系列导言, 本文是作者在学习史济怀老师数学分析教程的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习史济怀老师数学分析教程并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
定理 10.3.1. 这里 $\inf f(\xi_i, J_j)$ 是 $\inf { f(\xi_i, y_j) \mid \forall y_j \in J_j }$ 的表示, 固定 $\xi_i$, 易证 $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \inf f(\xi_i, J_j) \Delta x_i \Delta y_j$ 是集合 ${ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} f(\xi_i, \eta_j) \Delta x_i \Delta y_j \mid \eta_j \in J_j }$ 的下确界. 所以可得 $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \inf f(\xi_i, J_j) \Delta x_i \Delta y_j \ge A - \epsilon$.
P.S. 根据 Tao analysis ii 命题 19.4.1 易证若 f 在闭矩形 I 上可积, 则 f 在 I 也是勒贝格绝对可积的, 且勒贝格积分等于其黎曼积分.
P.S. 所以定理 10.3.1 我本来想用 勒贝格积分富比尼定理 来证, 但这样的话我们最多能证出来 $\varphi(x)$ 是勒贝格绝对可积的, 而勒贝格绝对可积并不意味着黎曼可积…
10.3.zy1, 非负函数 f 在区间 I/闭矩形 I 上可积且积分为 0, 求证 f 几乎处处为 0.
证明: 黎曼可积意味着勒贝格绝对可积, 见 Tao analysis ii 命题 19.4.1/命题 19.2.6 可得结论.
P.S. 零测集对应着外侧度为 0 的集合即勒贝格测度为 0 的集合.
P.S. 忽然想到一个问题若 I 不是零测集, 则 I 是否一定包含一个区间子集或者矩形子集? 查了一下, 答案是不一定.
定理 10.3.2, 我好奇的是为啥 “对每一个 $x \in [a, b], f(x, \cdot)$ 可积” 还要作为条件给出, 这难道不是定理 10.3.1 结论么? 在定理 10.3.1 中 $\varphi(x) \le \psi(x), \forall x$ 成立且 $\int_a^b \psi(x) - \varphi(x) = 0$ 由 10.3.zy1 可知 $\psi(x)$ 几乎处处等于 $\varphi(x)$, 令 $h(x) = \int_c^d f(x,y)\mbox{d}y$, 则可知 $h(x)$ 在 $[a, b]$ 上几乎处处有定义且其值等于 $\varphi(x)$, 即 $h(x), \varphi(x)$ 几乎处处相等, 即 ${x \in [a, b] \mid \varphi(x) \ne h(x)}$ 为零测集, 但不是零面积集, 由定理 10.2.3 下面的备注可知此时我们无法推出 $\int_a^b \varphi(x) = \int_a^b h(x)$, 所以 “对每一个 $x \in [a, b], f(x, \cdot)$ 可积” 条件是必要的.
P.S. 再次对比勒贝格积分, 由 Tao analysis 命题 19.2.6 可知若 ${x \in [a, b] \mid \varphi(x) \ne h(x)}$ 为零测集, 则其勒贝格积分相同. 对应着定理 10.2.4 可知对于黎曼积分而言, 需要把条件要求到零面积集.
定理 10.3.4, Minkowski 不等式; 略作补充
- 求证 g(x) 连续.
证明: 直接用连续的定义证 $\forall \epsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0, \forall x, \vert x - x_0 \vert \lt \delta, \vert g(x) - g(x_0) \vert \lt \epsilon$, 这里 $\vert g(x) - g(x_0) \vert = \vert \int_c^d (f(x, y) - f(x_0, y)) \mbox{d}y \vert \le \int_c^d \vert f(x, y) - f(x_0, y) \vert \mbox{d} y$. 而 f 是连续的, 所以存在某个 $\epsilon_0, \delta_0$ 对使得 $\int_c^d \vert f(x, y) - f(x_0, y) \vert \mbox{d} y \le \epsilon_0(d-c)$ 的.
- 话说 $\int_a^b (\int_c^d f^p(x,y) \mbox{d} y)^{1/p} \mbox{d} x, \int_c^d (\int_a^b f^p(x,y) \mbox{d} x)^{1/p} \mbox{d} y$ 是啥关系?
解: p = 1 时就是普通的积分顺序交换, p > 1 时没啥关系, 随便举几个例子就可以.
10.3.zy1, 集合 B 的边界 $\partial B$ 是闭集
证明: 根据推论 8.3.1 对于 $\partial B$ 中任意收敛序列 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$, 易证 $x_0$ 不可能是 B 的内点/外点, 即只能是 B 的边界点.
定理 10.4.4, 易证若 B 是有面积的, 则 B 的面积就是其勒贝格测度, 即 B 是可测的.
P.S. 这里面积也是我们传统几何中所说的面积. 从 Tao 勒贝格测度内容可以看到, 我们先定义了开盒子的面积, 在此基础上定义了可测集, 以及可测集的测度; 之后在此基础上定义了勒贝格积分. 之后回到几何中, 我们将几何图形的面积定义为几何图形对应点集的勒贝格测度. 这段描述是我对 “先有矩形面积再有积分” 还是 “先有积分再有矩形面积” 的理解, 如上我个人认为先有积分再有面积.
P.S. 圆心在原点, 半径为 r 的圆的面积为可以用定理 10.5.1, 此时 $y_1(x) = -\sqrt{r^2 - x^2}, y_2(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$ 圆面积为 $\int_{-r}^r \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} 1 \mbox{d}x = 2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2} \mbox{d}x$.
10.3.zy2 积分必须在有面积的集合上进行.
解: 关于这句话我本来以为是个定理, 即若某个函数 f 在集合 B 上可积, 则 B 一定有面积. 但实际上不是, 见定理 10.4.1 原文举的例子, 此时 B 是 $[0,1]^2$ 中有理点全体, B 是零测集, 但不是零面积集, 也不是闭集, 且此时 $\partial B = B$, 由定理 10.4.5 B 没有面积, 但 $f_B = 0$ 就是在 B 上可积.
话说回来, 依据定义 10.4.1, 使用 $f = 0$ 作为被积函数, 那么即使 B 不是勒贝格可测集, $\int_B f$ 也是可积的,
定理 10.4.6, 略作补充.
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这里 $D_i$ 不单单指矩形, 可以是任意有面积的点集. 此时 $\mbox{diam}(D_i)$ 的定义见上册定理 8.3.7
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求证 $A = \sum_{i=1}^m \int_{D_i} f \mbox{d}\sigma$
证明: 首先证若 f 在具有面积的点集 B 上可积, D 是 B 的子集, D 也具有面积, 那么 f 在 D 上可积. 由定理 10.4.1, 10.4.5 可证. 再由 10.4.5 可知 $D_i, D_j$ 交集为零面积集, 使用定理 10.4.3 可证 $A = \sum_{i=1}^m \int_{D_i} f \mbox{d}\sigma$
