系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
本章介绍了史济怀老师数学分析教程上册第 9 章多元微积分的学习笔记, 主要是之前应该学习过本书前 8 章, 最后一章第 9 章的学习也算是一次收尾了. 其次是 Lax 老师线代第 8 章公式 (45)’ 要求了解多元微积分的泰勒定理, Tao analysis ii 在介绍多元微积分时没有讲过这个. 学完这章之后才发现多元微积分对线代是有前置要求的, 尤其是 Lax 线代第 8 章自伴随矩阵这些.
9.6 史老师在隐函数定理中指出 $f \in C^1$, 即隐函数 f 是连续可微的. Tao 老师是没有明确指出来的, 但证明很简单, 由 Tao 公式 17.1 可知 $\frac{\partial g}{\partial x_j}$ 是两个连续函数的比, 意味着 $\frac{\partial g}{\partial x_j}$ 是连续的, 由定义 17.5.1 意味着 g 是连续可微的.
P.S. 定理 9.6.2 结论 (1) 就等同于 Tao 定理 17.8.1 ${x\in V, f(x) = 0} = {(y, g(y)), y \in U}$. 此时 $V = G \times J, {F(x, y) = 0 \mid (x, y) \in V} = {(x, f(x)) \mid x \in G}$.
P.S. 我感觉史老师这里定理的描述比 Tao 老师更清晰一点, 这种描述可以很自然扩展到下一章隐映射情况.
定理 9.7.1 隐映射定理, 这里对证明过程略作补充
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为什么可以把 $D_1$ 当作 D . 这个依赖了 17.7.2.zy240514.3, 行列式函数是连续这一性质.
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公式 (5) $\frac{\partial F_m}{\partial y_m}(x_0, y_0) \ne 0$ 进一步解释.
解: $\det J_y F(x_0, y_0) \ne 0$ 意味着矩阵 $J_y F(x_0, y_0)$ 任意一列都不可能全部为 0. 即 $\exists i, \frac{\partial F_i}{\partial y_m}(x_0, y_0) \ne 0$, 若 $\frac{\partial F_m}{\partial y_m}(x_0, y_0) = 0$, 则我们在 (1) 交换下 $F_i, F_m$ 可以得到一个完全一致的方程组且该新方程组中 $\frac{\partial F_m}{\partial y_m}(x_0, y_0) \ne 0$, 注意这里的 m 即原来的 i.
- 9.7.1.zy1 $\exists G_n \times G_{m-1}, \forall (x, u) \in \exists G_n \times G_{m-1}$ 都有性质 (i) 成立.
解: 根据定理 9.6.2 此时是存在一个 $(x_0, y_0)$ 的邻域 $G’, \forall (x, u) \in G’$ 都有性质 1, 为何这里可以将 $G’$ 分解为 $G_n \times G_{m-1}$ 呢? 此时已知总 $\exists r, B((x_0, u_0), r) \subseteq G’, d((x,u), (x_0,u_0)) \lt r$ 即 $\lVert x - x_0 \rVert^2 + \lVert x - x_0 \rVert^2 \lt r^2$. 令 $G_n = B(x_0, \frac{r}{\sqrt{2}}), G_{m-1} = B(u_0, \frac{r}{\sqrt{2}})$ 易证 $G_n \times G_{m-1} \subseteq G’$.
- $\Phi \in C^1$.
证明: 这里 $\Phi_i$ 是 $F_i, H(x, u) = (x, u, \varphi(x,u)), \varphi$ 三者的复合. 关于 H 我这里额外说明下, 举个例子 $H(x_1, x_2) = (x_1, x_2, \varphi(x_1, x_2)), H = (H_1, H_2, H_3)$ 此时 $H_1(x_1, x_2) = x_1, H_2(x_1, x_2) = x_2, H_3(x_1, x_2) = \varphi(x_1, x_2)$.
\[JH = \begin{pmatrix} \frac{\partial H_1}{\partial x_1} & \frac{\partial H_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial H_2}{\partial x_1} & \frac{\partial H_2}{\partial x_2} \\ \frac{\partial H_3}{\partial x_1} & \frac{\partial H_3}{\partial x_2} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \frac{\partial \varphi}{\partial x_1} & \frac{\partial \varphi}{\partial x_2} \\ \end{pmatrix}\]此时 $\Phi_i = F_i \circ H, y_0 = H(x_0)$.
\[\begin{align} J \Phi_i(x_0) &= \begin{pmatrix} \frac{\partial F}{\partial x_1}(y_0) & \frac{\partial F}{\partial x_2}(y_0) & \frac{\partial F}{\partial x_3}(y_0) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \frac{\partial \varphi}{\partial x_1}(x_0) & \frac{\partial \varphi}{\partial x_2}(x_0) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{\partial F}{\partial x_1}(y_0) + \frac{\partial F}{\partial x_3}(y_0) \frac{\partial \varphi}{\partial x_1}(x_0) & \frac{\partial F}{\partial x_2}(y_0) + \frac{\partial F}{\partial x_3}(y_0) \frac{\partial \varphi}{\partial x_2}(x_0) \end{pmatrix} \end{align}\]P.S. 这里 H 算是包含 $\varphi$ 的复合么? 如果是这个复合形式该咋写?
P.S. 好像确实没有证过 $f \in C^1, g \in C^1$ 则 $f \circ g \in C^1$, 不过从上面 $J \Phi_i(x_0)$ 的样子很容易证.
P.S. 欲证 $\Phi \in C^1$ 只需要证其所有偏导数存在且连续, 即证所有 $\frac{\partial \Phi_j}{\partial x_i}$ 存在且连续, 由上信息很容易证得.
- 证明公式 (9) 第一个等式
证明了: 利用行列式多线性性质. 另外如下矩阵第一列与最后一列线性相关, 其行列式为 0.
\[\begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \frac{\partial \varphi}{\partial u_1} & \frac{\partial F_1}{\partial y_2} + \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \frac{\partial \varphi}{\partial u_2} & \ldots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \frac{\partial \varphi}{\partial u_1} & \frac{\partial F_m}{\partial y_2} + \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \frac{\partial \varphi}{\partial u_2} & \ldots & \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{pmatrix}\]- 原文证明有个缺陷, 原文这里只证明了 $F(x, f(x)) = 0$, 但未证明 $\forall x_0 \in G, f(x_0)$ 是唯一使得 $F(x_0, f(x_0)) = 0$ 的值, 即不存在 $y_0, F(x_0, y_0) = 0, y_0 \ne f(x_0)$. 用 Tao 老师的话说, 原文仅证明了 ${(x, f(x)) \mid x \in G} \subseteq {F(x, y) = 0 \mid x \in G, y \in H}$
证明: 现在我们来证明 ${F(x, y) = 0 \mid x \in G, y \in H} \subseteq {(x, f(x)) \mid x \in G}$, 假设 $\exists x_0, F(x_0, y_0) = 0, y_0 \ne f(x_0)$ 由 $F_m(x_0, y_{0_1}, \cdots, y_{0_{m-1}}, y_{0_m}) = 0$ 可知 $y_{0_m} = \varphi(x_0, y_{0_1}, \cdots, y_{0_{m-1}})$ 将其代入到 $F_1, \cdots, F_{m-1}$, 则可证 $(y_{0_1}, \cdots, y_{0_{m-1}}) = g(x_0)$, 即 $y_0 = f(x_0)$ 矛盾了.
- F(x, f(x)) 求导.
解: $F(x, f(x)) = F \circ H, H(x) = (x, f(x))$, 参考 $J \Phi_i(x_0)$.
