系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
定理 6, 这里关于多项式根连续依赖系数. 一个正经的描述是: 设复系数多项式 $ f(z) = \sum_{k=0}^{n} a_k z^k $。假定 $ z_1, z_2, \ldots, z_t $ 分别是其 $ s_1, x_2, \ldots, s_t $ 重根。 那么对任意的 $\epsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0$, 只要 $\vert a_k - b_k \vert \lt \delta$ 那么多项式 $g(z) = \sum_{k=0}^{n} b_k z^k$ 的根恰好分布在 $\bigcup_{j=1}^t { z \mid \vert z - z_j \vert \lt \epsilon }$ 内, 且对 $j = 1\cdots t$, g 在 ${ z \mid \vert z - z_j \vert \lt \epsilon }$ 内恰好有 $s_j$ 个根.
P.S. 如果引入豪斯多夫距离的话, 则可以用 Tao analysis 那种基于度量空间上连续语言来描述. 我猜的! 我只是简单 google 了下==
P.S. 这块属于复分析领域知识.. 以后再了解其证明吧.
定理 7, 略作补充
- $p(s,t)$ 连续可微.
解: 从这里可以看到我在做练习 4 的一个猜测: Lax 默认本章所有函数都至少是一阶连续可微的. 在本定理中, 如果 A(t) 不是连续可微, 则我们不能保证 A 的各种偏导数连续, 即不能保证 $\frac{\partial p}{\partial t}$ 是连续的, 即不能推出 $p(s,t)$ 连续可微.
- $\frac{\partial p}{\partial s}(a_0, 0) \ne 0$
证明: 由于这里 $a_0$ 是 p 的单根, 即 $p(s) = (s - a_0) q(s), p’(s) = q(s) + (s - a_0) q’(s)$. 假设 $p’(a_0) = 0 = q(a_0)$, 即意味着 $a_0$ 也是 q(s) 的根, 即与单根条件矛盾.
P.S. 第一次用隐函数定理==
9.6.zy1, 设 0 为矩阵 A 的特征值, $A_{ii}$ 为划去第 i 行, 第 i 列后得到的矩阵, 其行列式不为 0. 则意味着特征值 0 对应的特征向量第 i 个分量不为 0.
证明: 可以以如下 33 矩阵为例, 设 i = 2.
\[\begin{align} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \\ h_3 \\ \end{pmatrix} \\ a_{11} h_1 + a_{12} h_2 + a_{13} h_3 = 0 \\ a_{21} h_1 + a_{22} h_2 + a_{23} h_3 = 0 \\ a_{31} h_1 + a_{32} h_2 + a_{33} h_3 = 0 \end{align}\]假设此时 $h_2$ 为 0, 则由如上方程组可得 $A_{22}(h_1, h_3)^T = 0$, 考虑到 $A_{22}$ 可逆意味着 $h_1 = h_3 = 0$. 与 $h = 0$ 矛盾了.
进一步我们可以假设 $h_2 = 1$, 则由 $A_{22}(h_1, h_3)^T = (-a_{12}, -a_{32})^T$ 可得唯一解 $h_1, h_3$. 我此时好奇的是这里得到的解一定满足 $a_{21} h_1 + a_{22} h_2 + a_{23} h_3 = 0$ 么, 毕竟看上去我们都没有使用过这个等式. 实际上是满足的, 这里 $(h_1, h_3) = A_{22}^{-1} (-a_{12}, -a_{32})$, 其中 $A_{22}^{-1} = \frac{adj(A_{22})}{\det A_{22}}$, 最终可以算出 $h_1 = \frac{C_{21}}{C_{22}}, h_3 = \frac{C_{23}}{C_{22}}$ 即 $a_{21} h_1 + a_{22} h_2 + a_{23} h_3 = \det A$, 此时 A 不可逆其行列式为 0, 所以方程 2 是满足的.
定理 8 证明: 在 $t=t_0$ 点 $A(t_0), a(t_0)$ 满足引理 9, 所以存在 $(A(t_0) - a(t_0) I)_{ii}$ 其行列式不为 0, 此时可以像公式 15 一样定义 $a(t_0)$ 对应特征向量 $h(t_0) = (A(t_0) - a(t_0) I)_{ii}^{-1} c_i(t_0)$, 注意这里 $c_i(t_0)$ 是用 -1 乘以 $A(t_0) - a(t_0) I$ 第 i 列后再划去第 i 个分量.
由 再看反函数定理 17.7.2.zy240514.3 这里可知存在 $t_0$ 一个邻域 B $\forall t \in B, (A(t) - a(t) I)_{ii}$ 可逆, 可以依次定义 $c_i(t)$ 由 9.6.zy1 这里易证 $c_i(t)$ 是 $a(t)$ 特征向量. 且 $c_i(t)$ 对 t 可微.
P.S. 所以这里缺少个条件 $a(t)$ 对 t 可微, 不然无法推出 $c_i(t)$ 对 t 可微. 实际上本节后面还会求取 $a’(t)$.
P.S. 这里原文写的一塌糊涂, 各种错误! 气死偶咧!
引理 10, 这里采用了与第 8 章定理 10 一样的法子来证明维数不超过 k.
定理 11, 原文证明依赖了我不晓得的知识点, 没看懂. 这里在王新茂线代讲义中定理 5.6, 即习题 5.2.1 找了个简单证明:
证明: 令 $A = Q^{-1} J Q, (A - aI)^d = Q^{-1} (J - aI)^d Q$, 令 $B=(J - aI)^d$. 易证 $(A - aI)^d$ 与 B 零空间维数相同. 观察 $J-aI$ 主对角线元素, 易证其有 k 个 0 元素, 其他元素都非 0, 不妨设着 k 个 0 元素全在前 k 行. 根据 矩阵与数值计算 $\mbox{Jordan}^k$ 的公式可知
\[B = \begin{pmatrix} B_k & \\ & C_{n-k} \end{pmatrix}\]这里 $B_k$ 为零矩阵, $C_{n-k}$ 为上三角矩阵其主对线元素都不为 0, 意味着 $\det C_{n-k} \ne 0$ 可逆. 即 B 的秩为 $n-k, \dim N_B + \dim R_B = n$ 可知 $\dim N_B = k$.
P.S. 为啥 Lax 老师要把这个证明搞得这么复杂…
至此, 我们对 Lax 老师线代学习暂告一段落了.
