系列导言, 本文是作者在学习史济怀老师数学分析教程的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习史济怀老师数学分析教程并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
这里额外插入一下关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的进一步介绍, 参考了一本 1981 年的书籍 Apostol-Mathematical Analysis, 后以 Apostol 来引用这本书. 是的, 我没在现代书籍中找到关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的系统性介绍, 在鲁丁-数学分析原理也是很片段性的介绍, 可能现代分析更看重勒贝格积分吧.
10.2.zy1, 参照着 Apostol 定义 7.1 符号使用, 令
\[\begin{align} \overline{S}(P, f, \alpha) &= \sum_{k} M_k \Delta \alpha_k \\ \underline{S}(P, f, \alpha) &= \sum_{k} m_k \Delta \alpha_k \end{align}\]这里
\[\begin{align} M_k &= \sup\{f(\xi_k) \mid \xi_k \in [x_{k-1}, x_k]\} \\ m_k &= \inf\{f(\xi_k) \mid \xi_k \in [x_{k-1}, x_k]\} \end{align}\]回到在 Tao analysis 黎曼-斯蒂尔杰斯积分定义中, 易证
\[\begin{align} \overline{\int}_I f \mbox{d} \alpha &= \inf\{\overline{S}(P, f, \alpha) \mid \forall P\} \\ \underline{\int}_I f \mbox{d} \alpha &= \sup\{\underline{S}(P, f, \alpha) \mid \forall P\} \end{align}\]10.2.zy2, Apostol 定义在 $\alpha$ 单调递增时与 Tao analysis 黎曼-斯蒂尔杰斯积分定义是等价的.
证明: 由 Apostol 到 Tao: 此时已知 $\forall \epsilon, \exists P, A - \epsilon \lt S(P, f, \alpha) \lt A + \epsilon$ 对于任意 $t_k$ 成立, 即得 $ A - \epsilon \le \underline{S}(P, f, \alpha) \le \overline{S}(P, f, \alpha) \le A + \epsilon $, 即得 $ A - \epsilon \le \underline{\int}_I f \mbox{d} \alpha \le \overline{\int}_I f \mbox{d} \alpha \le A + \epsilon$ 对于任意 $\epsilon$ 成立, 即得 $\underline{\int}_I f \mbox{d} \alpha = \overline{\int}_I f \mbox{d} \alpha = A$.
由 Tao 到 Apostol: 已知 $\underline{\int}_I f \mbox{d} \alpha = \overline{\int}_I f \mbox{d} \alpha = A$, 即 $\forall \epsilon, \exists P_1, P_2, P = P_1 \cup P_2$ 有:
\[A - \epsilon \lt \underline{S}(P_2, f, \alpha) \le \underline{S}(P, f, \alpha) \le \overline{S}(P, f, \alpha) \le \overline{S}(P_1, f, \alpha) \lt A + \epsilon\]此时易知 $\forall t_k, \vert S(P, f, \alpha) - A \vert \lt \epsilon$. 再证 $\forall P’, P \subseteq P’$ 由 $\underline{S}(P, f, \alpha) \le \underline{S}(P’, f, \alpha) \le \overline{S}(P’, f, \alpha) \le \overline{S}(P, f, \alpha)$ 可得 $\forall t_k, \vert S(P’, f, \alpha) - A \vert \lt \epsilon$, 即在 Apostol 定义 7.1 下也是黎曼-斯蒂尔杰斯可积的.
P.S. 之后继续看到了 Apostol 定理 7.6, 我目前也只需要这些.
P.S. 写完往后翻翻才发现 Apostol 在后面讲到了 10.2.zy1, 这么说这本书确实是比较系统地介绍了黎曼-斯蒂尔杰斯积分, 后面有需要再看吧…
例 7, 设连续函数 $\varphi(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上严格递增，并且 $\varphi(0) = 0$，那么必存在连续的反函数 $\varphi^{-1}(y)$，它在 $(0, \varphi(+\infty))$ 上严格递增，并且 $\varphi^{-1}(0) = 0$。对任意 $a > 0$，$0 < b < \varphi(+\infty)$, 求证不等式
\[ab \leq \int_0^a \varphi(x) \, \mbox{d}x + \int_0^b \varphi^{-1}(y) \, \mbox{d}y\]证明: 由 Tao analysis 命题 11.10.6 黎曼-斯蒂尔积分变量替换公式可知
\[\int_0^{\varphi(a)} \varphi^{-1}(y) \, \mbox{d}y = \int_0^a x \mbox{d} \varphi(x)\]再由命题 7.6 黎曼-斯蒂尔分部积分法可得:
\[\begin{align} \int_0^{\varphi(a)} \varphi^{-1}(y) \, \mbox{d}y &= \int_0^a x \mbox{d} \varphi(x) = x\varphi(x) \vert_{0}^a - \int_0^a \varphi(x) \mbox{d} x \\ a \varphi(a) &= \int_0^{\varphi(a)} \varphi^{-1}(y) \, \mbox{d}y + \int_0^a \varphi(x) \mbox{d} x \end{align}\]当 $\varphi(a) \lt b$ 时, 易证 $\int_{\varphi(a)}^b \varphi^{-1}(y) \, \mbox{d}y \gt \int_{\varphi(a)}^b a \, \mbox{d}y = ab - a \varphi(a)$:
\[\begin{align} \int_0^a \varphi(x) \, \mbox{d}x + \int_0^b \varphi^{-1}(y) \, \mbox{d}y &= \int_0^a \varphi(x) \, \mbox{d}x + \int_0^{\varphi(a)} \varphi^{-1}(y) \, \mbox{d}y + \int_{\varphi(a)}^b \varphi^{-1}(y) \, \mbox{d}y \\ &= a \varphi(a) + \int_{\varphi(a)}^b \varphi^{-1}(y) \, \mbox{d}y \gt ab \end{align}\]当 $\varphi(a) = b$ 时结论易证. 当 $\varphi(a) \gt b$ 时, 同上处理.
P.S. 这个是史济怀数学分析教程第 7 章积分学的应用例 7, 史老师当时是通过图形来解决的, 我一直想找到该题分析解法, 因为由该例题可以推出一系列著名的不等式, 该题本身也被称为 Young 不等式. 但当时能力不足有心无力失败告终, 但现在! 我掌握了黎曼-斯蒂尔杰斯积分! 终于可以攻克她啦!
