系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
7.4.zy1, $\forall A, B \in \mathcal{L}(X, Y)$, 定义 $d(A, B) = \lVert A - B \rVert$, 则 d 是个符合 Tao 定义 12.1.1 中的度量函数.
证明: 这里只证明下 $\forall A \ne B, d(A, B) \gt 0$, 即只需要证 $\forall A \ne 0, \lVert A \rVert \gt 0$, 假设 $\lVert A \rVert = 0$, 则由定理 13(i) 可知 $\lVert Az \rVert = 0, \forall z \in X$, 此时推出 A 为 0, 矛盾了.
练习 7 证明: 先已知 $\lim \lVert A_n - A \rVert = 0$, 求证 $\lim \lVert A_n(x) - A(x) \rVert = 0, \forall x$. 由定理 13, $\forall x_0, \lVert A_n(x_0) - A(x_0) \rVert \le \lVert A_n - A \rVert \lVert x_0 \rVert$, 记 $a_n = \lVert A_n - A \rVert, b_n = \lVert A_n(x_0) - A(x_0) \rVert, 0 \le b_n \le a_n \lVert x_0 \rVert$ 夹逼一下有 $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$.
再已知 $\lim \lVert A_n(x) - A(x) \rVert = 0, \forall x$ 求 $\lim \lVert A_n - A \rVert = 0$. 由 7.3.zy1 可知 $\lVert An - A \rVert^2 \le \sum_{j=1}^n \lVert (An - A)(e_j^X) \rVert^2$ 可知 $\lim \lVert An - A \rVert^2 = 0$ 即 $\lim \lVert An - A \rVert = 0$.
P.S. 这是不是意味着对于序列 $A_n$, 只要对于 $\forall j, e_j^X$ 都有 $\lim A_n(e_j^X) = A(e_j^X)$, 那么对于 $\forall x$ 都有逐点收敛.
P.S. 练习 7 表明了若 $A_n$ 是 $\mathcal{L}(X, Y)$ 依度量 d 收敛的序列, 则 $A_n$ 也逐点收敛. 回想 Tao 在定义 14.4.2 引入的上确界范数度量, 在上确界范数度量下收敛意味着一致收敛.
Page 83, 原文这里复数域上内积定义是不对的, 复数域上内积是不满足双线性的. 具体定义见 wiki-正式定义.
练习 8 复欧几里得空间上的施瓦茨不等式证明: 由内积定义可知 $\forall x, y, a \in \mathbb{C}, (x - ay, x - ay) \ge 0$ 展开可得 $0 \le \lVert x \rVert^2 - 2 \Re{(x, ay)} + \vert a \vert^2 \lVert y \rVert^2$, 用 $a = \frac{(x, y)}{\lVert y \rVert^2}$ 代入此时 $(x, ay) = \overline{a} (x, y) = \frac{\overline{(x, y)}(x,y)}{\lVert y \rVert^2} = \frac{\vert (x,y) \vert^2}{\lVert y \rVert^2}$, 进而可得结论.
酉映射, 注意其定义是等距线性映射. 并不是简简单单的等距映射 M, 至少 M(0) = 0 要满足. 练习 11, 酉映射 A 当且仅当 $A^* A = I$.
练习 12 $M^*$ 也是等距映射, $(Mx, Mx) = (x,x) = (M^* Mx, M^* Mx)$, 令 y = Mx, 则得 $(M^* y , M^* y) = (y , y)$.
P.S 定理 12 未指出实数域上 $M^*$ 也是等距映射. 但由练习 12 证明可知其确实是等距映射.
P.S. “酉” 居然念做 you, 我以为是 jiong=..
复矩阵范数定义, 由陶哲轩 analysis 复数节可知复数域等同于 $R^2$, 其继承了实数完备的性质, 因此这里 7.3.zy2 相关讨论对复数域欧几里得也仍然成立.
谱半径, 对于数域 K 上线性空间 X 到自身的线性映射 A, $r(A) = \max_j \vert a_j \vert$, 这里 $a_j$ 为 A 的特征值.
P.S. 话说回来, 当 K 为实数域/复数域时, 绝对值运算是有明确定义的. 但其他数域呢? 当然也有咯, 见 绝对值
P.S. 这里易证 $r(A^j) = r(A)^j$
练习 17, 18 对于复欧几里得/实欧几里得都成立, 硬算就成.
P.S. 定理 18 的证明在附录 10, 依赖第 8 章, 所以先放着.
向量外积, 原文这里从另外一个角度给出了外积的定义, 可以结合着我们在几何学基础从几何角度给出的外积定义 2.3.3 比对下.
根据定理 5 证明过程, l(z) 对应的 w = (l((1, 0, 0)), l((1, 1, 0)), l((0, 0, 1))); $l((1, 0, 0)) = \det(x, y, (1,0,0)^T)$ 此时硬算便可得到如何用 x,y 的坐标来表示 w 的. 另外 $(w, x) = l(x) = \det(x, y, x) = 0$ 也易证其符合几何学基础定义 2.3.3 以及定理 2.3.6 外积的基本性质.
本文介绍下附录 10 谱半径, 解决上面在第 7 章遗留的问题. P.S. 附录 10 依赖部分第 8 章内容, 最好在第 8 章之后再了解该附录.
练习 1, 上三角矩阵 A 的特征值恰是其对角线元素
证明: 设 a 为 A 的对角线元素, 易证 $\det A - aI = 0$, 即 a 是特征值. 设 a 是 A 的特征值, 意味着 $\det A - aI = 0$, 这里 $A - aI$ 为对角线元素其行列式为对角线元素乘积, 这里行列式为 0 意味着 $A - aI$ 对角线有一个为 0, 即意味着 a 是 A 对角线元素之一.
8.4.zy1, 现有矩阵 A, B; $a_{ij} = c_{ij} b_{ij}, 0 \lt c_{ij} \lt c$, 则 $\lVert A \rVert \le c k$, k 为一个正常数.
证明: 由 7.3.zy1 可知 $\lVert A \rVert \le \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n (c_{ij} b_{ij})^2} \le c \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n b_{ij}^2}$.
$\lim\sup \lVert A^j \rVert^{1/j} \le r(A)$ 证明, 细节补充.
- $\lVert S_{\epsilon} \rVert \le c \epsilon$
证明: 由 8.4.zy1 可得.
P.S. 留着纪念下我一开始的错误路径… $T_{\epsilon} = D_{\epsilon}^{-1} T D_{\epsilon}$, 即 $(D_A + S_{\epsilon}) = D_{\epsilon}^{-1} (D_A + S) D_{\epsilon}$. 由公式 (13) 易证 $D_A = D_{\epsilon}^{-1} (D_A) D_{\epsilon}$ 所以有 $S_{\epsilon} = D_{\epsilon}^{-1} (S) D_{\epsilon}$. 所以有 $\lVert S_{\epsilon} \rVert \le \lVert D_{\epsilon}^{-1} \rVert \lVert S \rVert \lVert D_{\epsilon} \rVert$
由练习 2 可知 $\lVert D_{\epsilon}^{-1} \rVert = \frac{1}{\epsilon^n}, \lVert D_{\epsilon} \rVert = \epsilon$. MD 这条思路是死路..
- $\lVert A^j \rVert \le \lVert A \rVert^j$, 利用 $\lVert AB \rVert \le \lVert A \rVert \lVert B \rVert$ 可证.
