系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
7.2.zy1, 考虑矩阵 $A: R^n \to R^m$, 若 A 是单射, 则 $A^* A: R^n \to R^n$ 可逆.
证明: $A = (c_1, \cdots, c_n), A(x_1, \cdots, x_n)^T = 0 = \sum_i x_i c_i$, 这里 A 是单射, 意味着 $x_i = 0, \forall i$, 即 A 的列向量线性无关. 即 A 的列秩 = n, 所以 $A^*$ 的列秩 = A 的行秩 = n, 所以 $A^*$ 的值域 $R_{A^*} = R^n$, 即 $A^*$ 是满射. 这里这里由 A 是单射也可证 $n \le m$, 见 6.5.zy1.
设 x 满足 $(A^*A) (x) = 0$, 则 $((A^*A) (x), x) = 0 = (Ax, Ax)$, 即 $Ax = 0$ 即 $x = 0$, 即 $(A^*A)$ 是个单射. 考虑到 $\dim N_{A^*A} + \dim R_{A^*A} = n$ 推出了 $\dim R_{A^*A} = n$, 即 $(A^*A)$ 也是个满射.
P.S. 我这里混了矩阵与线性映射的概念…
定理 10, 略作补充.
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由 7.2.zy1 论证了这里 $\forall p$, 方程 25 都有唯一解.
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对于给定的 p, 假设存在 z, 使得 $(Az - p) \in R_A^{\perp}$, 记 $y = Az - p, p = Az + y$ 由定理 6, 8 可知这里 $Az$ 距离 p 最近. 接下来看这样的 z 具有什么特征: $\forall y, (Az - p, Ay) = 0 = (A^*(Az - p), y)$, 则此时 $y’=A^*(Az - p) = 0$, 反证若 $y’ \ne 0$, 则令 $y = y’, (Az - p, Ay) = (y’, y’) \gt 0$ 矛盾了. 则可得方程 25.
定理 11, $P_Y: X \to Y, P_Y^*: Y \to X$, 所以这俩映射怎么可能是相等. 我理解原文 $P_Y = P_Y^*$ 是指 $\forall y \in Y, P_Y(y) = P_Y^*(y)$.
证明: $\forall x \in X, y \in Y, x = x_1 + x_2, x_1 \in Y, x_2 \in Y^{\perp}$ 有 $(P_Y^*(y), x) = (P_Y(x), y) = (x_1, y)$, 考虑到 $(x_2, y) = 0, (x_1, y) = (x, y)$, 即此时有 $(P_Y^*(y), x) = (y, x), \forall x \in X$ 成立. 所以 $P_Y^*(y) = y = P_Y(y)$.
对于任意等距映射 M, 令 $f(x) = x - M(0)$ 则 $fM$ 也是等距映射且 $fM(0) = 0$. 同样对于任意等距映射 M, 令 $M’ = M - M(0), f(x) = x + M(0)$, 则 $M = fM’$.
P.S. 这里意识到平移居然不是线性映射. 书看到这里感觉是个映射都是个线性映射, 但对于平移这么朴素的操作居然不是=.
定理 12, M 是等距映射且 $M(0) = 0$, M 是线性映射.
证明: 在几何学基础中已经论证过等距映射是保内积的, 无论 $M(0)$ 是否为 0. 但仅当 $M(0) = 0$ 时, M 才会是线性映射. 此时 $\lVert x’ \rVert = \lVert x \rVert$. $(x, kx) = (x’, (kx)’) = k(x, x) = k(x’, x’) = (x’, kx’)$ 对于任意 x 都成立, 易证 $(kx)’ = kx’$. 剩余证明见原文.
定理 12(ii), M 是等距映射, 则 $M^* M = I$. 这里不要求 $M(0) = 0$. 证明见原文. 反之若 $M^* M = I$ 则也能证出 M 是等距线性映射.
定理 12(iii), M 是等距映射, 则 M 可逆且 $M^{-1}$ 也是等距映射. 见第三章练习 9 这里由 $M^* M = I$ 便可推出 M 可逆.
定理 12(iv), M 是等距映射, $\det M = \pm 1$. 由定理 12(ii) 结合行列式运算法则易证.
P.S. 这里只是对原文定理 12 重新整理, 梳理清楚哪些依赖 $M(0) = 0$, 哪些不依赖.
