系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
这里参考了王新茂-线性代数讲义总结了凯莱-哈密顿定理的证明.
6.3.zy2, 设 $\mathbb{F}$ 是数域, $A, B \in \mathbb{F}^{n \times n}$, 即 A, B 是 F 上方阵, 即 A, B 中元素都取自于 F. 若 A, B 相似; 则对于 $\forall f \in F[x]$, f(A), f(B) 也相似.
证明: $f(x) = \sum_{j=0}^n c_j x^j$, 此时 $f(A) = c_0 A^0 + c_1 A^1 + \cdots + c_n A^n$. 且 $\exists P, A = P^{-1} B P$ 易证 $A^k = P^{-1} B^k P, \forall k$, 即 $c_k A^k = P^{-1} c_k B^k P, \forall k$ 所以有 $f(A) = P^{-1} f(B) P$.
6.3.zy3, 设 X 是维数为 n 的线性空间. 则对于 $\forall x \in X, x \ne 0$, 可以找到 X 的一个基, 其中 x 是基的成员之一.
证明: 由 A.3.3.zy3, 基存在定理 可得 X 一定存在一个基 $e_1, \cdots, e_n$, 此时 $x = \sum_i x_i e_i$, 由于 $x \ne 0$ 所以一定存在 $x_k \ne 0$, 则 $e_k$ 可以写作 $B’=e_1, \cdots, e_{k-1}, x, e_{k+1}, \cdots, e_n$ 的线性组合. 易证 X 中任一元素都可以表示为 $B’$ 的线性组合. 假设 $B’$ 线性相关, 则意味着 X 的维数小于 n, 矛盾了. 所以 $B’$ 是 X 的基.
6.3.zy4, 相似矩阵 A, B 具有相同的特征值以及特征多项式.
证明: $\exists P, A = P B P^{-1}$, 易证 $sI - A = P sI P^{-1} - P B P^{-1} = P (sI - B) P^{-1}$, 即 $\det(sI - A), \det(sI - B)$ 要么同时为 0, 要么同时不为 0.
6.3.zy5, 设 $A \in \mathbb{F}^{n \times n}$ 的所有特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{F}$，则存在可逆方阵 $P \in \mathbb{F}^{n \times n}$ 使得 $P^{-1}AP$ 是上三角矩阵，且 $P^{-1}AP$ 的对角元素为 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$。
证明: 对 n 使用归纳法. 当 n = 1 时, 此时 $A = (a_{11}), a_{11} I_1 - A = 0$, 所以 $a_{11}$ 是 A 特征值, 易证此时定理成立. 现在考虑 $n=N$ 情况, 设 $\alpha_1 \in \mathbb{F}^{n \times 1}$ 是 $\lambda_1$ 对应的一个特征向量. 则由 6.3.zy3 可知在 $\mathbb{F}^n$ 线性空间中存在包含 $\alpha_1$ 的基, 且基中包含 n 个向量, 令这 n 个列向量组成方阵 $P_1 \in \mathbb{F}^{n \times n}, P_1 = (\alpha_1, \cdots)$, 易证这里 $P_1$ 是可逆的. 令 $B’ = P_1^{-1} A P_1$, 我们探究下 B’ 长什么样子:
\[\begin{align} P_1^{-1} A (\alpha_1, \cdots) &= P_1^{-1} (A \alpha_1, \cdots) = (P_1^{-1} A \alpha_1, \cdots) \\ P_1^{-1} A \alpha_1 &= \lambda_1 P_1^{-1} \alpha_1 \\ P_1^{-1} P_1 &= (e_1, \cdots) = (P_1^{-1} \alpha_1, \cdots) \\ B' = P_1^{-1} A P_1 &= \begin{pmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & B \end{pmatrix} \quad \det(B') = \lambda_1 \det B \\ A &= P_1 B' P_1^{-1} \quad \det A = \det (P_1) \det(B') \det(P_1) \\ sI - B' &= \begin{pmatrix} s - \lambda_1 & * \\ 0 & sI - B \end{pmatrix} \quad \det(sI - B') = (s - \lambda_1)\det(sI - B) \end{align}\]易证对于任意 B 的特征值 $b_i, \det(b_i I - B) = 0, b_i$ 也是 B’ 特征值. B’ 任意非 $\lambda_1$ 特征值也是 B 的特征值. 所以有 $\varphi_A(x) = (x-\lambda_1) \varphi_B(x), \varphi_A, \varphi_B$ 分别是 A, B 的特征多项式. 这里 $B \in \mathbb{F}^{N-1 \times N-1}$, 根据归纳假设，在存在可逆方阵 $P_2$ 使得 $P_2^{-1} BP_2$ 是上三角矩阵，并且 $P_2^{-1} BP_2$ 的对角元素依次为 $\lambda_2, \ldots, \lambda_n$。从而，$P = P_1 \left( \begin{matrix} 1 & 0 \ 0 & P_2 \end{matrix} \right)$ 满足题设。
凯莱-哈密顿定理的证明.
证明: 不妨设 $A \in \mathbb{F}^{n \times n}$, $ \varphi_A(x) = (x - \lambda_1)(x - \lambda_2) \cdots (x - \lambda_n), \lambda_i \in \mathbb{F} $. 根据定理 6.3.zy5, 存在可逆方阵 $P \in \mathbb{F}^{n \times n}$ 使得
\[B = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & * & * & \cdots & * \\ & \lambda_2 & * & & * \\ & & \ddots & & \vdots \\ & & & \lambda_{n-1} & * \\ & & & & \lambda_n \end{pmatrix}\]利用数学归纳法可以证明: $(B - \lambda_1 I)(B - \lambda_2 I) \cdots (B - \lambda_n I)$ 的前 $k$ 列元素都是0, $k = 1,2, \cdots, n, \varphi_A (B) = O$. 结合 6.3.zy2 可知 $ \varphi_A (B) = P \varphi_A (B) P^{-1} = O $.
