系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
Page 68 内积定义, 这里内积是实值函数, 即内积值域是实数集. 另外这里定义强调了 X 是实数域上的线性空间. 但我理解对于其他数域, 比如复数域上的线性空间应该一样吧, 只要内积是个实值函数就行了? 呃, 好像不行, 以定理 1 施瓦茨不等式为例, 其证明依赖了 q(t) 实值多项式判别式相关法子, 如果 X 是其他数域, 比如复数域, 这里 q(t) 就是复数值函数了, 相关依赖好像不一定成立了.
定理 2, $\lVert x \rVert = \max(x, y), \lVert y \rVert = 1$. 即证明对于给定 x, 对于任意 $y, \lVert y \rVert = 1$, 此时 $(x,y)$ 的最大值就是 $\lVert x \rVert$.
证明: 首先由几何学基础可知在 $OX$ 确定的射线上, 可以选择一点 $y, \lVert y \rVert = 1$ 且此时 $(x, y) \gt 0$, 即 $\max(x, y)$ 确实是大于 0 的. $\max(x, y) \le \lVert x \rVert \lVert y \rVert = \lVert x \rVert$. 令 $y = \frac{x}{\lVert x \rVert}$, 此时 $\lVert x \rVert = \sqrt{(x, x)} = \sqrt{\lVert x \rVert(x,y)}$ 即 $\lVert x \rVert = (x,y) \le \max(x, y)$.
P.S. 一开始没搞懂这个定理啥意思… 另外针对 $\lVert x \rVert = 0$ 的情况也需要单独讨论下, 很容易观察到.
P.S. 好像不需要单独论证 $\max(x, y) \gt 0$, 此时 $\max(x, y) \le \vert \max(x, y) \vert \le \lVert x \rVert \lVert y \rVert$.
P.S. 将 x 视为向量 $\overrightarrow{OX}$, y 视为 $\overrightarrow{XY}$, 此时 Y 在以点 X 为圆心, 半径为 1 的圆上转动, 由上可知当 $(x,y)$ 为最大值时, $\overrightarrow{OX}, \overrightarrow{XY}$ 夹角为 0.
定理 4, 首先令 $x_1 = \frac{y_1}{\lVert y_1 \rVert}$, 之后再参考原文证法.
定理 5, 由上可知此时 X 是实数域上的线性空间, 本定理讲的是对于任意 $l \in X’, l: X \to \mathbb{R}, \exists y \in X$ 使得 $l(x) = (x, y)$. 另外易证 $\forall y \in X$ 固定 $y, (y, x)$ 是个 X 上线性函数. 即又一次论证了 $X’$ 与 X 线性同构. 哦, 这正是推论 5’ 要我们证明的.
定理 6, 这里我们换个证法: 由第 2 章定理 4 可知 $Y^{\perp} \subseteq X’, \dim Y^{\perp} + \dim Y = \dim X$, 这里 $Y^{\perp}$ 是第 2 章零化子的概念, 根据原文讨论第 2 章的 $Y^{\perp}$ 与本章的 $Y^{\perp}$ 同构. 所以 $Y^{\perp} \subseteq X, \dim Y^{\perp} + \dim Y = \dim X$.
设 $a \in Y^{\perp} \cap Y, \forall y \in Y, (a, y) = 0, (a, a) = 0$ 可得 a = 0, 结合 1.1.zy1 可得 $X = Y \oplus Y^{\perp}$.
这里我们几何学基础 提到的 $\mathbb{R}^3$ 模型来展开下正交补, 正交投影是什么玩意. 在 $\mathbb{R}^3$ 三维欧几里得空间中, $XOY$ 平面是子空间 Y, 此时 Z 轴上所有点形成的子空间是 $Y^{\perp}$, 对于任意点 x, 通过该点 x 作平面 XOY 的垂线, 则交点便是 $P_Y(x)$. 定理 8 展示了平面 XOY 中距离 x 最近的点便是这里的交点.
伴随, 关于 $A^*, A’$ 我理解更准确的说法应该是 $A: X \to U, A’: U’ \to X’$, 考虑到存在可逆映射 $f_U: U \to U’, f_X: X \to X’$, 这里 $A^* = f_X^{-1} A’ f_U$. 此时 $\forall x \in X, l \in U’,l(A(x)) = (A’l)(x)$, 这里由定理 5 可知 $\exists y \in U, \exists z \in X$, 此时 $f_U(y) = l, f_X(z) = A’l$ 且 $l(A(x)) = (y, Ax) = (A’l)(x) = (z, x)$, 即 $\forall y \in U, \exists z = A^*y$. 易证伴随是个线性映射, 即 $A^* \in \mathcal{L}(U,X)$.
P.S. 对于线性映射 $A: X \to U$, 其伴随定义为 $A^*: U \to X$ 满足 $\forall x,u, (Ax, u) = (x, A^*, u)$. 我们如上讨论论证了伴随是存在的. 参考第 3 章例 10 可以推出这里 $A*, A$ 矩阵表示互为对方的转置. 后续在讨论复数域上的伴随时, 我们仍依据 $\forall x,u, (Ax, u) = (x, A^*, u)$ 此时推导出 $A^*$ 为 A 转置的复共轭.
定理 9, 原文在证明到 $(x, (A+B)^* u) = (x, (A^* + B^*) u)$ 之后便认为 $(A+B)^* = A^* + B^*$, 这里我严格证明下, 在已知 $\forall x, \forall u, (x, (A+B)^* u) = (x, (A^* + B^*) u)$ 都成立时, 此时 $(x, fu) = 0$, 这里 $f = ((A+B)^*) - (A^* + B^*)$, 我们来证明 f = 0. 反证设 $f \ne 0, \exists u_0, x_0 = f u_0, x_0 \ne 0$, 此时 $(x_0, f u_0) = 0 = (x_0, x_0)$ 矛盾了.
P.S. 这里也可证明 $(kA)^* = k A^*$, 定义映射 $f: \mathcal{L}(X, U) \to \mathcal{L}(U, X), f(A) = A^*$, 易证 f 是线性映射且是个线性同构.
P.S. 我好奇为啥在这里引入伴随, 难道伴随必须要求线性空间具有内积结构么? 目前看下来是的, 在对偶空间中虽然我们说 $(l, Ax) = (A’l, x)$, 但这其实是 $l(Ax) = (A’l)(x)$ 的一种写法, 并不代表着内积. 而伴随要求的 $(Ax, u) = (x, A^*u)$ 这里确实实打实的内积运算.
