系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
这里接着定理 12 探索下正规矩阵 N, 一些原文未介绍的性质.
8.3.zy1 $N^* N$ 的特征值总是非负的.
证明: 设 $N^* N f = af$, 此时 f 是本征向量. $(Nf, Nf) = (f, N^* N f) = a(f,f) \ge 0$, 所以易证 $a \ge 0$.
8.3.zy2, 存在酉矩阵 $L, L^* L = I, \lVert Lx \rVert = \lVert x \rVert$. $N = L^* D L$, 其中 D 为 N 特征值组成的对角矩阵.
证明: 由定理 8 可知存在 N 本征向量正交基 $f_1, \cdots, f_n, N f_i = a_i f_i$ 使得 $\forall x, x = \sum_{i=1}^n z_i f_i$ 且此时 $(x, Nx) = \sum_{i=1}^n a_i z_i^2$. 令 $L: X \to \mathbb{C}^n, L(x) = (z_1, \cdots, z_n)$, 易证 L 是线性同构且是酉矩阵. 令 D 为对角矩阵, 对角线取值依此是 $a_1, \cdots, a_n$. 由 $\forall x, (x, Nx) = (z, Dz) = (Lx, D(Lx)) = (x, L^* D L x)$, 即 $N = L^* D L$.
8.3.zy3, N 与 $N^* N$ 可交换.
证明: $(N^* N) N = (N N^*) N = N (N^* N)$.
P.S. 这里条件命中了第 6 章定理 13, 本章定理 6 的前提要求, 促使着我推出下面定理.
8.3.zy4, $N^* N = L^* (D^* D) L$.
证明: $N^* N = (L^* D L)* (L^* D L) = (L^* D^* L) (L^* D L) = L^* (D^* D) L$
P.S. 这里 $D^* D$ 为对角矩阵, 对角线元素依次是 $a_1^2, \cdots, a_n^2$, 易证 $N^* N$ 是个自伴随矩阵, 由定理 4’ 其通过可以酉矩阵对角化, 这促使着我探索下面定理.
8.3.zy5, 若 a 是 N 的特征值, 则 $a^2$ 是 $N^* N$ 的特征值. 反之若 $b$ 是 $N^* N$ 的特征值, 则存在 N 的一个特征值 a, $a^2 = b$.
证明: $Nf = af, (L^* D L) f = af, DLf = L af, D^* DL f = D^* L af$ 可得 $L^* D^* D L f = L^* D^* L af$ 即 $N^* N f = N(af) = a^2 f$.
反过来, 若 $N^* N f = bf, L^* D^* D L f = bf, D^* D L f = b Lf $, 这里 $f\ne 0, L$ 可逆, 所以 $Lf$ 不为 0, 记 $Lf = (v_1, \cdots, v_n)$ 列向量形式. 则 $D^* D L f = (a_1^2 v_1, \cdots, a_n^2 v_n), b Lf = (b v_1, \cdots, b v_n)$ 即 $(a_i^2 - b) v_i = 0$, 考虑到 Lf 不为 0, 则总存在 $v_i \ne 0$, 此时 $a_i^2 = b$.
P.S. 这也意味着 N 的特征值总是实数, 以及从另一个角度验证了 8.3.zy1. 但 N 的特征值是否总是非负, 尚无法进一步探索.
P.S. 由 8.3.zy5 结合本章定理 13 很容易给出定理 12 另外一种证明姿势.
定理 12 证明: $N f_i = a_i f_i, i = 1, \cdots, n, \lVert f_i \rVert = 1$. 已知 $\lVert N \rVert = \max_{\lVert x \rVert = 1} \lVert Nx \rVert$, 即 $\lVert N \rVert^2 \ge (Nf_i, N f_i) = a_i^2$ 可得 $\lVert N \rVert \ge \vert a_i \vert$.
如上 $f_i$ 是标准正交基, $a_{max}$ 为 $\vert a_i \vert$ 最大值. $\lVert Nx \rVert^2 = \sum_{i=1}^n (x_i a_i)^2 \le a_{max}^2 \sum_{i=1}^n x_i^2 = a_{max}^2$ 可得 $\lVert Nx \rVert^2 \le a_{max}, \forall x$, 所以 $\lVert N \rVert \le a_{max}$.
定理 13 证明: 已知 $\lVert A \rVert = \max_{\lVert x \rVert = 1} \lVert Ax \rVert$. 这里 $\lVert Ax \rVert^2 = (Ax, Ax) = (x, A^* Ax) = \frac{(x, A^* Ax)}{(x, x)}$. 所以 $\lVert A \rVert$ 就是 $\frac{(x, A^* Ax)}{(x, x)}$ 最大值的平方根. 由公式 (37)’ 可知, 其这里最大值就是 $A^* A$ 最大的本征值.
P.S. 不知道是不是翻译问题, 原文证明没看懂==
P.S. 这也意味着 $A^* A$ 总是存在非负本征值! 等等好像是所有本征值都非负. 这也是 8.3.zy1.
P.S. 本文定义的矩阵范数业内俗称谱范数.
