程

Q: 我理解 v(s) = max_a q(s, a)?

Gemini: 是的，你的理解完全正确。在强化学习（MDP）的框架下，$v_(s) = \max_a q_(s, a)$ 是一个核心的等式，它是贝尔曼最优方程（Bellman Optimality Equation）的基础。为了让你理解得更透彻，我们可以从以下几个层面来解读这个等式：

直观定义
- $q_*(s, a)$：代表在状态 $s$ 下，如果你采取动作 $a$，并且之后一直采取最优策略，你预期能获得的累计收益。
- $v_*(s)$：代表在状态 $s$ 下，如果你从现在起就采取最优策略，你预期能获得的累计收益。

既然 $v_(s)$ 要求你“从现在起就表现最优”，那你在这个状态下选的第一个动作 $a$ 必然得是那个能给你带来最大收益的动作。所以，$v_(s)$ 自然就等于所有可能的 $q_*(s, a)$ 中的最大值。

Q: “This is best viewed as a restriction”, 这里 “this” 我理解是指 the probability of each possible value for St and Rt 仅依赖 preceding state and action, 不依赖 earlier states and actions 这件事.

Gemini:你的理解是正确的。“This”指代的就是“马尔可夫性质”（Markov property），即：

未来（$S_t, R_t$）只取决于现在（$S_{t-1}, A_{t-1}$），而与过去（$S_{t-2}, A_{t-2}, \dots$）无关。

但这段话中更深层的含义在于它后半句：“…not on the decision process, but on the state.”（这不是对决策过程的限制，而是对“状态”定义的限制）。为了帮你透彻理解为什么要说是“对状态的限制”，我们可以从以下两个角度来看：

为什么它是对“状态”（State）的限制？如果你发现当前的状态 $S_{t-1}$ 不足以预测未来，而必须翻看前几步的历史记录才能预测，那么说明你当前的 “状态定义”是不合格的。

例子：打砖块游戏（Atari Breakout）

如果你把 $S_t$ 定义为当前屏幕的一帧静态图像。
这符合马尔可夫性质吗？不符合。因为单看一张图，你不知道球的移动方向（向上还是向下）和速度。
为了让它满足马尔可夫性质，你必须改变“状态”的定义。比如，把连续的 4 帧图像打包作为一个“状态”。
一旦你这样定义了状态，当前状态就包含了预测未来所需的所有历史信息。此时，它就变成了马尔可夫的。

所以，Sutton 的意思是：马尔可夫性不是在要求世界必须很简单，而是在要求你作为一个设计者，必须把足够多的信息塞进“状态”里。

为什么说它“不是对决策过程的限制”？如果你能通过某种方式（比如增加记忆、增加传感器数据、增加历史特征）把状态构造好，那么几乎任何复杂的决策过程都可以被转化成一个 MDP。

如果状态定义得好：你只需要看当前这一眼（$S_{t-1}$）就能做最优决策。
如果状态定义得不好：你必须边做边回想过去（$S_{t-2}, S_{t-3}$），这时候决策过程就会变得无比复杂且难以用数学建模。

总结你理解的 “This” 确实是指那条概率依赖关系。而作者强调这是对 State 的限制，是在告诉你：“如果你想用 MDP 的数学工具，你必须保证你的 $S_t$ 已经包含了过去所有对未来有影响的关键信息。” 如果 $S_t$ 没包含全，那是你状态定义得不对，而不是 MDP 这个框架不能用。

Q: 这里目标是最大化 $E[G_t]$ ? 还是最大化 $G_t$? 因为这有个 expected return, 而 G_t 是 return 的定义.

Gemini: 答案是：目标是最大化 $\mathbb{E}[G_t]$（期望收益）。你的直觉很敏锐，区分 $G_t$ 和 $\mathbb{E}[G_t]$ 是理解强化学习随机性的关键。以下是原因：

为什么不能直接最大化 $G_t$？ $G_t$ 是一个随机变量。在时间点 $t$，未来的奖励 $R_{t+1}, R_{t+2} \dots$ 是不确定的，原因有两个：

环境是随机的：即便你采取同一个动作，环境给你的奖励和下一个状态也可能不同（根据概率 $p(s’, r

s, a)$）。

策略可能是随机的：智能体在某个状态下采取哪个动作可能也是按概率分布的（根据策略 $\pi(a

s)$）。

既然 $G_t$ 是不确定的（你无法准确预知这一局游戏最终能得多少分），你就无法直接在数学上“最大化”它。

为什么要最大化 $\mathbb{E}[G_t]$？因为我们想要的是一种在统计意义上（或长期来看）表现最好的策略。
- $G_t$ (Return)：是指某一次具体的实验或轨迹中获得的累积奖励（一个样本值）。
- $\mathbb{E}[G_t]$ (Expected Return)：是指如果你在同样的情况下尝试无数次，所能获得的平均收益。

强化学习算法的目标是找到一个策略 $\pi$，使得从任何初始状态开始，平均能拿到的分最高。

与之前概念的联系你会发现，书中后面定义的 Value Function（价值函数）本质上就是这个期望值：
- $v_\pi(s) = \mathbb{E}_\pi [G_t S_t = s]$
- $q_\pi(s, a) = \mathbb{E}_\pi [G_t S_t = s, A_t = a]$

所以：

$G_t$ 告诉我们如何计算总分（定义规则）。
$\mathbb{E}[G_t]$ 是我们的优化目标（北极星）。
我们在实际训练时，通常是用观察到的很多个 $G_t$ 的样本去估计 $\mathbb{E}[G_t]$ 的大小（这也就是蒙特卡洛方法或时序差分学习的核心思想）。

盏一: 所以每个时间步 t 都有个对应的 $G_t$, 在决策时间步 t 采取的动作 A_t 时需要考虑最大化 $E[G_t]$.

Q: For example, if an agent follows policy ⇡ and maintains an average, for each state encountered, 我理解这个就是每次遇到状态 S_t, 都计算其 G_t, 并维护着 S_t 历来 G_t 的平均值, 之后 V(t) 就是这里的平均值.

Gemini: 你的理解完全正确。这正是蒙特卡罗方法（Monte Carlo Methods）用于估算价值函数的核心思想。为了让你更清晰地联系起书中的概念，我们可以把你的理解细化为以下几个要点：

核心公式状态 $s$ 在策略 $\pi$ 下的真实价值定义为收益的期望值： $v_\pi(s) = \mathbb{E}_\pi [G_t S_t = s]$

你所说的“维护平均值”，实际上就是在用样本均值去逼近这个数学期望。

具体的执行过程（正如你所描述的）当你运行很多个回合（episodes）时：
记录：每次进入状态 $s$，就记录下从这一刻开始直到回合结束所得到的累计折扣奖励 $G_t$。
累加：维护一个关于状态 $s$ 的总和 $Sum(s)$ 和出现次数 $Count(s)$。
平均：$V(s) = \frac{Sum(s)}{Count(s)}$。
为什么这很重要？这种方法有几个非常显著的特点，也是 Sutton 在书中后面会详细展开的：

无需模型（Model-free）：你不需要知道环境的转移概率 $p(s’, r

s, a)$。你只需要像“盲人摸象”一样去实际经历这个过程，记录下奖励，最后算个平均数就行了。

大数定律保证收敛：随着你遇到状态 $s$ 的次数越多（趋于无穷），根据概率论的大数定律，这个平均值一定会收敛到真正的期望价值 $v_\pi(s)$。
等待延迟奖励：注意 $G_t$ 必须等到一个回合结束（或者经过很久）才能计算出来。这就是为什么书中提到 MDP 涉及“延迟奖励”，因为当前的动作对 $G_t$ 的影响可能要很久之后才体现出来。

一个小细节：First-visit vs. Every-visit 在实际操作中，如果一个回合里同一个状态 $s$ 出现了好几次，有两种平均方法：
- First-visit MC：只计算这个回合里第一次遇到 $s$ 之后的 $G_t$。
- Every-visit MC：每次遇到 $s$ 都计算一个 $G_t$ 并纳入平均。（两种方法最终都会收敛到 $v_\pi(s)$，书的第五章会专门讲这个）。

Q: 我好奇的是, G_t 怎么计算啊? G_t 涉及到 $R_{t+1}$ 这些未来值.

Gemini: 这是一个非常深刻的问题，也是初学者进入强化学习（RL）核心逻辑时最容易产生困惑的地方。你说得对：在 $t$ 时刻，你确实无法“计算” $G_t$，因为你还没有经历未来。在强化学习中，处理 $G_t$（Return，收益）主要有三种方式，分别对应了不同的算法思路：

“事后诸葛亮”法：蒙特卡罗（Monte Carlo, MC）这是最直观的方法。既然 $G_t$ 依赖未来的奖励，那我们就等这一局（Episode）结束再回过头来算。

做法：让智能体从状态 $S_t$ 开始玩，一直玩到游戏结束（Terminal State）。
计算：等游戏在 $T$ 时刻结束了，我们就拥有了完整的序列 $R_{t+1}, R_{t+2}, \dots, R_T$。这时候，我们再从后往前算：
- $G_{T-1} = R_T$
- $G_{T-2} = R_{T-1} + \gamma G_{T-1}$
- …
- $G_t = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \dots$
特点：必须是回合制任务。你不能在走每一步的时候立刻更新，必须等一整局结束。

“借用邻居的估计值”法：时间差分（Temporal Difference, TD）这是 RL 最天才的地方。既然 $G_t = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + \dots$，我们可以把它拆解成： $G_t = R_{t+1} + \gamma G_{t+1}$ 但在 $t+1$ 时刻，我们还是不知道真正的 $G_{t+1}$。怎么办？我们用当前的估计值 $V(S_{t+1})$ 来代替 $G_{t+1}$。

近似公式：$G_t \approx R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1})$
做法：你只需要走一步，观察到 $R_{t+1}$ 和下一个状态 $S_{t+1}$。然后利用你脑子里对 $S_{t+1}$ 价值的“现有印象”（即 $V(S_{t+1})$）来估算当前的 $G_t$。
特点：步步更新。不需要等游戏结束，这就是所谓的 Bootstrapping（自举）。

“理论上帝视角”法：动态规划（Dynamic Programming）如果你已经完全知道了环境的数学模型（即 $p(s’, r

s, a)$），你不需要去“玩”游戏。

做法：计算期望值值。

既然 $G_t$ 是随机变量，我们计算它的期望 $E[G_t

S_t = s]$。通过贝尔曼方程，把所有可能的未来路径按照概率加权求和。

特点：这不需要采集数据，是纯数学推导，前提是你拥有“环境模型”。

Q: 在上面你提到的 G_t 计算中; 在“借用邻居的估计值”法中, 大概流程是不是:

现在处于时间 t, S_t, A_t, R_{t+1}, S_{t+1}; 计算 G_t = R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1}); 计算 S_t 对应 G_t 平均值, 以此更新 v_{\pi}(S_t)
重复

Gemini: 你的直觉非常敏锐！你描述的正是强化学习中最核心、最迷人的思想之一：时序差分学习（Temporal Difference Learning，简称 TD）。在书的后续章节（第 6 章），你会正式学到这个方法。你总结的流程基本正确，但为了更严谨，我们需要在术语和更新方式上做一点微调：

你的流程对应的正是 TD(0) 算法你说的“借用邻居的估计值”在强化学习里专业术语叫 Bootstrapping（自举）。

真正的 $G_t$（蒙特卡洛法）：必须等到游戏结束，把后面所有的奖励 $R_{t+1}, R_{t+2} \dots$ 全部加起来。
你描述的 $G_t$（TD 法）：我不等游戏结束，我只看一步 $R_{t+1}$，剩下的部分我直接用“邻居”（下一个状态 $S_{t+1}$）现在的估计值来代替。

所以，你计算的其实是 TD 目标值（TD Target）： $\text{Target} = R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1})$

更新方式的微调（增量更新）在你描述的第 1 步中，提到“计算平均值”。在强化学习中，由于状态空间可能很大，或者环境是非平稳的，我们通常不记录所有数值求平均，而是使用步长（$\alpha$）进行增量更新：

\[V(S_t) \leftarrow V(S_t) + \alpha \underbrace{\left[ R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1}) - V(S_t) \right]}_{\text{TD Error (误差)}}\]

这个公式的意思是：

$R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1})$ 是你根据新看到的结果认为 $S_t$ 应该有的价值（新信息）。
$V(S_t)$ 是你旧有的看法。
两者之差就是误差，我们朝着新信息方向挪一小步（$\alpha$）。

为什么这行得通？（贝尔曼方程的魅力）你之所以能这么干，是因为 $v_\pi$ 满足贝尔曼方程, (盏一: 见原文公式 3.14)：

\[v_\pi(s) = \mathbb{E}_\pi [R_{t+1} + \gamma v_\pi(S_{t+1}) | S_t = s]\]

这个方程告诉我们：一个状态的价值，在期望意义上，确实等于“即时奖励 + 下一个状态的价值”。所以你用现在的估计值去更新过去的估计值，只要一直做下去，它们最终会互相纠缠着、螺旋式上升，最终收敛到真实的价值函数。

总结你的流程

观察：在时刻 $t$，观测到 $(S_t, A_t, R_{t+1}, S_{t+1})$。
构造目标：计算“我以为我能拿多少钱”：$\text{Target} = R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1})$。
更新：发现实际拿到的（Target）和我之前预测的（$V(S_t)$）有差距，微调 $V(S_t)$ 的值。
循环：随着你在环境里走得步数越多，你的 $V(S)$ 就会越来越准。

Q: 这里 “t is any time step” 怎么理解? 对于不同的 t, S_t, G_t 都是一个不同的随机变量呀?

Gemini: 这是一个非常深刻的问题。你的直觉很敏锐：在概率论层面，$S_0, S_1, S_2 \dots$ 确实是不同的随机变量，$G_0, G_1, G_2 \dots$ 也是。但之所以说 “$t$ is any time step”，是因为在平稳（Stationary）MDP 中，虽然变量的“下标”变了，但条件期望的结果是不随时间变化的。我们可以从以下三个层面来理解：

规则的统一性（Stationarity）在 MDP 中，环境的动力学 $p(s’, r

s, a)$ 和你的策略 $\pi(a

s)$ 都是不随时间改变的。

想象你在玩超级玛丽：

情形 A：你在第 1 秒（$t=1$）到达了第一关的某个位置 $s$。
情形 B：你在第 100 秒（$t=100$）才磨磨蹭蹭走到了同一个位置 $s$。

只要关卡的设置（$p$）没变，你的操作逻辑（$\pi$）也没变，那么从位置 $s$ 出发，你未来能拿到的奖励的统计分布是一模一样的。虽然 $G_1$ 和 $G_{100}$ 是不同的变量，但在“给定当前位置是 $s$”这个条件下，它们的期望值是相等的。盏一: 或许可以理解为 $G_1, G_100$ 只是随机变量 $G_{S_t}$ 的样本.

条件期望的含义注意公式里的条件符号：$\mathbb{E}_\pi [G_t \mid S_t = s]$。

$S_t$ 是一个随机变量，代表 $t$时刻的状态。
$s$ 是状态空间中的一个具体确定值。

当我们写出 $S_t = s$ 时，我们实际上是在说：“不管现在是什么时候，假设我们现在就站在 $s$ 这个点上”。因为 MDP 具有马尔可夫性（未来只取决于当前状态），所以“如何到达 $s$”以及“什么时候到达 $s$”对预测未来已经没有任何影响了。

数学上的简洁表达如果这个期望值 $v_\pi$ 会随时间 $t$ 变化，我们必须把它写成 $v_{\pi, t}(s)$。但在标准 MDP 中，既然：

\[\mathbb{E}_\pi[G_0 | S_0=s] = \mathbb{E}_\pi[G_1 | S_1=s] = \mathbb{E}_\pi[G_k | S_k=s]\]

那么我们就不需要那个下标 $t$ 了，直接统称为 $v_\pi(s)$。这里的 $t$ 是为了定义 $G_t$ 的结构： $G_t = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \dots$ 作者说 “$t$ is any time step”，其实是在告诉你：这个价值定义在轨迹的任何一个时点都是通用的。

Q: 关于这段话, 我的理解: 一个是总是有一个optimal policy $\pi_$(虽然我不知道为啥是 “总是有”), 之后 optimal state-value function $v_$ 定义为 $v_(s) = v_{\pi_}(s)$, 可是这样公式 3.15 就不知道为啥成立了.

Gemini: 这是一个非常深刻的问题，涉及到强化学习中最底层的数学基础。我们可以分两步来拆解你的困惑：

为什么“总是有”一个最优策略 $\pi_*$？在有限 MDP（Finite MDPs）中，这是一个被数学证明过的结论（由 Bellman 在 1950s 证明）。我们可以从直观逻辑上这样理解：

有限性：因为状态 $S$ 和动作 $A$ 都是有限的，所以总共有有限个确定性策略（Deterministic Policies）。
决策的局部最优性：在任何一个状态 $s$ 下，如果你已经知道了从所有可能到达的下一个状态 $s’$ 开始的“后续最大收益”，你只需要在当前状态 $s$ 选一个能让你“即时奖励 + 后续最大收益”最大的动作即可。
不妥协性：最神奇的一点是，对于有限 MDP，你不需要在“牺牲状态 A 的利益”和“成全状态 B 的利益”之间做权衡。数学上可以证明，存在一个策略，它能在所有状态下同时达到该状态能达到的最大值。

通俗类比：想象你在走迷宫。迷宫里有很多房间。虽然通往出口的路有很多条，但对于每一个房间，客观上一定存在一条（或多条）通往出口最短的路径。如果我把每一个房间的“最优动作”都固定下来，拼在一起，就形成了一个全局最优策略。

为什么公式 (3.15) $v_*(s) \doteq \max_\pi v_\pi(s)$ 成立？

你理解的顺序是：先有 $\pi_$（最优策略），再定义 $v_ = v_{\pi_*}$。而书上的逻辑是：先定义一个“理论上限”，再说明有一个策略能达到这个上限。

让我们看看这两者是怎么统一的：

第一步：定义“最优”的比较标准（Partial Ordering）书中说：$\pi \geq \pi’$ 的定义是：在所有状态 $s$ 下，都有 $v_\pi(s) \geq v_{\pi’}(s)$。注意：这是一种非常严格的比较。如果 $\pi$ 在状态 A 比 $\pi’$ 好，但在状态 B 比 $\pi’$ 差，那我们就不能说这两个策略谁比谁好。

第二步：定义 $v_(s)$ 为上限公式 (3.15) $v_(s) = \max_\pi v_\pi(s)$ 的意思是：

对于任何一个特定的状态 $s$，我们去遍历世界上所有的策略 $\pi$，看看哪个策略在 $s$ 点表现最好，那个最好的值我们就叫它 $v_*(s)$。

此时，你可能会问：“有没有可能状态 A 的最高分是由策略 $\pi_1$ 达到的，而状态 B 的最高分是由策略 $\pi_2$ 达到的？这样的话，世界上就不存在一个能同时在 A 和 B 都拿最高分的 $\pi_*$ 了啊？”

第三步：核心结论 MDP 的伟大之处就在于它证明了：这种情况不会发生。证明结论指出：总能找到一个策略 $\pi_*$，它在状态 A 表现得和 $\pi_1$ 一样好，在状态 B 表现得和 $\pi_2$ 一样好。

所以：

根据 (3.15)，$v_*(s)$ 是该状态在所有策略下能拿到的“最高分”。
因为存在一个策略 $\pi_*$ 在所有状态下都能拿到这个“最高分”。
所以 $v_(s) = v_{\pi_}(s)$。

总结

$v_*(s)$：是状态 $s$ 的潜力上限（不管你用什么策略，最高也就这么多分了）。
$\pi_*$：是全能冠军（它能保证在所有状态下都把潜力发挥到上限）。

公式 (3.15) 实际上是在定义这个“潜力上限”，而随后的文字告诉我们：在有限 MDP 中，这个上限不仅存在，而且是可以被某一个（或多个）策略同时在所有状态下达到的。

盏一: 所以再回到上面 The value function of a state s under a policy $\pi$; 其语义是在 policy $\pi$ 下状态 s 期望回报

Q: 3.17 是怎么推导出来的?

Gemini: 推导公式 (3.17) 的核心在于理解 $q_*(s, a)$ 的定义以及收益（Return）的递归性质。我们可以分三步来推导：

第一步：回顾 $q_\pi(s, a)$ 的基本定义: 对于任何策略 $\pi$，动作价值函数的定义是：在状态 $s$ 采取动作 $a$ 后，之后都遵循策略 $\pi$ 所能获得的累积收益期望值。

\[q_\pi(s, a) = \mathbb{E}_\pi [G_t \mid S_t=s, A_t=a]\]

根据收益 $G_t$ 的递归定义：$G_t = R_{t+1} + \gamma G_{t+1}$，我们可以写成：

\[q_\pi(s, a) = \mathbb{E}_\pi [R_{t+1} + \gamma G_{t+1} \mid S_t=s, A_t=a]\]

利用期望的性质（全期望公式），$G_{t+1}$ 的期望其实就是下一个状态 $S_{t+1}$ 的价值 $v_\pi(S_{t+1})$：

\[q_\pi(s, a) = \mathbb{E}_\pi [R_{t+1} + \gamma v_\pi(S_{t+1}) \mid S_t=s, A_t=a]\]

注：这是对任何策略 $\pi$ 都成立的通用公式。

盏一: 这里 $R_{t+1}$ 与策略 $\pi$ 无关, 其仅与环境模型 $p(s’, r \mid s, a)$ 有关;

Q: 这里 $q_\pi(s, a) = \mathbb{E}\pi [R{t+1} + \gamma G_{t+1} \mid S_t=s, A_t=a]$ 到 $q_\pi(s, a) = \mathbb{E}\pi [R{t+1} + \gamma v_\pi(S_{t+1}) \mid S_t=s, A_t=a]$ 是如何展开的?

Gemini: 1. 将期望展开为求和形式: 根据 $q_\pi(s, a)$ 的定义，我们要对所有可能的“下一步”情况（即 $S_{t+1}$ 和 $R_{t+1}$）进行加权求和：

\[q_\pi(s, a) = \sum_{s', r} p(s', r \mid s, a) \left[ r + \gamma \mathbb{E}_\pi [G_{t+1} \mid S_{t+1} = s'] \right]\]

这里发生了什么？

$p(s’, r \mid s, a)$ 是进入状态 $s’$ 并获得奖励 $r$ 的概率。
括号里是：“当前的奖励 $r$” 加上 “从 $s’$ 开始往后拿到的期望收益”。

利用 $v_\pi$ 的定义进行代换, 观察上面括号里的这一项：$\mathbb{E}\pi [G{t+1} \mid S_{t+1} = s’]$。根据状态价值函数 $v_\pi$ 的定义：

\[v_\pi(s') = \mathbb{E}_\pi [G_{t+1} \mid S_{t+1} = s']\]

所以，我们可以直接把这一项换掉：

\[q_\pi(s, a) = \sum_{s', r} p(s', r \mid s, a) \left[ r + \gamma v_\pi(s') \right]\]

把求和号重新包装回期望符号 $\mathbb{E}$, 现在我们看这个式子：$\sum_{s’, r} p(s’, r \mid s, a) [ \dots ]$。这不就是在计算括号里那个量 $[R_{t+1} + \gamma v_\pi(S_{t+1})]$ 的平均值吗？

所以，它完全等价于：

\[q_\pi(s, a) = \mathbb{E}_\pi [R_{t+1} + \gamma v_\pi(S_{t+1}) \mid S_t=s, A_t=a]\]

4 Dynamic Programming

Q: Although DP ideas can be applied to problems with continuous state and action spaces, 这里提到的 “continuous state” 是不是指 state/action space 无限大的情况?

Gemini: 简单直接的回答是：是的，连续状态/动作空间确实意味着空间是“无限大”的，但这里的“无限”具有特殊的数学含义。为了更准确地理解这一点，我们可以从以下几个维度来拆解：

数量上的“不可数无限” 在强化学习中，状态空间（State Space）可以分为两种：
- 离散空间（Discrete Space）：比如棋盘上的格子（64个）、迷宫的房间。这些状态是可以一个一个数出来的（有限的），或者是像整数集合那样虽然无限但可以逐一列举（可数无限）。
- 连续空间（Continuous Space）：比如机器人的关节角度（0°到180°之间的任意实数）、自动驾驶汽车的速度（0到120km/h）。在 0 到 1 之间，存在着无限多个实数（如 0.1, 0.11, 0.111…）。这种无限是“不可数无限”。
为什么“连续”对 DP（动态规划）是挑战？传统的动态规划（如 Value Iteration 或 Policy Iteration）通常依赖于查表法（Table-based methods）：
- 如果状态是离散且有限的，你可以建立一个表格 $V(s)$，为每个状态 $s$ 存储一个值。
- 如果状态是连续的，你无法建立一个包含无限多行的表格。你无法针对每一个微小的数值变化都去更新一次 Bellman 方程。
文中提到的“Quantize”（量化/离散化）文中说的“Quantize”就是一种处理连续空间的初级手段。
- 例子：如果一辆车的速度是连续的（0~100km/h），你可以把它“量化”为：0-10, 10-20, …, 90-100 这 10 个区间（Bin）。
- 代价：这种做法会损失精度（Discretization error）。如果量化太粗，模型太笨；如果量化太细（比如 0.001 一个区间），状态数量会爆炸（维度灾难）。
“Part II” 提到的 Significant Extension（重大扩展）是指什么？你引用的这段话通常出现在强化学习教材（如 Sutton & Barto 的书）中。它预示了从“查表法”向“函数逼近（Function Approximation）”的跨越。既然无法记录无限个状态，我们就不再用表格，而是用一个函数（比如神经网络或线性回归）来代表 $V(s)$： $V(s) \approx \hat{v}(s, \mathbf{w})$ 这里的 $\mathbf{w}$ 是有限的参数。通过学习这些参数，我们可以让函数对没见过的连续状态进行预测（泛化能力）。

总结: 你理解的“无限大”抓住了核心矛盾：因为连续空间包含无限个点，所以传统的、基于穷举每个状态的动态规划方法失效了。我们必须寻找能够处理“无限”的方法，即从“存储每个状态的值”转变为“学习一套规则（函数）来计算任何状态的值”。

Note: If the environment’s dynamics are completely known, 这里 “environment’s dynamics” 就是指状态转移概率 p. is a system of |S| simultaneous linear equations in |S| unknowns, 这 n 个线性方程即: v(s0) = ...; v(s1) = ...

Q: Value iteration effiectively combines, in each of its sweeps, one sweep of policy evaluation and one sweep of policy improvement. 在这里 policy evaluation sweep, policy improvement sweep 是指什么?

Gemini: 要理解这句话，我们需要对比策略迭代（Policy Iteration）和价值迭代（Value Iteration）。在动态规划（DP）中，所谓的 “Sweep”（遍历/扫描）指的是：对状态空间中的每一个状态 $s \in \mathcal{S}$ 都进行一次更新操作。

策略迭代 (Policy Iteration) 的逻辑, 在标准的策略迭代中，这两个步骤是分开且交替进行的：
- Policy Evaluation (策略评估) Sweep：给定一个策略 $\pi$，通过多次遍历所有状态来计算出该策略下的真实价值 $V^\pi$。通常需要循环很多次直到 $V$ 收敛。
- Policy Improvement (策略改进) Sweep：在拿到准确的 $V^\pi$ 后，遍历所有状态，通过 argmax 选出更好的动作来更新策略 $\pi$。
价值迭代 (Value Iteration) 的“合二为一”, 你提供的图片中，核心公式是： $V(s) \leftarrow \max_a \sum_{s', r} p(s', r | s, a) \left[ r + \gamma V(s') \right]$

这句话说它“结合了两个 Sweep”，是因为在这个单一的公式里同时完成了两件事：

A. Policy Evaluation Sweep (策略评估): 公式中的 $\sum_{s’, r} p(s’, r | s, a) [r + \gamma V(s’)]$ 部分：

它在计算：“如果我在状态 $s$ 采取动作 $a$，基于现有的 $V$ 值，我的预期收益是多少？”
这本质上是在对动作 $a$ 进行评估。在策略迭代中，这属于评估步骤。

B. Policy Improvement Sweep (策略改进): 公式中的 $\max_a$ 部分：

它在做决定：“在所有可能的动作 $a$ 中，哪一个能给我带来最大的价值？”
在策略迭代中，寻找让价值最大化的动作是属于“策略改进”的范畴。

为什么说是一次 Sweep 搞定？在策略迭代中，你可能需要做 100 次评估 Sweep（为了算准 $V$），然后再做 1 次改进 Sweep。

而在价值迭代（也就是你图中的算法）中：

它不等待 $V$ 完全收敛到某个策略的真实价值。
它在每一次对所有状态的遍历（Loop for each $s \in \mathcal{S}$）中，直接通过 max 操作，把“我想知道这个动作好不好（评估）”和“我要选最好的那个动作（改进）”同时做了。

总结

Policy Evaluation Sweep：指计算公式中求和（期望）的部分，即估算采取某个动作的价值。
Policy Improvement Sweep：指公式中的 $\max$ 操作，即通过比较不同动作的价值来即时更新该状态的最优价值。

Q: In general, the entire class of truncated policy iteration algorithms can be thought of as sequences of sweeps, some of which use policy evaluation updates and some of which use value iteration updates. Because the max operation in (4.10) is the only difference between these updates, this just means that the max operation is added to some sweeps of policy evaluation. 这里 policy evaluation updates 是指公式 4.5? value iteration updates 是指公式 4.10; 两者区别仅在于 max_a?

Gemini: 是的，你的理解非常准确。这两张图分别对应了动态规划中两种最核心的更新规则，它们之间的数学联系和区别正是你指出的 $\max_a$ 算子。

公式 4.5 是 Policy Evaluation Update（策略评估更新）：

公式： $V(s) \leftarrow \sum_a \pi(a s) \sum_{s’,r} p(s’,r s,a)[r + \gamma V(s’)]$

含义：计算在给定策略 $\pi$ 下的状态价值。它通过对动作进行加权求和（$\sum_a \pi(a

s)$）来获得期望值。你只是在“评价”一个现有的策略，并不改变它。

公式 4.10 是 Value Iteration Update（价值迭代更新）：
- 公式： $V(s) \leftarrow \max_a \sum_{s’,r} p(s’,r s,a)[r + \gamma V(s’)]$
- 含义：它不再受限于某个特定的策略 $\pi$，而是在每一步更新时都贪婪地选择当前看起来最好的动作（$\max_a$）。这本质上是在寻找最优价值函数 $V^*$。

文中提到的“Truncated Policy Iteration”（截断策略迭代）的逻辑是这样的：

标准的策略迭代要求在“策略改进”之前，必须通过图 2 的规则进行很多次 Sweep，直到 $V$ 彻底收敛。
价值迭代则是走极端，只做一次评估 Sweep 就立刻改用图 1 的 $\max$。
截断策略迭代则是中间地带：你可以先用图 2 跑 3 次或 5 次 Sweep（稍微算准一点点 $V$），然后再跑一次带 $\max$ 的 Sweep（即价值迭代更新），或者直接更新策略。

Q: 帮我给个 asynchronous value iteration updates 的例子, 为啥说他是 sweepless 的?

Gemini: 为了理解 Asynchronous Value Iteration（异步价值迭代），我们先对比一下“同步”和“异步”的区别。

什么是 “Sweep”（遍历/扫描）？在传统的 Synchronous DP（同步动态规划）中，算法像排队点名一样：
- 必须从状态 1 算到状态 $N$。
- 只有当所有状态都更新过一遍后，才算完成了一个 Sweep。
- 在完成这一轮 Sweep 之前，你通常不能用刚才更新出的新值去更新别的状态（或者需要两个数组来存储）。
为什么是 “Sweepless”（无遍历）？ Sweepless 的意思是：算法不再要求“全员到齐”。它不规定更新的顺序，也不要求每一轮必须把所有状态都点一遍。你可以：
- 一直盯着状态 $A$ 更新 10 次，而状态 $B$ 一次都不动。
- 哪里值变化大，就去更新哪里（Prioritized Sweeping）。
- 机器人走到哪个状态，就原地更新那个状态。

只要保证所有的状态在长远来看都会被更新到（不能永远忽略某一个），算法最终就能收敛到最优解。

一个具体的例子：走迷宫

假设有一个简单的 4 个格子的直线迷宫： [ 1 ] - [ 2 ] - [ 3 ] - [ Goal ]

Goal 的价值固定为 10。
其他格子的初始价值 $V$ 都是 0。

同步价值迭代 (Synchronous - 有 Sweep):

第一轮 Sweep：计算 [1], [2], [3]。只有 [3] 因为挨着 Goal，变为了 9。
第二轮 Sweep：计算 [1], [2], [3]。[2] 因为挨着更新后的 [3]，变为了 8。
第三轮 Sweep：计算 [1], [2], [3]。[1] 终于感受到了能量，变为了 7。

特点：每一轮必须全量计算，信息像波浪一样一格一格传导。

异步价值迭代 (Asynchronous - Sweepless): 我们可以不按顺序，随机挑选或者根据某种策略挑选状态更新：

Step 1: 选状态 [3] 更新。 $V(3) = 9$。
Step 2: 选状态 [3] 再更新一遍（虽然没变化）。
Step 3: 选状态 [2] 更新。它立刻看到了 $V(3)=9$，于是 $V(2) = 8$。
Step 4: 选状态 [1] 更新。它立刻看到了 $V(2)=8$，于是 $V(1) = 7$。
Step 5: 选状态 [3] 更新…

为什么说它是 Sweepless 的？在这个过程中，我们没有“第一轮、第二轮”的概念。我们只是一直在执行 V(s) <- max_a ... 这个 Building Block（基本组件）。甚至在实际应用中，如果某种算法发现状态 [1] 距离 Goal 太远，很久都没必要去算它，它可以跳过 [1]，集中火力更新 [2] 和 [3]。这种灵活性就是 Sweepless 的核心。

总结: Asynchronous Value Iteration 这种“只更新一个状态 $s_k$”的做法，打破了“轮次”的限制。它把 $V(s) \leftarrow \max_a \dots$ 作为一个独立的工具，哪里需要点哪里。这样做的好处是：

节省计算量：不需要在那些已经收敛的状态上浪费时间。
实时性：在强化学习中，Agent 可以在与环境交互的同时，只更新它当前所在状态的值，而不需要停下来把整个地图都算一遍。

6 Temporal-Difference Learning

Q: 我在阅读 SUTTON Reinforcement Learning; 其中提到 The DP target is an estimate not because of the expected values,which are assumed to be completely provided by a model of the environment, 这里 EXPECTED VALUE PROVIDED BY MODEL OF THE ENV 是什么意思？

Qwen: 🔑 核心解释：什么是 “expected values provided by the model”？

在动态规划（DP）中，我们假设拥有一个完整的、已知的环境模型，该模型精确提供：

状态转移概率：$p(s’ \mid s, a)$
期望即时奖励：$r(s, a, s’) = \mathbb{E}[R_{t+1} \mid S_t=s, A_t=a, S_{t+1}=s’]$

因此，对于任意 $(s, a)$，贝尔曼方程中的期望运算可被精确计算（无需采样）：

\[\mathbb{E}[R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1}) \mid S_t=s, A_t=a] = \sum_{s'} p(s' \mid s, a) \big[ r(s,a,s') + \gamma V(s') \big]\]

这里的“expected values” 指的就是上述求和式中由模型 $p$ 和 $r$ 定义的数学期望本身。 “provided by the model” 意味着：这个期望值可通过模型参数精确求解（解析计算），不存在采样噪声或估计误差。

❓ 那为什么说 “The DP target is an estimate”？

虽然期望运算部分是精确的，但整个贝尔曼更新的“目标”（target）仍是估计值，原因在于：

\[\text{Target for } V(s) = \underbrace{\sum_{s'} p(s' \mid s, a) \big[ r(s,a,s') + \gamma \color{red}{V(s')} \big]}_{\text{“DP target"}}\]

红色部分 $V(s’)$ 是当前对状态价值的估计值（尚未收敛），而非真实值 $v_\pi(s’)$。因此，整个 target 是“基于当前估计 $V$ 计算出的值”，随着迭代逐步逼近真实值。“estimate” 的根源是 $V(s’)$ 的不完美，而非期望运算需要估计。

Q: 如 6.4 所示这里在计算 $v_{\pi}(s)$ 时应该还需要知道 $\pi(a \mid s)$ 来着？我的问题是环境模型可以提供状态转移概率 p, 但不能提供 $\pi(a \mid s)$, 而 $v_{\pi}(s)$ 依赖 $\pi(a \mid s)$ 与 p，为啥可以说 expected values,which are assumed to be completely provided by a model of the environment？

Qwen: 而“provided by a model of the environment” 实际是简略表达：”在策略 π 已知的前提下，环境模型使得该期望值可被精确计算（无需采样）”. 在 DP 中，因为有模型 + π 已知，期望可精确计算, 期望本身不是估计量。DP target 之所以仍是“estimate”， solely because V(s’) is an estimate（价值函数未收敛）。

Q: Sample updates difer from the expected updates of DP methods in that they are based on a single sample successor rather than on a complete distribution of all possible successors. 我的理解是在 MC 或者 TD 估计 $v_\pi(s)$ 仅使用了单个样本值；而如上所说 DP 会利用所有 STATE 的 v(S’) 来更新。

Qwen: ✅ 关键区分： | 方法 | 更新依据 | 是否需环境模型 | 依赖哪些 $V(\cdot)$ | |——|————|—————-|———————| | DP (Expected Update) | 完整分布：$\sum_{s’} p(s’|s,a)[r + \gamma V(s’)]$ | ✅ 需要 | 所有可能后继状态 $s’$ 的当前 $V(s’)$（加权平均） | | TD(0) (Sample Update) | 单步样本：$R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1})$ | ❌ 不需要 | 仅实际发生的 $S_{t+1}$ 的 $V(S_{t+1})$ | | MC (Sample Update) | 完整轨迹样本：$G_t = \sum_{k} \gamma^k R_{t+k+1}$ | ❌ 不需要 | 不依赖其他状态的 $V$（直接用观测到的奖励序列） |

🎯 澄清您的表述

您的原话	修正说明
“MC 或 TD 仅使用单个样本值”	✅ 基本正确：- TD(0)：用单步转移样本 $(s,a,r,s’)$- MC：用单条轨迹的回报样本 $G_t$（虽含多步奖励，但整体是一个样本 realization）
“DP 会利用所有 STATE 的 $v(S’)$”	⚠️ 需精确化：DP 更新状态 $s$ 时，仅需从 $s$ 可达的所有后继状态 $s’$ 的当前 $V(s’)$（通过 $\sum_{s’} p(s’\|s,a) \cdots$ 加权），而非整个状态空间的所有状态。实现中虽存储全状态 $V$，但单次更新仅用局部后继。

Q: there is no need to distinguish the dynamics due to the environment from those due to the agent；这个是什么意思？

Qwen: 这句话的意思是：在 MRP（Markov Reward Process）中，没有“动作”这个概念，所以不需要区分：环境的动态（transition probabilities）, 智能体的选择（policy）. 在标准的 MDP（Markov Decision Process）中：智能体通过选择动作 $a$ 来影响状态转移。因此，状态转移概率 $p(s’

s,a)$ 取决于环境动力学和智能体策略 $\pi(a

s)$ 的联合作用。但在 MRP 中：没有动作（no actions），即每个状态的下一个状态是确定性或随机性地自动发生的。所以，状态转移完全由环境决定，无需考虑智能体决策。

Q: 为什么说 this task is undiscounted,？另外在确实 undiscounted 情况下，the true value of each state is the probability of terminating on the right if starting from that state，这个我理解计算是 $v_{\pi}(s) = E[G_t \mid S_t = s], G_t = R_{t+1} + \cdots + R_T$, 这样计算出来的？

Qwen: “Undiscounted” 意味着折扣因子 $\gamma = 1$。在强化学习中，回报通常定义为：$G_t = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + \cdots$. 如果 $\gamma = 1$，就是 undiscounted（不打折）；如果 $\gamma < 1$，就是 discounted。本例中为何是 undiscounted？因为题目明确说：“Because this task is undiscounted…”, 并且奖励只在终止时出现（+1 或 0），中间都是 0。所以无论路径多长，只要最终在右边结束，总回报就是 1；否则是 0。

定义价值函数 $v(s) = \mathbb{E}[G_t \mid S_t = s]$. 其中 $G_t$ 是从时间 $t$ 开始的总回报：$G_t = R_{t+1} + R_{t+2} + \cdots + R_T$. 由于：中间奖励都是 0, 只有当 episode 在右边终止时，最后一步奖励为 +1，所以：

\[G_t = \begin{cases} 1 & \text{if episode ends on the right} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\]

因此：

\[v(s) = \mathbb{E}[G_t \mid S_t = s] = \Pr(\text{episode ends on the right} \mid \text{start from } s)\]

✅ 所以，状态 $s$ 的价值就是从该状态出发，最终在右侧终止的概率。

Q: Example 6.2 若干问题:

左图的流程是：运行 100 episodes，在每个 episodes 每个 step 之后运行 TD(0) 算法更新 v(s)，左图展示了运行 0、1、10、100 个 episodes 对应的估计 value function.
the values fluctuate indefinitely in response to the outcomes of the most recent episodes; 的意思是运行第 1 个 episodes 时初始 value function 是 v(s) = 0.5, for all s; 但运行第 2 个 episodes 时初始 value function 是第一个 episode 更新后的 value function，同样第 100 个 episode 初始 value function 是第 99 个 episode 更新后的 value function.
The performance measure shown is the root mean square(RMS)error between the value function learned and the true value function, averaged over the five states, then averaged over 100 runs. 这里右图每个点是什么意思？我的理解以 25walk， $\alpha = 0.15$ 为例，对应点的值计算是：第 1 次 run, 运行 25 个 episodes, 计算此时 value function 与 true value function RMS, 之后 averaged over the five states 得到值 a1, 之后第 2 次 run, 仍是 25 个 episodes, （这里起始 value funciton 为第 1 次 run 之后得到的 value function）, 再次计算 rms, averaged over the five states 得到值 a2, 以此得到值 a100, 最后计算 a1, …, a100 的平均值。

Qwen: 你的理解非常接近正确，但有几个关键点需要澄清和修正。我们来逐条分析：

✅ 问题1：左图的流程

“运行 100 episodes，在每个 episodes 每个 step 之后运行 TD(0) 算法更新 v(s)，左图展示了运行 0、1、10、100 个 episodes 对应的估计 value function。”

✅ 基本正确。

左图展示的是单次运行（single run）中，不同episode数下的价值函数估计。
每个 episode 是从 C 开始的随机游走，直到终止于左右边界。
在每一步（非终止状态），使用 TD(0) 更新： $V(S_t) \leftarrow V(S_t) + \alpha \left[ R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1}) - V(S_t) \right]$ 这里 $\gamma = 1$（undiscounted），所以简化为： $V(S_t) \leftarrow V(S_t) + \alpha \left[ R_{t+1} + V(S_{t+1}) - V(S_t) \right]$

⚠️ 注意：虽然你在描述中说“在每个 step 之后运行 TD(0)”，这没问题，但要强调：

TD(0) 是在线增量更新：每步都更新一次 $V(s)$，且立即生效。
所以第 $k$ 个 episode 的初始 $V(s)$ 是第 $k-1$ 个 episode 结束后的最终 $V(s)$。

👉 所以你的理解是正确的：是一个连续的、逐步更新的过程。

✅ 问题2：值会无限波动

“the values fluctuate indefinitely in response to the outcomes of the most recent episodes”

✅ 完全正确。

这句话的意思是：

TD(0) 是在线学习方法，它不会收敛到一个固定值。
即使经过很多 episodes，由于每次 episode 的路径是随机的（比如某次偶然走了右边），会导致 TD error 变化，从而引起 $V(s)$ 的小幅调整。
因此，即使在 100 episodes 后，$V(s)$ 仍可能因为新 episode 的结果而上下波动，不会稳定在一个精确值上。

📌 这与 MC 方法不同：MC 在每个 episode 结束后才更新，且只用完整回报，因此其更新更“平滑”，但也有方差。

❌ 问题3：右图每个点的含义（你理解有误）

“第 1 次 run, 运行 25 个 episodes… 第 2 次 run, 起始 value function 是第 1 次 run 之后得到的 value function”

❌ 这是错误的！

🔍 正确解释：

每次 run 是独立的（independent runs）。
每次 run 都从相同的初始条件开始：$V(s) = 0.5$ 对所有 $s$。
每次 run 中，不继承前一次 run 的结果。

📌 正确流程如下：

进行 100 次独立实验（runs）：
- 每次 run 都重新初始化 $V(s) = 0.5$
- 每次 run 独立地运行多个 episodes（如 25、50、100 等）
对于每个 walk/episode 数量（如 25）：
- 在 100 次 run 中，分别计算：
  - 每次 run 到第 25 个 episode 时的 $V(s)$
  - 计算该 $V(s)$ 与真实值 $v^*(s)$ 的 RMS 错误（平均到 5 个状态）
- 得到 100 个 RMS 值（a₁, a₂, …, a₁₀₀）
- 取平均：$\bar{a} = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} a_i$
右图中的每个点：
- 横轴：walks / episodes（如 25）
- 纵轴：100 次独立 run 的平均 RMS 错误
- 不同曲线对应不同 $\alpha$ 值（如 $\alpha=0.15, 0.1, 0.05$）

避免偏差：如果让后续 run 继承前面的结果，就会引入“历史依赖”，破坏独立性。

$ \hat{P}_{ss’} * \hat{R}_s^a$

Q: In general, the maximum-likelihood estimate of a parameter is the parameter value whose probability of generating the data is greatest.

我理解现在有一组训练集，mc method可以找到 estimates that minimize mean square error on the training set。td0 对应的最大似然估计没有看懂，包括后面那句 generating the data is greatest.

Qwen: 您对 Monte Carlo (MC) 方法的理解完全正确！针对您困惑的 batch TD(0) 与“最大似然模型” 的关系，我用分步方式清晰解释：

🔑 核心逻辑链: 训练数据 → 构建“最大似然模型”（经验模型）→ 该模型下的真实价值函数 = batch TD(0) 的收敛解

1️⃣ 什么是“最大似然估计 (MLE)”？（先理解定义）

定义：选择一组参数，使得观察到当前训练数据的概率（似然）最大。
简单例子：抛硬币 10 次，7 次正面。MLE 估计正面概率为 0.7 —— 因为在这个参数下，”7 正 3 反” 这组数据出现的概率最高（比用 0.5 或 0.9 时都高）。
“generating the data is greatest” 正是此意：参数让“生成我们手头这份数据”的可能性最大。

2️⃣ 应用到马尔可夫过程：什么是“最大似然模型”？

训练数据：一批轨迹，包含大量转移样本 (s, r, s')。
MLE 模型构建（隐式发生）：
- 转移概率：P̂(s'|s) = (s→s' 出现次数) / (s 出现总次数)
- 奖励均值：R̂(s,s') = s→s' 转移中奖励的平均值
这个由经验频率/均值构成的模型，就是“最大似然模型”——它使观察到当前所有 (s,r,s') 样本的联合概率最大（在离散马尔可夫假设下可严格证明）。

3️⃣ 为什么 batch TD(0) 的解 = 该模型下的“精确价值函数”？

在批量模式下，TD(0) 反复扫描全部数据更新，最终收敛到满足以下方程的 V：
```
V(s) = Σ_{s'} P̂(s'|s) [ R̂(s,s') + γ V(s') ]
```
关键：这个方程正是用上面构建的 MLE 模型 (P̂, R̂) 写出的贝尔曼方程！
因此，batch TD(0) 的解 V_TD 就是：“如果环境真的按这个经验模型运行，每个状态的真实期望回报是多少” —— 即该模型下的精确解。
💡 注意：TD(0) 不显式构建模型，但其更新规则在批量收敛时数学等价于先建模（MLE）再解贝尔曼方程。

Q: Batch TD(0) 最终收敛的结果，正是该观测模型下的精确解; 这个我不太理解, 如上 batched td(0) 算法所示, 只是反复累加 td error, 并没有看到 $\hat{P}_{ss’} * \hat{R}_s^a$ 操作啊?

Gemini: 这是一个非常深刻的问题。你的直觉很敏锐：Batch TD(0) 的代码里确实没有显式地去计算概率 $\hat{P}$ 和平均奖励 $\hat{R}$，但它的数学收敛点恰好“撞”在了这个精确解上。

我们可以通过数学推导来揭开这个“巧合”背后的逻辑。

什么是“收敛”的条件？

在 Batch TD(0) 中，所谓的收敛，是指对于每一个状态 $s$，你在整个训练集上算出的总增量之和为 0。假设状态 $s$ 在训练集中出现了多次。根据公式 (6.1)，对于状态 $s$ 的所有访问时刻 $t \in {t

S_t = s}$，收敛时满足：

\[\sum_{t: S_t=s} \left[ R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1}) - V(S_t) \right] = 0\]

拆解这个等式

我们将这个求和式拆开： $\sum_{t: S_t=s} R_{t+1} + \sum_{t: S_t=s} \gamma V(S_{t+1}) - \sum_{t: S_t=s} V(s) = 0$

注意最后一项：因为 $V(s)$ 是我们在当前迭代中要找的固定值，它被加了 $N(s)$ 次（$N(s)$ 是状态 $s$ 在数据集中出现的总次数）。所以： $\sum_{t: S_t=s} V(s) = N(s) \cdot V(s)$

代入原式并移项： $N(s) V(s) = \sum_{t: S_t=s} \left[ R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1}) \right]$

两边同时除以 $N(s)$： $V(s) = \frac{1}{N(s)} \sum_{t: S_t=s} \left[ R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1}) \right]$

见证奇迹的时刻：引入极大似然估计.

现在我们看看这个式子的右边。我们可以根据转移到的下一个状态 $s’$ 来对这些样本进行分组归类。假设从 $s$ 转移到 $s’$ 的次数是 $N(s, s’)$。

关于奖励部分：$\frac{1}{N(s)} \sum R_{t+1}$ 实际上就是从 $s$ 出发观测到的平均奖励 $\hat{R}_s$。
关于未来价值部分：$\frac{1}{N(s)} \sum \gamma V(S_{t+1})$ 可以写成： $\sum_{s'} \frac{N(s, s')}{N(s)} \gamma V(s')$

注意到 $\frac{N(s, s’)}{N(s)}$ 是什么了吗？它正是最大似然估计下的转移概率 $\hat{P}_{ss’}$！

结论

把上面这些代回公式，你会得到： $V(s) = \hat{R}_s + \gamma \sum_{s'} \hat{P}_{ss'} V(s')$

这正是该观测模型下的贝尔曼方程（Bellman Equation）的精确解！

盏一: 我有另外一个解释, 根据课本公式 6.4 $v_{\pi}(s) = \mathbb{E}{\pi}[R{t+1} + \gamma v_{\pi}(S_{t+1}) \mid S_t = s]$, 可以推出 $v_{\pi}(s) = \mathbb{E}{\pi}[R{t+1} \mid S_t = s] + \mathbb{E}{\pi}[\gamma v{\pi}(S_{t+1}) \mid S_t = s]$, 这样与上面 “4. 结论” 中的公式更贴近.

Q: 我在学习 Sutton Reinforcement Learning An Introduction; It follows from coverage that b must be stochastic in states where it is not identical to $\pi$. 怎么理解？

Qwen: 这句话出自 Sutton & Barto《强化学习导论》（第2版）第5.5节（Off-policy Prediction via Importance Sampling），是 coverage 条件的一个关键推论。我们逐步拆解：

Coverage 条件（覆盖性要求）为保证 off-policy 学习可行（如重要性采样无偏），必须满足：$\forall s,a,\quad \pi(a

s) > 0 \implies b(a

s) > 0$ 即：目标策略 $\pi$ 可能采取的每一个动作，行为策略 $b$ 也必须以正概率采取。

确定性策略的局限性, 若 $b$ 在状态 $s$ 是确定性策略（如 $b(a^*

s)=1$，其余动作为 0），则其“覆盖范围”仅含单个动作 $a^*$。为满足 coverage，$\pi$ 在 $s$ 必须满足：$\pi(a

s)>0$ 仅当 $a = a^*$（即 $\pi$ 在 $s$ 也必须是确定性且与 $b$ 完全一致）。

逆否推论, 若在状态 $s$ 处 $b$ 与 $\pi$ 不 identical（即 $\exists a$ 使 $\pi(a

s) \neq b(a

s)$，例如 $\pi$ 选 $a_1$ 但 $b$ 选 $a_2$，或 $\pi$ 是随机策略而 $b$ 是确定性策略），则 $b$ 不能是确定性策略——它必须是随机策略（对 $\pi$ 支持集内的所有动作分配正概率），否则 coverage 被破坏。也即 b 必须有概率能选择到 $a_1$.

Q: The convergence properties of the Sarsa algorithm depend on the nature of the policy’s dependence on Q. … the policy converges in the limit to the greedy policy(which can be arranged, for example, with e-greedy policies by setting e= 1/t); 这个我的理解为了保证 Sarsa algorithm 收敛，policy 本身要首先收敛到 greedy policy; 这意味着随着时间增长, e 要趋向于 0，这些确保 policy 选择最优动作的概率趋向于 1.

Qwen: 你的理解基本正确，但需补充关键细节以避免常见误区。这句话出自 Sutton & Barto《强化学习导论》第6.4节（Sarsa: On-policy TD Control），核心是 GLIE 条件（Greedy in the Limit with Infinite Exploration）。我们分层澄清：

策略需在极限下趋于贪婪：为使 Sarsa 作为 控制算法 收敛到最优策略（而非仅收敛到当前策略的 Q 值），策略必须满足： $\lim_{t \to \infty} \pi_t(a|s) = \begin{cases} 1 & \text{if } a = \arg\max_{a'} Q^*(s,a') \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$ 即策略选择（基于最终收敛的 $Q^*$ 的）最优动作的概率趋于 1。
$\varepsilon$ 需衰减至 0：如 $\varepsilon_t = 1/t$，确保探索强度随时间减弱，策略逐渐“聚焦”于当前估计的最优动作。

Q: Sarsa 算法中, 我怎么没看到 at the same time change $\pi$ toward greediness with respect to $q_{\pi}$?

Qwen: 你问得非常好！这是一个非常关键的观察，也是理解 Sarsa 作为控制算法（control algorithm）的核心所在。我们来一步一步分析：

🔍 你的问题：> “我怎么没看到 at the same time change π toward greediness with respect to q_π？”

这句英文的意思是：“同时将策略 π 向关于 q_π 的贪婪性改进。” 但你在 Sarsa 算法伪代码中只看到了 Q 的更新，没有显式地看到“修改策略”或“让 π 变得更贪婪”的步骤。所以你困惑：这个“改变策略向贪婪方向”的过程在哪里？

✅ 正确答案：它隐含在策略选择方式中！虽然伪代码中没有一行写“更新策略”，但策略的变化是通过使用 ε-greedy 这类随时间变化的策略实现的。也就是说：

Sarsa 是一个 on-policy 控制算法，它的“控制”体现在：

它不断用当前 Q 值估计出的策略（比如 ε-greedy）来生成行为；

随着 Q 被更新，这个策略也会自然地变得更贪婪；

因此，策略 π 在“渐进地”向贪婪策略逼近。

🧩 深入解释：如何“change π toward greediness”？

策略是如何定义的？在 Sarsa 中，行为策略 π 是从 Q 构造出来的，例如：

ε-greedy 策略, 公式 33： $\pi(a|s) = \begin{cases} 1 - \varepsilon + \frac{\varepsilon}{|\mathcal{A}(s)|}, & \text{if } a = \arg\max_{a'} Q(s,a') \\ \frac{\varepsilon}{|\mathcal{A}(s)|}, & \text{otherwise} \end{cases}$

👉 所以，只要 Q 改变，π 就会随之改变。

Q 更新 → π 改变
- 每次 Q(S,A) 更新后，状态 S 下的最优动作可能变化。
- 下一次在相同状态 S 再选择动作时，根据新的 Q 值，ε-greedy 会选择新的最优动作。
- 因此，策略 π 是动态的、依赖于 Q 的。

✅ 这就是“change π toward greediness with respect to q_π”的体现！

如何“变得越来越贪婪”？
- 如果我们设置 ε 随时间衰减，例如 $\varepsilon_t = \frac{1}{t}$ 或 $\varepsilon_t = \frac{1}{\sqrt{t}}$，
- 那么随着 t 增大，ε 趋近于 0，
- 策略 π 就会越来越倾向于选择当前 Q 值最大的动作，
- 即：π 渐近地趋向于对当前 q_π 的贪婪策略。

这就是所谓的 GLIE 条件（Greedy in the Limit with Infinite Exploration）：

Greedy in the limit: $\varepsilon \to 0$
Infinite exploration: 每个 (s,a) 被访问无限次

满足 GLIE 的话，Sarsa 就能收敛到最优策略和最优值函数。

Q: 图 6.3 这里纵坐标是 Loop for each episode 中 R 值之和么？ A: 是的.

Q: For example, suppose $\pi$ is the greedy policy while behavior is more exploratory; then Expected Sarsa is exactly Q-learning. behavior is more exploratory 的理解是指更具探索性，也即 e 更大么，即策略可能会更倾向于探索非最优动作？为啥说 expected sarsa 更像 q-learning 呢？

A: 首先 ‘behavior is more exploratory’ 是指 behavior policy, 即 off-policy 中的行为策略, 而不是指 $\pi$ 的行为. 另外当目标策略 $\pi$ 是贪婪策略时, 见 ‘公式 33’ 对应着 $\varepsilon = 0$, 即 $ R_{t+1} + \gamma \sum_{a’} \pi(a’ \mid S_{t+1}) \, Q(S_{t+1}, a’) = R_{t+1} + \gamma \max_{a’} Q(S_{t+1}, a’) $

Note: 单独看了 5.5 Of-policy Prediction via Importance Sampling；5.5Of-policy Prediction via Importance Sampling；5.7 Of-policy Monte Carlo Control; on-policy, off-policy 相关介绍

Note: Sarsa the policy is often e-greedy, which also involves a maximization operation; 如公式 33 所示, e-greedy policy 意味着当 a != argmax_a 时概率为 e, 所以也要比较下 max.

Note: To start, consider a bandit case inwhich we have noisy estimates of the value of each of many actions, obtained as sampleaverages of the rewards received on all the plays with each action. 这个做法是在赌博机问题中，我们通过不停 play 可以得到一个估计函数 Q(action) 返回 action 对应奖励, Q(action) = 在 paly 时选择 action 获取奖励的平均值；之后我们通过 argmax_a Q(a) 来确定最优动作 a 以及 a 的价值 Q(a)。这会导致 maximization bias. 所以怎么修正？独立玩 2 次，每次玩（包含不停的 play k-赌博机）会确定一个 Q.

7 n-step Bootstrapping

Q: Another way of looking at the benefits of n-step methods 我的理解是, 在 one-step TD 中, 必须在每个 action 之后执行更新(即 bootstrapping), 限制了 action 执行频次; 在实际应用中, 我们可能需要快速执行 action, 之后在一段时间之后再执行更新(即 bootstrapping); 所以需要 n-step TD.

Gemini: 你的理解非常准确，并且抓住了强化学习在处理连续时间或高频控制任务中的一个痛点。为了让你理解得更透彻，我们可以把这个问题拆解为“控制频率”与“学习效率”之间的矛盾。

“时间步的暴政”（Tyranny of the Time Step）是什么？在 One-step TD (TD(0)) 中，公式是：

\[V(S_t) \leftarrow V(S_t) + \alpha [R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1}) - V(S_t)]\]

这里隐藏了一个死结：步长 $t \to t+1$ 既是“动作执行的间隔”，又是“估计价值的间隔”。

从控制角度看：时间步越短越好。比如无人机飞行或自动驾驶，你希望每秒钟能更新 100 次动作（10ms 一次），这样系统反应才够快、够平滑。
从学习角度看：时间步太短是灾难。如果你 10ms 更新一次动作，那么 $S_t$ 和 $S_{t+1}$ 几乎是一模一样的（传感器数值可能只动了一点点噪声）。此时，$V(S_{t+1})$ 和 $V(S_t)$ 的差值极小，且充满了随机噪声。在这种情况下进行 Bootstrapping（用后一个状态估计前一个），学习进度会异常缓慢，甚至无法收敛，因为“有意义的状态演变”还没发生。

这就是“暴政”：你为了获得灵敏的控制，被迫选择了极短的学习间隔，导致学习效率低下。

n-step TD 是如何“解放”我们的？n-step TD 的公式（以 $n$ 步回报 $G_{t:t+n}$ 为目标）： $V(S_t) \leftarrow V(S_t) + \alpha [R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \dots + \gamma^{n-1} R_{t+n} + \gamma^n V(S_{t+n}) - V(S_t)]$

它实现了控制频率与更新间隔的解耦：

高频执行动作：你依然可以每 10ms 执行一个动作（保持 $t, t+1, t+2 \dots$ 的高频节奏），确保控制的实时性。
跨步长 Bootstrapping：虽然你动作很快，但你不再被迫在 10ms 后就立即进行估计。你可以等到 $n=50$ 步（即 500ms）之后，看状态真正发生了“可识别的变化”（Significant change）时，再利用 $V(S_{t+50})$ 来更新 $V(S_t)$。

盏一: 只是看了 7.1 了解下 n-step return 相关概念.

9 On-policy Prediction with Approximation

Q: In fact, all the theoretical results for methods using function approximation presented in this part of the book apply equally well to cases of partial observability. What function approximation can’t do, however, is augment the state representation with memories of past observations. Some such possible further extensions are discussed briefly in Section 17.3. 这里 “augment the state representation with memories of past” 啥意思?

Gemini: 这段话是强化学习中的一个核心概念，涉及到马尔可夫性（Markov Property）和部分可观测性（Partial Observability）。为了理解这句话，我们可以拆解成以下几个层面：

问题的背景：什么是“部分可观测”（Partial Observability）？在标准的 MDP（马尔可夫决策过程）中，代理（Agent）能够看到系统的完整状态 $S_t$。但在现实中，我们往往只能看到观测值 $O_t$。例子：你在玩一个接球游戏。如果只给你一张当前的静态照片（当前观测），你不知道球是在向上飞还是向下掉，也不知道它的速度。此时，单凭当前的观测 $O_t$ 并不具备马尔可夫性，你无法据此做出最优决策。
“Augment the state representation with memories” 是什么意思？这句话的字面意思是：“用对过去观测的记忆来增强（扩充）状态表示”。回到接球的例子：
- 虽然当前的单张照片信息不足，但如果你把“当前的照片”加上“前几秒的照片”拼在一起作为一个整体给 Agent，Agent 就能推断出球的速度和方向了。
- 这种把“过去的信息”塞进“当前的输入”里的做法，就叫做 Augment the state representation（增强状态表示）。
Sutton 为什么说“函数逼近（Function Approximation）做不到这一点”？这里是理解的难点。Sutton 的意思是：函数逼近器本身只是一个“映射函数”，它不负责“存储历史”。

函数逼近器的本质：无论是线性回归还是神经网络，它的功能是：输入一个 $x$，输出一个 $y$。即 $\hat{v}(s, \mathbf{w})$。它只是在学习如何根据你给它的输入来估算价值。
它的局限：如果你只给它当前的观测 $O_t$，它就只能处理 $O_t$。它不会自发地记住 $O_{t-1}$ 或 $O_{t-2}$。
谁来做这件事？这种“记忆”功能通常需要通过特征工程（比如把前 4 帧画面拼在一起，如 DQN 做法）或者特殊的架构（比如循环神经网络 RNN/LSTM，它们内部有隐藏状态来存储历史）来实现。

总结这句话的含义, Sutton 在这里强调了两个点：
理论普适性：这一章讲的函数逼近理论（比如梯度下降、收敛性等）在处理“不完全信息”时依然有效。你把不完全的观测当成状态传进去，算法依然能运行。
职责边界：函数逼近器（Function Approximation）的功能是泛化（Generalization）——即通过学习少量状态来推测未知状态的价值。但它不能自动解决“信息缺失”的问题。如果你想让 Agent 拥有“大局观”或“记忆力”，你必须人为地修改状态的定义（即 Augment），把历史信息喂给它，或者使用更复杂的带记忆的结构。

一句话总结： “函数逼近能帮你把复杂的状态变简单（降维/泛化），但它没法帮你把缺失的信息找回来（补全历史）；想补全历史，你得额外想办法把过去的记忆加到输入里去。”

Note: Often µ(s) is chosen to be the fraction of time spent in s, 这个可以理解为 s 出现的概率; 即 state distribution. 在持续性任务（Continuing Tasks）中，系统不会停止。只要策略 π 和环境转移概率是稳定的，经过足够长的时间后，智能体出现在某个状态的概率会趋于稳定。这个“平稳分布”就是 μ(s) 它满足：如果你现在处于这个分布，经过一个时间步的转移后，你依然处于这个分布。

Note: The on-policy distribution in episodic tasks

$\eta(s)$ 的语义, 在一整个 episode 中，状态 s 被访问（或停留）的期望次数。

\[\eta(s)\;=\;\mathbb{E}\Big[\sum_{t=0}^{T-1}\mathbf{1}\{S_t=s\}\Big]\]

这里 $\mathbf{1}{S_t=s}$ 我理解是个随机变量, 其在 $S_t = s$ 时取值为 1, 其他为 0. $\sum_{t=0}^{T-1}\mathbf{1}{S_t=s}$ 是随机变量之和, 也是一个随机变量, 表示是 s 出现次数. 根据 $\mathbb{E}[\mathbf{1}{A}]=\Pr(A)$ 可得:

\[\eta(s) = \mathbb{E}\Big[\sum_{t=0}^{T-1}\mathbf{1}\{S_t=s\}\Big] = \sum_{t=0}^{\infty}\Pr(S_t=s,\; t<T)\]

之后根据 $\eta(s)$ 定义可推出公式 (9.2), 记 episode 的初始分布为 $h$，策略为 $\pi$，环境转移为 $p$。

把 $t=0$ 和 $t\ge 1$ 分开： $\eta(s)=\mathbb{E}[\mathbf{1}\{S_0=s\}] \;+\;\mathbb{E}\Big[\sum_{t=1}^{T-1}\mathbf{1}\{S_t=s\}\Big]$

第一项就是初始在 $s$ 的概率： $\mathbb{E}[\mathbf{1}\{S_0=s\}]=\Pr(S_0=s)=h(s)$

关键是第二项。对任意 $t\ge 1$，有 $\Pr(S_t=s)=\sum_{\bar s}\Pr(S_{t-1}=\bar s)\Pr(S_t=s\mid S_{t-1}=\bar s)$ 而在策略 $\pi$ 下 $\Pr(S_t=s\mid S_{t-1}=\bar s)=\sum_a \pi(a\mid \bar s)\,p(s\mid \bar s,a)$

于是对 $t\ge 1$： $\Pr(S_t=s)=\sum_{\bar s}\Pr(S_{t-1}=\bar s)\sum_a \pi(a\mid \bar s)p(s\mid \bar s,a)$

再把“期望访问次数”写成对时间的求和（用 $\mathbb{E}[\mathbf{1}{S_t=s}]=\Pr(S_t=s)$）： $\eta(s)=h(s)+\sum_{t=1}^{\infty}\Pr(S_t=s)$ 代入上式并交换求和次序： $\eta(s)=h(s)+\sum_{t=1}^{\infty}\sum_{\bar s}\Pr(S_{t-1}=\bar s)\sum_a \pi(a\mid \bar s)p(s\mid \bar s,a)$ $= h(s)+\sum_{\bar s}\Big(\sum_{t=1}^{\infty}\Pr(S_{t-1}=\bar s)\Big)\sum_a \pi(a\mid \bar s)p(s\mid \bar s,a)$

注意括号里： $\sum_{t=1}^{\infty}\Pr(S_{t-1}=\bar s)=\sum_{k=0}^{\infty}\Pr(S_k=\bar s)=\eta(\bar s)$ （这里 $k=t-1$ 换元；在 episodic 情况下可理解为只在未终止时计数，写法等价）

因此得到： $\eta(s)=h(s)+\sum_{\bar s}\eta(\bar s)\sum_a \pi(a\mid \bar s)p(s\mid \bar s,a),\quad \forall s$

Q: If there is discounting 这段是什么意思呢?

ChatGPT: 这段话在讲：如果你在定义“在状态里花了多少时间”时引入折扣因子 $\gamma<1$，那它等价于一种“随机提前终止”(termination) 的机制，因此可以很自然地改写 (9.2)。

1) “without discounting” 的 $\eta(s)$ 前面定义的 $\eta(s)$ 统计的是一次 episode 里未折扣的访问次数： $\eta(s)=\mathbb{E}\Big[\sum_{t=0}^{T-1}\mathbf{1}\{S_t=s\}\Big]$ 每一步权重都一样（都是 1）。

2) 有折扣时：变成“折扣访问次数” 如果要把越晚的时间步权重变小，就用折扣： $\eta_\gamma(s)=\mathbb{E}\Big[\sum_{t=0}^{T-1}\gamma^t\,\mathbf{1}\{S_t=s\}\Big]$ 这时“占用量”更偏向早期的状态。

3) 为什么说折扣等价于“termination” $\gamma<1$ 可以解释为：每走一步都有概率 $1-\gamma$ 直接终止，以概率 $\gamma$ 继续。于是走到第 $t$ 步还没终止的概率就是 $\gamma^t$，刚好对应权重 $\gamma^t$。

所以折扣就像把“继续下去的概率”乘进了每次转移里。

4) “including a factor of $\gamma$ in the second term of (9.2)” 是怎么改原式： $\eta(s)=h(s)+\sum_{\bar{s}}\eta(\bar{s})\sum_a \pi(a|\bar{s})p(s|\bar{s}, a)$

带折扣后变为： $\eta_\gamma(s)=h(s)+\gamma\sum_{\bar{s}}\eta_\gamma(\bar{s})\sum_a \pi(a|\bar{s})p(s|\bar{s}, a)$

（然后如果你还想得到折扣版的 on-policy 分布，同样可以再做归一化：$\mu_\gamma(s)=\eta_\gamma(s)/\sum_{s’}\eta_\gamma(s’)$。）

Q3: these states might be successive states 是什么意思?

ChatGPT: 这里 “these states might be successive states” 的意思是：

这些被观测到的状态 $S_t$ 可能是连续时间步上依次出现的状态（也就是一条轨迹里 $S_0, S_1, S_2,\dots$ 这样的相邻状态），来自与环境的交互过程。

但作者马上补充 “but for now we do not assume so”，意思是：先不要求它们一定是按时间顺序相邻产生的；它们也可能只是从某个分布里（可能带随机）抽样得到的一批状态样本，彼此之间不一定有“上一状态/下一状态”的关系。

Q: Bootstrapping methods are not in fact instances of true gradient descent (Barnard, 1993). They take into account the effect of changing the weight vector wt on the estimate, but ignore its effect on the target. They include only a part of the gradient and, accordingly, we call them semi-gradient methods. estimate, target 是指什么? a part of the gradient 又是什么意思?

ChatGPT: 这里的 estimate 和 target 指的是在用平方误差做值函数逼近时，误差的两端：

estimate（估计）：当前参数 $w_t$ 给出的预测值 $\hat v(S_t; w_t)$
target（目标）：你希望去匹配的“监督信号”。在 bootstrapping（如 TD）里，目标通常也包含当前的估计，例如 TD(0) 的目标 $Y_t = R_{t+1} + \gamma \hat v(S_{t+1}; w_t)$ 这就是“自举”：用自己的预测 $\hat v(\cdot)$ 来构造学习目标。

“a part of the gradient” 是什么意思？如果我们用损失

\[L(w)=\frac12\big(Y_t - \hat v(S_t; w)\big)^2\]

做真正的梯度下降，要对 $w$ 求导。注意：在 bootstrapping 中 $Y_t$ 也依赖 $w$（因为里面有 $\hat v(S_{t+1}; w)$）。真正的梯度包含两部分（链式法则）：

\[\nabla_w L(w)=\big(\hat v(S_t; w)-Y_t\big)\Big(\nabla_w \hat v(S_t; w)\;-\;\nabla_w Y_t\Big)\]

其中：

$\nabla_w \hat v(S_t; w)$：参数改变对 estimate 的影响（这一项会被算进去）
$\nabla_w Y_t$：参数改变对 target 的影响（在 TD 里这项一般被忽略）

因为 TD 这类方法在更新时把 target 当成常数（“停梯度”），只用

\[\text{semi-gradient: }\;\;\nabla_w L(w)\approx\big(\hat v(S_t; w)-Y_t\big)\nabla_w \hat v(S_t; w)\]

所以作者说它们 include only a part of the gradient：只包含了完整梯度里的一部分（只对 estimate 求导，不对 target 求导），因此叫 semi-gradient（半梯度），也就“不是真正的梯度下降”。

Q: As in other stochastic gradient learning algorithms, the vector of these partial derivatives is an estimate of the true gradient; 为啥说是 an estimate? 我一直以为这些偏导数就是 true gradient

ChatGPT: 之所以说反向传播算出来的是 an estimate of the true gradient，不是因为反传本身“不精确”，而是因为这里讨论的是随机梯度学习（stochastic gradient learning）：你每次 forward/backward 用的只是一个样本/一个 mini-batch，对应的是样本损失的梯度，而“true gradient”通常指的是期望风险/总体损失的梯度。设总体目标函数（真正想最小化的）是 $J(w)=\mathbb{E}_{(x,y)\sim D}\big[\ell(w; x,y)\big]$ 那么 true gradient 是 $\nabla J(w)=\mathbb{E}[\nabla \ell(w; x,y)]$

但一次反向传播（用一个样本）算到的是 $g_t=\nabla \ell(w; x_t,y_t)$ 它一般不等于 $\nabla J(w)$，因为它依赖于抽到的这个样本；不过在样本是从 $D$ 抽样且条件满足时： $\mathbb{E}[g_t]=\nabla J(w)$ 所以 $g_t$ 是对 true gradient 的无偏估计（estimate）。mini-batch 时同理： $g_t=\frac{1}{B}\sum_{i=1}^B \nabla \ell(w; x_i,y_i)$ 方差更小，但仍然是估计。

Q: backpropagation does not work well for deep ANNs because the partial derivatives computed by its backward passes either decay rapidly toward the input side of the network, making learning by deep layers extremely slow, or the partial derivatives grow rapidly toward the input side of the network, making learning unstable. 这里大概是在说什么? 简单介绍下让我有个大概感知即可, 不必深入.

ChatGPT: 这段在说深层神经网络训练里的经典问题：梯度消失/梯度爆炸。反向传播时，梯度（各层参数的偏导数）要从输出层一层层往输入层传回去。因为每过一层都要乘上一些导数/权重矩阵，很多层连乘后：如果这些乘子的“平均大小”小于 1，梯度会越传越小，靠近输入的前面几层梯度几乎变成 0，导致这些深层（更靠近输入的层）学得非常慢（梯度消失）。如果这些乘子的“平均大小”大于 1，梯度会越传越大，变得很不稳定，参数更新可能发散（梯度爆炸）。

Q: 简单介绍下为什么自由度很高的时候会导致过拟合? 以及为什么 regularization 可以缓解过拟合?

ChatGPT: 自由度很高为什么容易过拟合, “自由度高”基本等价于：模型参数很多、表达能力很强（比如深网大量权重），能表示的函数集合非常大。当训练数据有限时，这种模型不仅能学到数据中的规律信号，也很容易把数据里的噪声/偶然性一起“记住”（拟合得训练误差很低），但这些噪声在新数据上不再出现，于是泛化误差变大。直观类比：用一条高阶多项式穿过少量点，可以做到训练点全通过，但曲线在点与点之间会剧烈摆动；这就是“容量过大 + 数据不足”带来的高方差问题。为什么 regularization 能缓解过拟合: Regularization（正则化）是在优化目标里加入对“复杂模型”的惩罚或约束，使模型更倾向于选择简单/平滑/稳定的解，从而减少对噪声的追随，提高泛化。常见形式：L2 正则（weight decay）：最小化 $\text{loss} + \lambda|w|^2$ 会倾向于让权重更小。小权重通常意味着函数变化更平滑、对输入扰动不那么敏感，从而降低过拟合。一句话：高自由度模型更容易“记住训练集”；正则化通过惩罚复杂度，把解推向更简单、对噪声不敏感的函数，因此更不容易过拟合。

Q: 简单介绍下 dropout 训练, 推理时的行为; 简单解释下 It encourages individual hidden 这段啥意思?

ChatGPT: 训练（training）时：

对每一层（通常是隐藏层）的每个神经元，以概率 (p) 保留，以概率 (1-p) 丢弃（输出置 0，并且该单元相关权重在这次前向/反向中不参与）。
等价于：每次用一个随机“子网络”在训练。

推理（inference/test）时：

不再随机丢弃单元，用完整网络输出。
常见做法有两种等价实现： 1) 训练时做 inverted dropout：保留的激活除以 (p)（放大），推理时不需要任何缩放（最常用）。 2) 推理时缩放（你引用的这句）：把某单元的输出（或等价地其 outgoing weights）乘以保留概率 (p)，用期望值近似训练时随机子网络的平均效果。

Dropout 会让某个隐藏单元在训练时经常面对一种情况：它习惯搭档的其他单元可能突然被丢掉。因此：

每个隐藏单元不能过度依赖某几个特定的“同伴特征”（避免 co-adaptation，共适应）。
它被迫学到更“通用”的特征：即使和随机组合的其他特征一起用，也能对输出有帮助。
结果是网络整体更不容易为了训练集中一些少见/偶然的组合模式而“专门定制”（overly specialize），从而提升泛化能力。

一句话：dropout 逼着每个特征“独立也能打”，而不是只在固定小团体里才有用。

Q: Hinton, Osindero, and Teh (2006) took a major step … 这些 deepest layers 是指靠近输入层的 layer 么?

Gemini: 这是一个非常好的观察。在现代深度学习的语境下，我们通常习惯把靠近输出的层称为“深层”，把靠近输入的层称为“底层”或“浅层”。但在 Sutton 这段话里，”deepest layers” 确实是指靠近输入层（Input Layer）的那些层。这听起来可能有点反直觉，我们需要从以下几个角度来理解：

训练的物理顺序, 这段话描述的是 Hinton 在 2006 年提出的 “逐层预训练”（Layer-wise Pre-training）。
- 第一步：算法必须先接触到原始数据（Input）。
- 第二步：由于没有任何标签（无监督），它先训练第一层隐藏层，让这一层学会如何编码原始输入。
- 第三步：第一层练好了，把它的输出当成“输入”，再送给第二层。
- 第四步：依此类推。

既然是从输入端开始练起，而 Sutton 说 “The deepest layer is trained first”，那么他口中的 “deepest” 指的就是最底层的、直接接触数据的隐藏层。

为什么 Sutton 称其为 “Deepest”？这可能源于视角的不同：
- “深度”作为距离输入的距离（现代习惯）：离输入越远越深。
- “深度”作为地基（Hinton/Sutton 的语境）：在构建深度信念网络（DBN）时，研究者常将其想象成一个堆叠结构。输入层是在最下面的“地基”。在 DBN 的生成式模型逻辑里，这些层处于结构的最深处（最底层），特征从这里开始被一层层提取出来。
- 相对于输出的距离：如果你把输出层（决策层）看作“表面”，那么离决策最远的、埋在数据堆里的那一层就是“最深”的。
这里的核心逻辑（重点）不管这个术语怎么叫，你只需要记住这个过程的逻辑顺序：
从输入端开始：先训练靠近原始数据的隐藏层（无监督地提取特征）。
逐层向上：用前一层的输出训练后一层。
最后微调：当所有层都作为特征提取器初始化好了，再用传统的反向传播（Backpropagation）结合全局目标函数（有监督地）从输出端往回调整所有权重。

有趣的事实：这种逐层预训练的方法在 2006-2010 年间非常流行（它开启了这一波深度学习浪潮），但现在已经很少使用了。现代深度学习主要依靠更好的初始化方案（如 Xavier/He initialization）、残差连接（ResNet）和 BatchNorm 来直接进行端到端（End-to-End）训练，不再需要这种麻烦的逐层预训练了。

Q: 简单介绍下 produces sample averages in MC method 是什么意思? 为什么不适合 TD method, nonstationary problems

Gemini: 这段话涉及强化学习中参数更新的核心逻辑。我们按顺序来拆解你的问题：

“produces sample averages in MC method” 是什么意思？

在表格型（Tabular）蒙特卡洛（MC）方法中，我们想估算一个状态的价值 $V(s)$。最直观的方法就是把所有在这个状态下得到的收益（Returns）加起来求平均。假设你第 $n$ 次访问状态 $s$，收到的回报是 $G_n$。样本平均（Sample Average）的公式是：$V_n = \frac{G_1 + G_2 + \dots + G_n}{n}$ 为了方便计算，我们可以把它写成增量更新的形式： $V_n = V_{n-1} + \frac{1}{n} [G_n - V_{n-1}]$. 你看，这里的步长 $\alpha_n$ 正好等于 $1/n$。结论：当你设置 $\alpha = 1/t$ 时，你当前的估值在数学上就等于过去所有样本的算术平均值。每个样本（无论新旧）的权重都是一样的（都是 $1/n$）。

为什么 $1/t$ 不适合 TD 方法？ TD（时序差分）方法和 MC 有一个本质区别：自举（Bootstrapping）。

MC 的目标是真实的： MC 的目标 $G_t$ 虽然随机性大，但它是客观发生的真实回报。
TD 的目标是“偏见”的： TD 的更新目标是 $R + \gamma V(S’)$。注意，这里的 $V(S’)$ 是智能体当前的估计值。
矛盾点：
- 在学习初期，$V(S’)$ 通常是随机初始化的，甚至是完全错误的。
- 如果你使用 $\alpha = 1/t$，那么早期这些“错误”的目标会被赋予很大的权重（比如第一次更新权重是 1，第二次是 1/2）。
- 随着时间推移，当你的 $V(S’)$ 变得越来越准时，$\alpha$ 反而变得非常小（比如 $1/10000$），导致智能体很难吸收后期那些更准确的信息。
形象理解：这就像你在学游泳，刚开始教练教的全是错的，你拼命记住了；后来来了个奥运冠军教你真本事，你却因为“先入为主”且步长太小，怎么也改不过来了。

为什么 $1/t$ 不适合非平稳问题 (Nonstationary problems)？非平稳问题是指：环境的规则（奖励机制或转移概率）会随着时间改变。

$1/t$ 的缺陷：正如前面所说，$1/t$ 给予所有历史样本平等的地位。如果环境在第 1000 步时突然变了，而你已经有了 1000 个旧环境的样本，新的样本对平均值的影响会微乎其微（权重只有 $1/1001$）。
智能体的“顽固”：使用 $1/t$ 会让智能体随着时间增加变得越来越“固执”，丧失对环境变化的追踪能力。
解决方案：在非平稳问题中，我们通常使用固定步长（如 $\alpha = 0.1$）。这会让最近的经验比很久以前的经验拥有更高的权重（权重按指数级衰减），从而保证智能体能“忘掉过去”，跟上环境的变化。

为什么不适合函数逼近 (Function Approximation)？虽然你没细问，但这对于理解全书很重要：

在函数逼近（如神经网络）中，更新一个状态的权重会影响到很多相关状态的估值。
训练数据的分布是不断变化的（随着策略改进，智能体去的地方也不一样了）。
在这种复杂的参数空间里，$1/t$ 这种衰减太快的步长往往会导致算法在还没找到最优特征映射之前，步长就已经小到“走不动”了（收敛过早，停在糟糕的局部解）。

总结

$1/t$：追求的是收敛到静态均值，适合环境永远不变、且目标是客观真实的情况。
固定步长 $\alpha$：追求的是持续学习和适应，适合目标在变、环境在变、或者使用模型（如神经网路）去逼近的情况。Sutton 在书中后续章节几乎全部使用固定步长或更复杂的自适应步长。

Q: 在 Sutton Reinforcement Learning An Introduction 9.7 Nonlinear Function Approximation: Artificial Neural Networks 中, 我以为他会介绍 ann 与 rl 的交互, 但却只介绍了 ann 相关知识, 没有 ann 与 rl 交互部分, 你能帮忙补充下么?

Gemini: Sutton 在第 9.7 节之所以花篇幅介绍 ANN 的基础，是因为在强化学习的语境下，ANN 只是被当作一个“黑盒子”函数逼近器 $\hat{v}(s, \mathbf{w})$ 或 $\hat{q}(s, a, \mathbf{w})$。在 RL 中，ANN 的交互逻辑主要体现在“数据流”和“损失函数”这两个方面。我们可以通过以下三个维度来补充 ANN 与 RL 的具体交互过程：

结构上的交互：谁是输入？谁是输出？在 RL 任务中，神经网络的结构通常根据任务类型来设计：

状态价值网络 (V-Network): 盏一: 本章介绍的是 ANN 如何用作 V-Network.
- 输入：当前状态 $S_t$ 的特征向量（如传感数据、像素点）。
- 输出：一个标量 $\hat{v}(S_t, \mathbf{w})$，代表该状态的预估价值。
动作价值网络 (Q-Network):
- 输入：状态 $S_t$ 的特征。
- 输出：一个向量，维数等于动作空间的大小。每个分量对应一个动作的 $\hat{q}(S_t, a, \mathbf{w})$。（这是 DQN 的典型做法）。
策略网络 (Policy Network / Actor):
- 输入：状态 $S_t$。
- 输出：动作的概率分布 $\pi(a S_t, \mathbf{w})$。

训练上的交互：RL 的信号如何转化为 ANN 的梯度？这是最核心的交互点。在监督学习中，我们有真实的标签 $y$。在 RL 中，“标签”是由 RL 算法生成的动态目标。以 Semi-gradient TD(0) 为例，ANN 与 RL 的交互公式如下：
RL 生成目标 (Target): 这里 $U_t$ 扮演了监督学习中“标签”的角色。
\[U_t = R_{t+1} + \gamma \hat{v}(S_{t+1}, \mathbf{w}_t)\]
计算误差 (TD Error): $\delta_t = U_t - \hat{v}(S_t, \mathbf{w}_t)$
ANN 反向传播: 根据 Sutton 书中的梯度下降公式： $\mathbf{w}_{t+1} = \mathbf{w}_t + \alpha [ \underbrace{R_{t+1} + \gamma \hat{v}(S_{t+1}, \mathbf{w}_t)}_{\text{RL 提供的目标}} - \hat{v}(S_t, \mathbf{w}_t) ] \nabla \hat{v}(S_t, \mathbf{w}_t)$
- $\nabla \hat{v}(S_t, \mathbf{w}_t)$ 就是 ANN 的反向传播过程产生的偏导数。
- $\delta_t$ 则是传给 ANN 的误差信号。
交互中的特殊挑战（为什么不能直接套用 ANN） Sutton 在这一章后面其实暗示了 ANN 处理 RL 数据时的一些困难，这些困难正是 RL 与 ANN 交互时的独特之处：
非独立同分布 (Non-i.i.d. Data): 盏一: 如 Q3 所示.
- 监督学习假设样本是独立的。
- 但在 RL 中，当前的输入 $S_t$ 决定了动作 $A_t$，进而决定了下一个输入 $S_{t+1}$。样本之间有极强的时间相关性。
- 解决方法（交互增强）： 引入 Experience Replay (经验回放)，打破数据相关性。
非平稳目标 (Non-stationary Targets):
- 在 RL 中，目标 $U_t = R + \gamma \hat{v}(S’)$ 本身也在变（因为权重 $\mathbf{w}$ 在变）。
- 这就像“追逐一个移动的目标”，会导致神经网络训练极不稳定。
- 解决方法（交互增强）： 引入 Target Network (目标网络)，每隔一段时间才更新一次目标计算网络。

Sutton 书中 9.7 节之所以写得像教科书式的 ANN 介绍，是因为他想把“函数逼近”作为一个通用的插件来讲解。只要你定义好了 $\hat{v}(s, \mathbf{w})$，无论它是线性模型还是深度神经网络，RL 的更新公式（即交互逻辑）在数学形式上是一模一样的。

Note: The algorithms we have considered so far in this chapter have treated all the statesencountered equally, as if they were all equally important. 虽然在 9.2 The Prediction Objective 介绍了 $\mu(s)$, 但其实在 9.3 ~ 9.10 定义 loss 函数时都没有考虑到 $\mu(s)$, 而是假设所有状态重要性是一样的. 盏一补充: 如下 Q4 所示, 这里理解不对.

Q4: In some cases, however, we are more interested in some states than others. In discounted episodic problems, for example, we may be more interested in accurately valuing early states in the episode than in later states where discounting may have made the rewards much less important to the value of the start state. 这个意思我大概明白, 就是在 discounted episodic 问题中, 在估计状态 S 的价值, 若某个状态 S1 离 S 很远, 那么其会被折扣的很大, 也即 V(S1) 的精确值对于 V(S) 的估计不是那么重要; 但若对于另一个状态 S2, S1 离 S2 很近, 那么 V(S1) 精确值就很重要了. 为啥这里说 later states 不重要呢?

Gemini: 你的理解其实已经触及了核心，但 Sutton 这里强调的是一个全局目标的问题：既然我们的模型（函数逼近器）资源有限，我们应该把这点“有限的功力”优先花在谁身上？这里的“重要性”是站在整个 Episode（回合）的起始价值这个视角来看的。我们可以从以下三个层面来拆解：

目标导向：谁决定了整个回合的成败？在 Episodic 任务中，我们通常最关心的是从初始状态开始能拿多少分，即 $v_\pi(S_{start})$。
- $v_\pi(S_0) = \mathbb{E}[R_1 + \gamma R_2 + \gamma^2 R_3 + \dots + \gamma^k R_{k+1} + \dots]$
- 在这个公式里，越往后的奖励 $R_{k+1}$，前面的折扣因子 $\gamma^k$ 就越小。
- 这就意味着：即便你后面犯了错（对 $V(S_{later})$ 估值不准），只要它离起点足够远，它对起点价值 $V(S_0)$ 的误差贡献就会被 $\gamma^k$ 削弱到几乎可以忽略。

所以，如果我们想让“起始状态的价值估计”最准，我们就应该优先保证“早期状态”的估值准确。

误差传播的视角, 假设你使用 TD 算法：$V(S_t) \approx R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1})$。
- 如果 $S_{100}$ 估值错了 10 分，传回到 $S_{99}$ 时，误差变成 $10\gamma$。
- 传回到 $S_0$ 时，误差就变成了 $10\gamma^{100}$。
- 如果 $\gamma=0.9$，那么 $10 \times 0.9^{100} \approx 0.00026$。
- 结论：后面状态（Later states）算得再烂，对起始状态的影响也微乎其微。但如果 $S_1$ 算错了 10 分，对 $S_0$ 的影响就是 $9$ 分（很大！）。
权重的分配（$\mu(s)$ 的真谛）在函数逼近中，由于模型（如神经网络）的容量有限，它不能在所有状态上都达到完美。这是一个零和博弈：
- 如果你强迫模型去精确拟合那些 Episode 末尾（Later states）的状态，模型可能会为了迎合这些状态而牺牲掉早期状态（Early states）的拟合精度。
- Sutton 想说的是：由于折扣的存在，这种牺牲是不划算的。我们宁愿让模型在 Episode 快结束时“糊涂一点”，也要保住它在 Episode 开始时的“清醒”。

总结你的疑问：你说的“$S_1$ 离 $S_2$ 近，所以 $S_1$ 对 $S_2$ 很重要”是正确的局部视角。但 Sutton 这里是在讨论定义全局优化目标 $\overline{VE}$ 时，如何分配每个状态的权重 $\mu(s)$。他提议：在带折扣的回合制任务中，既然越往后对起点的贡献越小，我们的权重 $\mu(s)$ 就应该随着 Episode 的推进而逐渐减小。

盏一: 我大概明白了, 这里的说法是在定义 $\overline{VE}(w)$ 时, 如何指定每个状态对应的 $\mu(s)$, 简单来说, 若某几个状态只出现在 episode 尾部, 那么这些状态价值对其他状态影响较弱, 对应 $\mu(s)$ 可以调小 1 点, 使得 w 集中精力处理前面的状态.

Q: 我不太理解 “updating according to the on-policy distribution” 为啥会导致 “treated all states encountered equally”? The algorithms we have considered so far in this chapter have treated all the statesencountered equally, as if they were all equally important. 虽然在 9.2 The Prediction Objective 介绍了 $\mu(s)$, 但其实在 9.3 ~ 9.10 定义 loss 函数时都没有考虑到 $\mu(s)$, 而是假设所有状态重要性是一样的. 我当时以为这是为了方便介绍而特意假设的.

Gemini: 这是一个非常深刻的问题，触及了随机梯度下降（SGD）与概率分布之间的一个巧妙关系。你之前的理解其实没错，但 Sutton 在这里说的“Equally”是一个特定的数学含义。我们可以从以下三个层面来拆解：

为什么在公式里看不到 $\mu(s)$？

在 9.2 节定义的损失函数（Mean Squared Value Error）是：

\[\overline{VE}(\mathbf{w}) = \sum_{s \in \mathcal{S}} \mu(s) [v_\pi(s) - \hat{v}(s, \mathbf{w})]^2\]

这里确实有 $\mu(s)$。但到了 9.3 节以后的 Semi-gradient TD 更新公式：

\[\mathbf{w}_{t+1} = \mathbf{w}_t + \alpha [R_{t+1} + \gamma \hat{v}(S_{t+1}, \mathbf{w}_t) - \hat{v}(S_t, \mathbf{w}_t)] \nabla \hat{v}(S_t, \mathbf{w}_t)\]

你会发现 $\mu(s)$ 不见了！看起来我们对每一个遇到的 $S_t$ 都用了同样的步长 $\alpha$。

关键点在于：这种“每遇到一个状态就更新一次，且步长都一样”的做法，在统计学上自动实现了按 $\mu(s)$ 权重的更新。

例子：假设状态 $A$ 出现的频率 $\mu(A)=0.9$，状态 $B$ 出现的频率 $\mu(B)=0.1$。
如果你让 Agent 跑 100 步，它会遇到 90 次 $A$ 和 10 次 $B$。
既然你“一视同仁”（Equally）地对每一次 encounter 都用 $\alpha$ 更新，那么 100 步之后，$A$ 被更新了 90 次，$B$ 只被更新了 10 次。
最终，神经网络的权重 $\mathbf{w}$ 会被那 90 次关于 $A$ 的梯度主导。

结论： “Treated all states encountered equally” 的意思是：对于每一个采样到的样本，更新强度（步长 $\alpha$）是一样的。这样做的结果，就是损失函数会自动按照状态出现的天然频率（on-policy distribution）进行加权。

那 Sutton 为什么要在 9.11 节强调这件事？

因为他准备要打破这种“一视同仁”了。

在 9.11 节（Emphatic TD）中，Sutton 引入了 Interest（兴趣度）的概念。

之前的做法：只要遇到了 $S_t$，更新量就是 $\alpha \times \text{Error} \times \text{Gradient}$。
现在的想法：虽然我遇到了 $S_t$，但我可能并不想“平等地”更新它。如果这个状态发生在 Episode 的后期，我认为它不重要，我可能会在更新公式前面乘上一个很小的权重系数。

所以，当他说“之前我们 treated all states encountered equally”，是指我们以前从未人为地通过一个额外的权重（如 Interest）去干预每一步的更新强度，我们只是顺从于环境给我们的采样频率。

理论上的原因：为什么以前要“一视同仁”？

Sutton 提到：“for which stronger theoretical results are available”。这是因为：

半梯度（Semi-gradient）方法是不稳定的：它不像真正的梯度下降那样一定能收敛。
收敛的救命稻草：研究证明，如果你的更新权重严格等于该策略下的平稳分布（on-policy distribution），半梯度线性 TD 是保证收敛的。
风险：如果你人为干预了更新权重（比如觉得某些遇到的状态不重要，给它乘个 0.1；或者做 Off-policy 学习），这种权重分布与天然的转移概率分布（on-policy distribution）一旦不匹配，算法就非常容易发散（Diverge）。

总结：

“Treated equally” 指的是：无论遇到哪个状态，更新时的步长系数都是 $\alpha$，没有额外的个性化加权。
“Updating according to on-policy distribution” 是 “Treated equally” 的必然结果：因为你对每个样本都一样，所以出现次数越多的状态，对模型的影响就越大。
Sutton 的铺垫：他告诉你，以前我们这么做是为了求稳（保证理论上的收敛性）。但现在（第 9.11 节），我们要尝试更高级的做法——即使某些状态遇到了，我们也可能因为“不感兴趣”而给它更小的更新权重，虽然这在数学上更难保证收敛。

Note: All of them will have in common that they are a distribution of states encountered in trajectories while following the target policy, but they will vary in how the trajectories are, in a sense, initiated. 如上所述, 以前从未人为地通过一个额外的权重（如 Interest）去干预每一步的更新强度，我们只是顺从于环境给我们的采样频率, 对应着公式 9.1。现在我们想手动(或者根据先验知识)定义 trajectories 的起点, 之后在这个新的 trajectories 计算新的 $\mu_n(s)$, 并以此替换公式 9.1; 可以把 $I_t$ 理解为一种“逻辑上的起始点”, 即使 Agent 已经在环境里跑了 100 步，如果你突然在第 101 步设置 $I_{101} = 1; I_{t} = 0, t < 101$, 那么对算法来说，轨迹就像是从第 101 步才真正“开始”（Initiated）的一样。通过调节不同时间点的 Interest，我们改变了轨迹在统计意义上的“生效起点”。所以我的理解是公式 9.2 定义了从字面意义上的初始状态开始(其分布是 h(s))得到的 $\mu(s)$, 但其实 $\mu(s)$ 可以从这个轨迹任意 1 点作为起始点开始计算.

Gemini: 你的理解完全正确，而且这正是理解 9.11 节“兴趣与强调”（Interest and Emphasis）最核心的直觉。我们可以把你的理解再深化一下，看看 Sutton 是如何通过把 $h(s)$ “广义化”来实现这一点的：

$h(s)$ 其实是一个“开关”, 在公式 9.2 中，$h(s)$ 像是点燃一把火。这把火从初始状态开始烧，然后沿着转移概率 $p$ 蔓延到整个状态空间，最终形成的烟雾分布就是 $\eta(s)$。
- 传统的做法：我们只在 Episode 的第一步点火（即 $h(s)$）。
- Sutton 的新想法：我们可以在轨迹的任何一个时刻、任何一个状态再次点火，或者把火点得更大/更小。
从 $h(s)$ 到 $I_t$ (Interest), 在 9.11 节中，Sutton 引入了一个变量 $I_t$（Interest）。你可以直接把 $I_t$ 看作是“动态的 $h(s)$”：
- 如果我们在第 10 步设置 $I_{10} = 1$，就相当于我们在第 10 步这个位置重新“初始化”了一次我们要关注的分布。
- 这样得到的 $\mu(s)$ 就不仅取决于 Episode 是从哪开始的，更取决于我们“对哪些时刻点的状态感兴趣”。
为什么要“在任意一点开始计算”？正如你所说，如果我们可以从轨迹的任意一点开始计算分布，我们就能实现以下操作：
- 局部关注：虽然 Agent 在整个迷宫里跑，但我只“关注”它进入陷阱区之后的表现。那么我只在它进入陷阱区时设置 $I_t=1$，此时我的神经网络会拼命优化陷阱区附近的价值估计，而忽略掉起点附近的无聊状态。
- 折扣补偿：就像你之前问的，由于 $\gamma$ 的存在，后面的状态在 $V(S_0)$ 里权重很低。如果我们想让后面的状态也变得“重要”，我们可以在后面步骤中人为地提高 $I_t$，强行把分布 $\mu(s)$ 的权重拉回来。
“Initiated” 的深层含义, 当你理解了“可以从任意一点作为起始点”后，Sutton 那句 “vary in how the trajectories are initiated” 就变得很清晰了：
- Case A (标准版)：轨迹由环境的 $h(s)$ 初始化。
- Case B (折扣版)：轨迹由 $h(s)$ 初始化，但每一步都像是有可能“消失”一样，不断产生新的微小初始化。
- Case C (兴趣版)：轨迹由我们定义的 $I_t$ 序列初始化。我们在哪一时刻 $t$ 给出的 $I_t$ 高，那一时刻的 $S_t$ 就变成了计算 $\mu(s)$ 时的“新起点”。

总结: 你的直觉抓住了重点：$\mu(s)$ 不是天经地义、不可改变的物理规律，它其实是我们观察轨迹的一个“加权窗口”。通过改变这个窗口的“起始位置”（Initiation），我们可以灵活地告诉神经网络：“嘿，虽然你在跑整个回合，但我现在想让你从这一秒开始重新打起精神，把接下来的状态看作是新的重点。”这就是 9.11 节 Emphatic TD 想要解决的数学问题。

10 On-policy Control with Approximation

Note: Ergodic MDP; 一个 MDP（马尔可夫决策过程）如果是 Ergodic 的，意味着：不管你从哪出发（初始状态 S0 是什么），只要时间足够长，你最终在各个状态出现的概率分布都是一样的。即随着 t 的增加 $\Pr{S_t = s} = \Pr{S_{t+1} = s}$, 即 $\Pr{S_t = s}$ 收敛到某个值上, 这个值即 $\mu_{\pi}(s)$. 与之相对的是, 公式 9.2 提到的 The on-policy distribution in episodic tasks, 此时 $\mu(s)$ 依赖初始状态 h(s) 的分布.

Q: $\Pr{S_t = s}$ 与 $\Pr{S_t = s \mid A_{0:t-1} \sim \pi}$ 有什么区别?

Gemini: 在讨论强化学习的语境下，这两个写法其实描述的是同一件事，只是严谨程度不同。但在数学上，增加 $

A_{0:t-1} \sim \pi$ 这个条件是为了明确“概率的来源”。如果你只写 $\Pr{S_t = s}$，这就像是在问：“下午 3 点你在图书馆的概率是多少？”? 这个问题的答案是不确定的，除非你先告诉我：你是按什么规则行动的？

如果你总是待在宿舍（策略 $\pi_1$），概率就是 0。
如果你是个学霸（策略 $\pi_2$），概率就是 90%。

所以，加上 $

A_{0:t-1} \sim \pi$ 是为了明确告诉你：“假设从第 0 步到第 $t-1$ 步，所有的动作都是按照策略 $\pi$ 选取的。” 没有这个前提，状态的转移就失去了驱动力，概率也就没法算了。

Q: 公式 10.6 到 10.7 的推导.

Gemini: 既然需要严谨一点，我们从数学定义和马尔可夫链的性质出发来推导。

从 (10.6) 到 (10.7) 的推导：Cesàro Mean（切萨罗平均）

在 (10.6) 中，定义的是长期平均奖励。为了简便，令 $a_t = \mathbb{E}[R_t \mid S_0, A_{0:t-1} \sim \pi]$。(10.6) 实际上是序列 ${a_t}$ 的前 $h$ 项算术平均的极限：

\[r(\pi) = \lim_{h \to \infty} \frac{1}{h} \sum_{t=1}^h a_t\]

在分析学中有一个经典的定理：如果一个数列 $a_t$ 收敛于 $L$，那么它的切萨罗平均（Cesàro mean）也收敛于 $L$。即：若 $\lim_{t \to \infty} a_t = L$，则 $\lim_{h \to \infty} \frac{1}{h} \sum_{t=1}^h a_t = L$。严谨前提：这一步成立的前提是极限 $\lim_{t \to \infty} \mathbb{E}[R_t \mid \dots]$ 必须存在。

在 MDP 中，如果该过程是遍历的（Ergodic）且是非周期的（Aperiodic），那么马尔可夫链会收敛到一个唯一的平稳分布。一旦分布收敛，瞬时期望奖励 $\mathbb{E}[R_t]$ 也会收敛到一个常数。因此，(10.7) 是 (10.6) 存在的充分条件。

从 (10.7) 到 (10.8) 的推导：全期望公式与稳态分布

我们展开 (10.7) 中的期望项。根据全期望公式（Law of Total Expectation），我们可以按时间 $t$ 的状态 $S_t$ 进行条件概率展开：

\[\mathbb{E}[R_t \mid S_0, \pi] = \sum_{s \in \mathcal{S}} \Pr\{S_t = s \mid S_0, \pi\} \mathbb{E}[R_t \mid S_t = s, \pi]\]

接下来进行两步操作：

第一步：展开即时奖励的期望, 对于给定的状态 $s$ 和策略 $\pi$，在该状态下的预期奖励 $\mathbb{E}[R_t \mid S_t = s, \pi]$ 仅取决于当前的策略和环境动力学，与时间 $t$ 无关： $\mathbb{E}[R_t \mid S_t = s, \pi] = \sum_{a \in \mathcal{A}} \pi(a|s) \sum_{s', r} p(s', r | s, a) r$

第二步：取极限并应用遍历性, 将上述展开代入 (10.7) 并取 $t \to \infty$ 的极限： $r(\pi) = \lim_{t \to \infty} \sum_{s \in \mathcal{S}} \Pr\{S_t = s \mid S_0, \pi\} \left[ \sum_{a} \pi(a|s) \sum_{s', r} p(s', r | s, a) r \right]$

由于状态空间 $\mathcal{S}$ 是有限的（或者满足一致有界条件），我们可以将极限符号 $\lim$ 移入求和号内： $r(\pi) = \sum_{s \in \mathcal{S}} \left( \lim_{t \to \infty} \Pr\{S_t = s \mid S_0, \pi\} \right) \left[ \sum_{a} \pi(a|s) \sum_{s', r} p(s', r | s, a) r \right]$

根据遍历性（Ergodicity）的定义：

存在性：极限 $\lim_{t \to \infty} \Pr{S_t = s \mid S_0, \pi}$ 存在。
独立性：该极限与初始状态 $S_0$ 无关。这个极限值被定义为稳态分布（Steady-state distribution）： $\mu_{\pi}(s) \doteq \lim_{t \to \infty} \Pr\{S_t = s \mid S_0, \pi\}$

将 $\mu_{\pi}(s)$ 代入上式，即得 (10.8)： $r(\pi) = \sum_{s} \mu_{\pi}(s) \sum_{a} \pi(a|s) \sum_{s', r} p(s', r | s, a) r$

盏一: 最开始那几天的波动在“无穷长”的时间长河里会被稀释掉。长期平均值（10.6）就等于系统进入稳态后的瞬时期望值（10.7）。

Q: 我理解之所以在 approximate case 无法使用 discounted, 原因在于此时状态无法像 tabular case 那样易于区分, 输入只有 reward sequence(and the actions), 并且即使此时确定了求值时间区间, 并且应用了 discounted, 那么结果与 non-discounted 成正比.

Gemini: 你的理解非常到位，尤其是关于“比例关系（proportionality）”的洞察，这正是 Sutton 在书中试图传达的核心观点。为了更严谨地回应你的理解，我们可以把这个问题拆解为三个层面：

状态区分能力的丧失（The Loss of State Identity）,在 Tabular Case（查表法）中，每一个状态 $s$ 都有自己独立的“身份证”。我们可以清晰地定义 $V(s)$，并追求在每一个特定的 $s$ 下最大化折扣回报。但在 Approximate Case（近似法）中，我们使用特征向量 $x(s)$。正如你所说，如果特征提取做得不好，或者为了泛化（Generalization），不同的状态可能对应相同或相似的特征。
- 极端情况：如果所有状态的特征都一样，智能体眼中就没有“我在哪”的概念，它面对的只是一个单纯的、无始无终的 Reward Sequence。
- 在这种情况下，你无法针对“某个状态”去优化，你只能针对“整个系统表现”去优化。
核心矛盾：折扣回报在持续任务中的“无效性”, 这是你提到的“正比关系”的数学根源。在持续性任务中，如果我们想评估一个策略 $\pi$ 的优劣，最自然的想法是看它在所有时间步上的平均表现。假设我们决定用“折扣回报”来评估。因为没有起始点，我们必须计算所有时间步 $t$ 的折扣回报 $G_t$ 的平均值： $\text{Performance} = \lim_{h \to \infty} \frac{1}{h} \sum_{t=1}^h \mathbb{E}[G_t]$ 其中 $G_t = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + \dots$; 严谨的数学推导会发现：如果我们交换求和顺序（在稳态下），这个平均折扣回报的值恰好等于：$\frac{r(\pi)}{1 - \gamma}$

Note: The t-th reward will appear undiscounted in the t-1 st return, 即 $G_{t-1} = R_{t} + \cdots, G_{t-2} = R_{t-1} + \gamma R_{t} + \cdots$,

Q: The discounting parameter $\gamma$ changes from a problem parameter to a solution method parameter! 什么意思?

Gemini: 感性理解：这时候 $\gamma$ 的身份变了。它不再代表你“对未来的主观偏好”，而是变成了一个调参工具（就像学习率 $\alpha$ 一样）。你用它只是为了让算法能跑通，它不再反映问题的本质。

在有限/回合制任务中：$\gamma$ 是问题本身的一部分。它定义了你有多贪婪。比如 $\gamma=0.9$ 表示你真的只在乎近期收益，这是你（作为设计者）给智能体下的指令。
在持续性近似任务中：如前所述，真正的目标是平均奖励 $r(\pi)$。但由于我们习惯了传统的算法（比如原本为折扣任务设计的 SARSA 或 Q-learning），我们还是随手放一个 $\gamma < 1$ 进去，目的是为了让数学计算不至于发散（让无穷和变成有限值）。

Q: Unfortunately, discounting algorithms with function approximation do not optimize discounted value over the on-policy distribution, and thus are not guaranteed to optimize average reward. 怎么理解?

ChatGPT: 这句话在说：用函数逼近（function approximation）时，很多“折扣式（discounted）”强化学习算法，实际在训练时优化的目标，并不是“在当前策略会访问到的状态分布（on-policy distribution）下的折扣价值”。拆开解释几个关键词：

discounted value（折扣价值）指 $V_\gamma^\pi(s)=\mathbb{E}\pi[\sum{t\ge 0}\gamma^t r_t \mid s_0=s]$ 或相应的 $Q_\gamma^\pi$。
on-policy distribution（在策略分布）指在当前策略 $\pi$ 下，智能体长期运行时“实际会遇到哪些状态、各状态出现的频率”，常记作 $d^\pi(s)$（折扣情形也有 $d_\gamma^\pi$ 之类的占用分布）。
“优化 discounted value over the on-policy distribution”是什么意思, 理想上，如果你说“我要学好 $V_\gamma^\pi$”，通常是指：让近似函数 $\hat V(s;w)$ 在策略实际会遇到的状态上尽量接近真实 $V_\gamma^\pi(s)$，比如最直接的目标像 $\min_w \; \mathbb{E}_{s\sim d^\pi}\Big[(\hat V(s;w)-V_\gamma^\pi(s))^2\Big].$ 也就是：在 on-policy 状态分布加权下的误差最小。
为什么“很多折扣算法 + 函数逼近”做不到这一点, 因为像 TD(0)、TD(λ)、actor-critic 等常用方法，在函数逼近下通常是在解一个投影后的贝尔曼方程、或者在优化某个“半梯度（semi-gradient）”目标。结果是：它们收敛（若收敛）到的点一般对应于某种加权投影的固定点，而不是上面那个“在 on-policy 分布下把 $V_\gamma^\pi$ 拟合得最好”的最小二乘解。换句话说：优化目标不等价。
这和“不能保证优化 average reward（平均回报）”的关系, 文段想表达：有人在平均回报（average reward）问题里，为了方便仍然用折扣 $\gamma$ 的算法当“求解方法参数”。但如果你的折扣算法在函数逼近下连“on-policy 分布下的折扣价值”都不是真正在优化，那么它更谈不上有理论保证能把策略往“平均回报最优”方向推。

Q: “Differential semi-gradient n-step Sarsa for estimating” average-reward estimate 更新计算依据是什么?

Gemini: 在平均奖励（Average-Reward）设定下，算法不再使用折扣因子 $\gamma$，而是通过维护一个对长期平均奖励的估计值 $\bar{R}$，并计算差分回报（Differential Return）来更新参数。观察你提供的 $n$-step Sarsa 伪代码，平均奖励估计 $\bar{R}$ 的更新计算依据可以从以下几个逻辑层次来理解：

核心更新公式, 代码中的更新式为： $\bar{R} \leftarrow \bar{R} + \beta \delta$, 其中 $\delta$ 是 $n$ 步差分 TD 误差（$n$-step Differential TD Error）： $\delta \leftarrow \underbrace{\sum_{i=\tau+1}^{\tau+n} (R_i - \bar{R}) + \hat{q}(S_{\tau+n}, A_{\tau+n}, \mathbf{w})}_{\text{Target (目标值)}} - \underbrace{\hat{q}(S_{\tau}, A_{\tau}, \mathbf{w})}_{\text{Estimate (当前估计)}}$
更新的直观依据：利用 TD 误差进行自适应调节, $\bar{R}$ 的更新逻辑非常巧妙：它利用了价值函数的误差（TD error）来反向修正平均奖励的估计。

如果 $\bar{R}$ 估小了：那么在公式 $\sum (R_i - \bar{R})$ 中，减去的 $\bar{R}$ 较少，得到的差分奖励就偏大。这会导致 TD 误差 $\delta$ 在期望上变为正值。通过 $\bar{R} \leftarrow \bar{R} + \beta \delta$，$\bar{R}$ 会被向上修正。
如果 $\bar{R}$ 估大了：实际观测到的奖励 $R_i$ 减去 $\bar{R}$ 后会得到较小的差分奖励，导致 $\delta$ 在期望上变为负值。通过更新，$\bar{R}$ 会被向下修正。

结论：$\bar{R}$ 的更新依据是“当前策略下，实际观测到的奖励序列与当前平均奖励估计值之间的偏差”。

数学依据：差分贝尔曼方程 (Differential Bellman Equation),在平均奖励设定中，状态价值 $q_\pi(s, a)$ 定义为相对于平均奖励的偏移量（即：在这个状态下出发，长期来看能比平均水平多拿多少奖励）。其贝尔曼方程为： $q_\pi(s, a) = E_\pi [R_{t+1} - r(\pi) + q_\pi(S_{t+1}, A_{t+1})]$ 整理一下可以得到： $r(\pi) = E_\pi [R_{t+1} + q_\pi(S_{t+1}, A_{t+1}) - q_\pi(s, a)]$

这说明：真实的平均奖励 $r(\pi)$ 等于“即时奖励 + 价值的变化量”的期望。代码中的 $\delta$ 恰恰就是这个公式的样本估计版本。当算法收敛时，$E[\delta] = 0$，此时 $\bar{R}$ 刚好等于该策略下的真实平均奖励 $r(\pi)$。

与 $w$ 更新的关系（双时间尺度）你会发现 $\bar{R}$ 和 $\mathbf{w}$ 是同时更新的：
- $\bar{R}$ 趋向于使得 $\delta$ 的均值为 0。
- $\mathbf{w}$ 趋向于通过调整价值函数的曲线，使得 $\delta$ 在每个状态下都尽可能小。

这种更新方式通常被称为双时间尺度（Two-time-scale）算法。为了保证收敛，通常要求 $\beta$（平均奖励的步长）比 $\alpha$（价值函数的步长）小，或者两者保持特定的比例，使得平均奖励的估计能够平滑地跟随策略的变化。

总结: $\bar{R}$ 的更新依据是 TD 误差 $\delta$。它背后的逻辑是：如果我们的价值函数 $\hat{q}$ 相对稳定，那么任何持续存在的 TD 误差都说明我们对“系统平均奖励水平”的估计偏高或偏低了，必须据此进行修正。

13 Policy Gradient Methods

Q: Monte-Carlo Policy-Gradient Control 中 $\nabla_\theta \ln \pi(A_t

S_t,\theta)$ 如何计算?

ChatGPT: 红框里的 $\nabla_\theta \ln \pi(A_t

S_t,\theta)$ 就是“对策略参数 $\theta$ 的对数概率梯度（score function）”。实际运行时的求法取决于你用什么形式参数化策略 $\pi(\cdot

s,\theta)$。工程上通常直接交给自动微分框架（PyTorch/TF）算；理论上它有闭式形式。

通用做法（最常见）：自动微分; 把策略网络输出一个分布 $ \pi_\theta(\cdot

s)$，采样得到动作 $a_t$。然后计算 $\log \pi_\theta(a_t

s_t)$; 对 $\theta$ 反传即可得到 $\nabla_\theta \log \pi_\theta(a_t

s_t)$。 PyTorch 示例（离散动作，Categorical）：

dist = torch.distributions.Categorical(logits=policy_net(s))  # πθ(.|s)
a = dist.sample()
logp = dist.log_prob(a)   # log π(a|s,θ)

loss = -(G_t * logp)      # REINFORCE 是最大化，所以损失取负号
loss.backward()           # 自动得到 ∇θ log π(a|s,θ) 并乘上 G_t
optimizer.step()

手推闭式：离散 softmax 策略（理解用）; 若

\[\pi_\theta(a|s)=\frac{e^{h_\theta(s,a)}}{\sum_{a'} e^{h_\theta(s,a')}}\]

则

$\nabla_\theta \log \pi_\theta(a_t|s_t) = \nabla_\theta h_\theta(s_t,a_t) -\sum_{a'}\pi_\theta(a'|s_t)\nabla_\theta h_\theta(s_t,a')$ 如果 $h_\theta(s,a)=\theta^\top \phi(s,a)$（线性特征），那么 $\nabla_\theta \log \pi_\theta(a_t|s_t) = \phi(s_t,a_t)-\sum_{a'}\pi_\theta(a'|s_t)\phi(s_t,a')$

盏一: 这里 $\nabla_\theta \ln \pi(A_t

S_t,\theta)$ 中 $\theta \ln \pi(A_t

S_t,\theta)$ 就类似 Gpipe 这篇文章的 $J(w,b)$, 参数 $\theta$ 对应着 $w, b$; $A_t, S_t$ 对应着 $x, y$.

Note: performance gradient, 忽然对这个词有点陌生; performance 对应着 13.4 定义的 Loss, performance gradient 类似该 Loss 对 $\theta$ 的梯度.

Q: However, as a Monte Carlo method REINFORCE may be of high variance and thus produce slow learning. 简单解释下为什么方差较高?

ChatGPT: REINFORCE 方差高的根本原因：它用一次（或少数几次）完整轨迹的随机回报 $G_t$ 来估计期望梯度，而这个估计既受“动作随机性”影响，也受“环境随机性 + 长期回报累积”影响，噪声很大。更具体地说：

1) 用采样回报替代真实期望真实的策略梯度是

\[\nabla J(\theta)=\mathbb E\big[\,G_t \nabla_\theta \log \pi_\theta(a_t|s_t)\,\big]\]

REINFORCE 用单条轨迹上的 $G_t$ 做无偏估计，但 $G_t$ 本身波动很大，所以估计的梯度也随之大幅波动（无偏 ≠ 低方差）。盏一: 无偏我记得完整说法若随机变量 X 是 Y 的无偏估计, 那么 E[X] = Y 真实值, 但并不意味着 X 方差较低.

2) $G_t$ 是“长和式”，方差随时间积累

\[G_t=\sum_{k=t+1}^{T}\gamma^{k-t-1}R_k\]

它把很多步的随机奖励加在一起；越长的 episode、奖励越稀疏或越随机，$G_t$ 的波动通常越大，导致梯度更新忽大忽小。

3) “信用分配”粗糙：把未来所有随机性都归因于当前动作 ; 更新项是 $G_t \nabla \log \pi(a_t

s_t)$。但 $G_t$ 里包含大量与 $a_t$ 关系不大的随机因素（后续状态转移噪声、后续动作采样噪声等），这些都会被乘进来，让当前动作的梯度估计噪声很大。

4) 稀疏/延迟奖励会放大问题; 如果大多数时间奖励为 0，偶尔很大（成功/失败），那么大多数轨迹给出“几乎没信号”，少数轨迹给出“巨大信号”，梯度估计的方差就特别高，学习就慢且不稳定。

（这也是为什么常用 baseline/advantage（如减去 $V(s_t)$）、actor-critic、GAE 等方法来显著降方差。）

Q: 设 $\hat g \;=\; (G_t-b(S_t))\,X,\qquad X:=\nabla_\theta \log \pi_\theta(A_t

S_t), g = G_t X$, 这里 $G_t, S_t, A_t$ 都是随机变量, 所以 $\hat g, g$ 也是个随机变量; “leaves the expected value of the update unchanged” 是指 $E[g] = E[\hat g]$, 帮我简单推导下; “reduce the variance “ 是指 $\Var(\hat g) < \Var(g)$ 也帮我简单推导下.

Gemini: 这两个结论是强化学习中策略梯度定理（Policy Gradient Theorem）引入 Baseline 的核心理论支撑。为了推导方便，我们先记 $X = \nabla_\theta \log \pi_\theta(A_t

S_t)$。

期望不变性推导：$E[\hat g] = E[g]$, 我们要证明引入 baseline $b(S_t)$ 后，梯度的期望值保持不变，即证明 $E[b(S_t)X] = 0$。证明过程：利用全期望公式（Law of Iterated Expectations），将期望按状态 $S_t$ 进行分解：

\[E[b(S_t) X] = E_{S_t} \big[ E [b(S_t) X | S_t] \big]\]

在给定 $S_t$ 的条件下，$b(S_t)$ 是一个确定的常数，可以提到条件期望外面： $E [b(S_t) X | S_t] = b(S_t) \cdot E[X | S_t]$

现在计算 $E[X | S_t]$，根据定义： $E[X | S_t] = E_{A_t \sim \pi_\theta} [\nabla_\theta \log \pi_\theta(A_t|S_t) | S_t]$ 展开期望（离散形式，连续形式同理）： $E[X | S_t] = \sum_a \pi_\theta(a|S_t) \nabla_\theta \log \pi_\theta(a|S_t)$ 利用对数导数技巧 $\nabla \log f = \frac{\nabla f}{f}$： $E[X | S_t] = \sum_a \pi_\theta(a|S_t) \frac{\nabla_\theta \pi_\theta(a|S_t)}{\pi_\theta(a|S_t)} = \sum_a \nabla_\theta \pi_\theta(a|S_t)$ 将梯度算子提到求和符号外面： $E[X | S_t] = \nabla_\theta \sum_a \pi_\theta(a|S_t)$ 因为概率之和恒等于 1（$\sum_a \pi_\theta(a|S_t) = 1$），而常数的梯度为 0： $E[X | S_t] = \nabla_\theta (1) = 0$

结论：由于 $E[X

S_t]=0$，所以

\[E[b(S_t)X] = E_{S_t}[b(S_t) \cdot 0] = 0\]

因此：$E[\hat g] = E[(G_t - b(S_t))X] = E[G_t X] - E[b(S_t) X] = E[g] - 0 = E[g]$

方差减小推导：$\text{Var}(\hat g) < \text{Var}(g)$, 方差的定义是 $\text{Var}(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2$。既然我们已经证明了 $E[\hat g] = E[g]$，那么比较方差就等同于比较二阶矩 $E[\hat g^2]$ 和 $E[g^2]$（为了简化推导，这里视 $g$ 为标量，若是向量则考虑 $|g|^2$）。我们来看什么样的 $b$ 能让方差最小。令目标函数为 $f(b) = E[\hat g^2] = E[(G_t - b)^2 X^2]$。为了求 $f(b)$ 最小值，对 $b$ 求导并令其为 0： $\begin{align} \frac{d}{db} E[(G_t^2 - 2bG_t + b^2)X^2] &= 0 \\ E[-2 G_t X^2 + 2b X^2] &= 0 \end{align}$ 解得最优的 Baseline 为： $b^* = \frac{E[G_t X^2]}{E[X^2]}$

在实际应用中，通常取 $b(S_t) = V(S_t) \approx E[G_t

S_t]$。虽然这不一定是数学上的绝对最优解（最优解还需考虑 $X^2$），但它极大地减小了 $(G_t - b)$ 的绝对值。简易对比：

\[\begin{align} \text{Var}(g) - \text{Var}(\hat g) &= E[G_t^2 X^2] - E[(G_t - b)^2 X^2] \\ &= E[G_t^2 X^2 - (G_t^2 - 2bG_t + b^2) X^2] \\ &= E[(2bG_t - b^2) X^2] \end{align}\]

只要 $b$ 的取值合适（例如 $b$ 介于 $0$ 和 $2G_t$ 之间，且 $G_t$ 很大），这个差值就会大于 0，从而实现方差缩减。

Note: One-step Actor–Critic (episodic), for estimating 中的 $\gamma^I$ 对应着 REINFORCE: Monte-Carlo Policy-Gradient Control (episodic) for 中的 $\gamma$.

Reinforcement-Learning 学习笔记