系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
本章介绍了史济怀老师数学分析教程上册第 9 章多元微积分的学习笔记, 主要是之前应该学习过本书前 8 章, 最后一章第 9 章的学习也算是一次收尾了. 其次是 Lax 老师线代第 8 章公式 (45)’ 要求了解多元微积分的泰勒定理, Tao analysis ii 在介绍多元微积分时没有讲过这个. 学完这章之后才发现多元微积分对线代是有前置要求的, 尤其是 Lax 线代第 8 章自伴随矩阵这些.
定理 9.10.2, 就是 Tao 习题 17.3.4. 参见 Tao 定义 13.4.1 连通空间便可从定义推出 B 为空集.
P.S. 区域, 表示连通的开集. 我老是以为区域区域就是一块普普通通的集合.
定理 9.10.4, 略作补充
- $\mathbf{D}^{\alpha}f(a + \theta h) = \mathbf{D}^{\alpha}f(a) + o(1) \quad (h \to 0)$
证明: 这里应该把 $o(1) \quad (h \to 0)$ 视作一个整体, 视作某个函数 F 且满足 $\lim_{h \to 0} \frac{F}{1} = 0$. 易证 $\mathbf{D}^{\alpha}f(a + \theta h) - \mathbf{D}^{\alpha}f(a)$ 就是符合这样要求的 F.
- $\frac{\mathbf{D}^{\alpha} f(a + \theta h)}{\alpha !} h^{\alpha} = \frac{\mathbf{D}^{\alpha} f(a)}{\alpha !} h^{\alpha} + o(h^{\alpha}) \quad (h \to 0)$
证明: 和上面一样, 只要证明 $F = \frac{\mathbf{D}^{\alpha} f(a + \theta h)}{\alpha !} h^{\alpha} - \frac{\mathbf{D}^{\alpha} f(a)}{\alpha !} h^{\alpha}$ 具有 $\lim_{h \to 0}\frac{F}{h^{\alpha}} = 0$ 的性质即可.
P.S. 我觉得应该把 $o(1) \quad (h \to 0)$ 括起来, 其本来就是视作一个整体的.
- $\vert h_1\vert ^{a_1} \cdots \vert h_n\vert ^{a_n} \leq \lVert h \rVert ^{a_1 + \cdots + a_n}$
证明: 别忘了 $\vert h_i \vert \le \lVert h \rVert$ 即可.
- 关于 (9) 式这里加一些细节.
首先证 $o(h^{\alpha}) \quad h \to 0 \subseteq o(\lVert h \rVert^m) \quad h \to 0$, 别忘了这俩表示的是集合. 即证若 $\lim_{h \to 0} \frac{f}{h^{\alpha}} = 0$ 那么有 $\lim_{h \to 0} \frac{f}{\lVert h \rVert^m} = 0$, 这个是易证的.
其次证 $o(\lVert h \rVert^m) \quad h \to 0 + o(\lVert h \rVert^m) \quad h \to 0 = o(\lVert h \rVert^m) \quad h \to 0$, 即证 $f, g \in o(\lVert h \rVert^m) \quad h \to 0$ 那么 $f+g \in o(\lVert h \rVert^m) \quad h \to 0$. 这个也是很显然的. 即 $\sum_{\vert \alpha \vert = m} o(\lVert h \rVert^m) = o(\lVert h \rVert^m)$.
至此 (9) 式一些细节就清楚了.
P.S. 至此算是解释了为啥 Lax 线性代数及其应用第 8 章公式 (45)’ 的来源了.
定理 9.10.5, 这里 $\varphi(t) = \sum_{i=1}^m u_i f_i(t), f = (f_1, \cdots, f_m)$ 这样表示比内积表示清晰多了.
定理 9.10.6, 这里 $\lVert Jf(\xi) \rVert$ 表示 Lax 老师在第 7 章定理 13(i) 引入的矩阵范数: $\lVert Ax \rVert \le \lVert A \rVert \lVert x \rVert$.
定理 9.11.2 用 Lax 线代第 8 章自伴随相关矩阵证明非常方便.
证明: 必要性: 此时 A 为自伴随矩阵, 即 $A = M^* Q M, M^* M = I$, Q 为对角线为 A 特征值的对角矩阵. 由 Lax 第 8 章定理 1(b) 惯性律可知在 A 严格正定时, Q 对角线元素全为正数. 结合 $\det A = \det Q$ 可得. 另外易证各阶顺序主子式依次等于 Q 的 各阶顺序主子式.
充分性: 同理易证. 核心在于在 $A = M^* Q M$ 中, 令 $A_{jj}$ 为 A 前 i 行, i 列组成的矩阵, 此时 $A_{jj} = M_{jj}^* Q_{jj} M_{jj}$.
定理 9.11.4: 同上易证. 不定矩阵即意味着 $p_+ \gt 0, p_- \gt 0$, 在二阶矩阵情况下这意味着 $p_+ = p_- = 1$, 即 $\det A \lt 0$. 这里 $p_+, p_-$ 为 Q 对角线正项/负项元素个数.
定理 9.11.5, 解释下 $f(x_0 + \epsilon p) \lt f(x_0) \lt f(x_0 + \epsilon q)$, 令 $k = \frac{1}{2}p^T Hf(x_0) p \lt 0, g \in o(1) \quad \epsilon p \to 0$, 所以存在 0 处的一个邻域使得 $\vert g \vert \lt \vert k \vert$ 即此时 $k + g \lt 0$.
同理令 $k = \frac{1}{2}q^T Hf(x_0) q, k \gt 0$, 存在 0 处的一个邻域使得 $\vert g \vert \lt \vert k \vert$ 即此时 $k + g \gt 0$.
定理 9.12.1’, 话说 $\det J_y \Phi(z_0) \ne 0$ 这条条件我没看到定理 9.12.1 有过这个意思… 我只能理解是额外加入的, 如果某个现实问题抽象出来之后不满足这个条件那就不能使用这个定理了.
