系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
本章介绍了史济怀老师数学分析教程上册第 9 章多元微积分的学习笔记, 主要是之前应该学习过本书前 8 章, 最后一章第 9 章的学习也算是一次收尾了. 其次是 Lax 老师线代第 8 章公式 (45)’ 要求了解多元微积分的泰勒定理, Tao analysis ii 在介绍多元微积分时没有讲过这个. 学完这章之后才发现多元微积分对线代是有前置要求的, 尤其是 Lax 线代第 8 章自伴随矩阵这些.
正则映射, 解对初始数据的连续依赖性. 这个背景是我们根据某一现实问题列出了一大坨方程, 现在准备输入到计算机求解, 但计算机 float/double 都是近似值, 即计算机求解出的 $x_1’, \cdots, x_n’$ 是 $y_1’, \cdots, y_n’$ 对应的结果, 这里 $y_1’, \cdots, y_n’$ 是计算机对实际 $y_1, \cdots, y_n$ 的近似. 这里依赖性保证了计算机求解出的 $x_1’, \cdots, x_n’$ 离真正的 $x_1, \cdots, x_n$ 差距不会太离谱.
第 8 章习题 7, 这里补充一下该习题的作答. 即已知 $\forall \epsilon_f, \exists \delta_f, \lVert (x, y) - (x_0, y_0) \rVert \lt \delta_f, \vert f(x, y) - a \vert \lt \epsilon_f$ 以及 $\forall \epsilon_y \gt 0, \exists \delta_y, \vert x - x_0 \vert \lt \delta_y, \vert h(y) - f(x, y) \vert \lt \epsilon_y$ 求证 $\forall \epsilon_h, \exists \delta_h, \vert y - y_0 \vert \lt \delta_h, \vert h(y) - a \vert \lt \epsilon_h$.
令 $\epsilon_f = \frac{\epsilon_h}{2}$ 可知此时存在 $\delta_f$, 由 9.7.1.zy1 相关讨论可知可令 $ \vert x - x_0 \vert \lt \frac{\delta_f}{\sqrt{2}}, \vert y - y_0 \vert \lt \frac{\delta_f}{\sqrt{2}} = \delta_h$. 此时 $\forall y’, \vert y’ - y_0 \vert \lt \delta_h$, 令 $\epsilon_{y’} = \frac{\epsilon_h}{2}$ 并且 $\vert x - x_0 \vert \lt \min(\delta_{y’}, \frac{\delta_f}{\sqrt{2}})$ 易证 $\vert h(y’) - a \vert \le \vert h(y’) - f(x, y’) \vert + \vert f(x, y’) - a \vert \lt \epsilon_h$.
P.S. 公式 $\lim\limits_{\substack{x \to x_0 \ y \to y_0}} f(x,y) = a$ 等同于 $\lim\limits_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = a$, 我还以为表示着累次极限呢==
P.S. 最初看第 8 章时我误以为这题没啥价值跳过了..
定理 9.9.1, 与 Tao 老师定理 17.5.4 克莱罗定理相比, 史老师定理 9.9.1 只要求函数在单个点上二次连续, 克莱罗定理要求在一个开集二次连续. 这里补充下相关细节.
- $\varphi(h, k)$ 的定义域
解: 这里 $(h, k) \in B((0, 0), r), (h, k) \ne (0, 0)$ 这里 r 使得 $(x_0 + h, y_0 + k)$ 属于原文指定的 $(x_0, y_0)$ 的邻域.
- 9.9.1.zy1, $g(x) = f(x, y_0 + k) - f(x, y_0)$,
解: 此时 $g’(x) = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y_0 + k) - \frac{\partial f}{\partial x}(x, y_0)$ 这里 $y_0, h$ 都视为常数. 易证其在 $[x_0, x_0 + h]$ 上连续且可导所以可用微分中值定理.
不开玩笑, 设 $h(x) = f(x, y_0), y_0$ 是个常数, 则 $h’(x) = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y_0)$ 是让我懵一会的. 这里证一下:
\[\begin{align} h'(x_0) &= \lim_{t \to 0} \frac{h(x_0 + t) - h(x_0)}{t} \\ &= \lim_{t \to 0} \frac{f((x_0, y_0) + te_1) - f(x_0, y_0)}{t} \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \end{align}\]- $\left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0 + \theta_1 h, y_0 + k) - \frac{\partial f}{\partial x}(x_0 + \theta_1 h, y_0) \right) h = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (x_0 + \theta_1 h, y_0 + \theta_2 k) hk.$
证明: 令 $l(y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0 + \theta_1 h, y_0 + y)$ 参考 9.9.1.zy1 可证.
- $\lim\limits_{\substack{h \to 0 \ k \to 0}} \frac{\varphi(h, k)}{hk} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (x_0, y_0).$
证明: 由上已知 $\frac{\varphi(h, k)}{hk} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x_0 + \theta_1 h, y_0 + \theta_2 k), H(h, k) = (x_0 + \theta_1 h, y_0 + \theta_2 k)$ 可得 $\frac{\varphi(h, k)}{hk} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \circ H$. 这里 $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, H$ 都是连续的. 所以 $\lim\limits_{\substack{h \to 0 \ k \to 0}} \frac{\varphi(h, k)}{hk} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(H(0,0))$.
例 5, 后面有用到, 这里补充下细节. 令 $H(t) = (x + th, y + th)$, 则 $\varphi = f \circ H$, 利用复合求导法则即可. 这里微分算子组成了微分算子交换环, 可用代数学基础定理 2.28 二项式定理进行展开.
