系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
定理 4, 略作补充.
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(a) 证明: 设 $q(s) = \sum_{i=0}^n c_i s^i$. 则 $q(a) = \sum_{i=0}^n c_i a^i, q(A) = \sum_{i=0}^n c_i A^i$, 考虑到 $A^k h = a^k h, \forall k$, 易证 $q(A) h = q(a) h$.
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(b) 叙述: 若 b 是 $q(A)$ 本征值, 则意味着 $\exists a, p(a) = b$ 且 a 是 A 的本征值. 证明见原文. 这里 $q(s) - b$ 完整形态是 $q(s) - b s^0$, 所以使用 A 作为未定元 s 的值之后是 $q(A) - bI$.
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矩阵 $p_A(A)$ 的特征值只有 0.
证明: 这里 $p_A(s) = \prod_{i=1}^n(s - a_i)$ 为 A 的本征多项式, $a_i$ 为 A 的本征值. 由 (a) 可得 $p_A(a_i) = 0$ 为 $p_A(A)$ 的特征值. 假设 $b \ne 0, b$ 为 $p_A(A)$ 的特征值, 则由 (b) 可知 $\exists a, p_A(a) = b$ 且 a 是 A 本征值, 而此时 $p_A(a) = 0$ 矛盾了.
定义: 对于一个 $ n \times n $ 矩阵 $ A $，在 $(i,j)$ 的子行列式（余子式） $ M_{ij} $ 定义为删掉 $ A $ 的第 $ i $ 行与第 $ j $ 列后所得的矩阵的行列式。令 $ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $，称为 $(i,j)$ 的余因子（代数余子式）。矩阵 $\text{cof}(A) = (C_{ij})$ 称作 $ A $ 的余因子矩阵（余子式矩阵）。余因子矩阵的转置称为伴随矩阵，记作 $\text{adj}(A)$:
\[\text{cof}(A) = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \\ \end{pmatrix} \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \\ \end{pmatrix}\]6.2.zy1, $\mbox{adj}(A) A = A \mbox{adj}(A) = (\det A) I$
证明: $\mbox{adj}(A) A$ 第 i 行第 j 列元素为 $E_{ij} = \sum_{k=1}^n C_{ki} a_{kj}$, 当 $i = j$ 时由定理 6 可知其为 $\det A$. 当 $i \ne j$ 时:
\[E_{ij} = \det \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} = 0\]$A \mbox{adj}(A)$ 情况可类似证明.
引理 6, 一开始让我迷惑. 即然 $R = PQ$, 那么 $R(A) = P(A)Q(A)$ 不是很显然么? 为啥还要要求 A 与 Q 的系数可交换.
这里 P, Q 都是定义在环 Z 上的多项式, 这里环 Z 是 nn 方阵 $M_{nn}$, 其不是交换环. 在代数学基础中, 我们了解了交换环, 整环, 域上的多项式. 但并未了解过环上的多项式环. 这里可以把代数学基础 “§2.2.3 多项式环” 中对多项式底座 “R” 的要求从 “交换环” 降低到的环即可, 此时 $R[x]$ 也定义的加法/乘法运算下也形成了环. 对于环 Z 上多项式环 $Z[x], A, B, C \in Z[x], A = B \cdot C$. 此时使用 $x_0$ 替换多项式中未定元, $A(x_0), B(x_0), C(x_0)$ 是属于另一个环 Y 的, 这里 Y 并不一定是 Z. 且 $A(x_0)$ 与 $B(x_0) \times C(x_0)$ 可能并不相等, 这里 $\times$ 是环 Y 上的乘法运算.
回到引理 6, 此时 $P(A) Q(A) = P_0 A^0 Q_0 A^0 + P_0 A^0 Q_1 A^1 + P_1 A^1 Q_0 A^0 \cdots $, 确实易见仅当 A 与 Q 系数可交换时才有 $R(A) = P(A)Q(A)$
P.S. 所以对多项式相关定理的证明, 一定不要依赖未定元的任何特征. 否则这类定理将仅针对指定的未定元生效.
定理 5, 凯莱-哈密顿定理. 这个原文证明我感觉有很多问题… 不清楚是不是我没有理解 Lax 老师的意思.
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问题 1, 第 5 章公式 (30) 成立的前提是 Q(s) 可逆, 而这里 Q(s) 很明显不一定可逆, 比如当 s 为 A 本征值时.
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问题 2, 即使 Q(s) 可逆, 那么根据第 5 章公式 (30) 这里应该是 $P(s)^T Q(s) = \det Q(s) I$.
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问题 3, 原文并未证明 P(s) 是也是矩阵系数多项式, 包括整个对引理 6 的使用我都感觉很迷惑.
基于这些问题, 我这里参考王新茂-线性代数讲义中的证明重新整理下. 顺带一说: 王老师这本讲义中干货超多, 真的是绝佳的参考书籍.
关于本征多项式 $Q(s) = sI -A, p_A(s) = \det(sI - A) = \det(Q(s))$. 书中, 包括维基都依赖了 $\det(Q(s)) I = p_A(s)I$, 这里相等我理解是把 $p_A(s)$ 视为 $M_{nn} \to M_{nn}$ 映射, 对于任意 s 代入两侧会得到的同样的矩阵, 但其实这俩并不相等.
\[\begin{align} &A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} & s = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &\det(Q(s)) I = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} &p_A(s)I = \begin{pmatrix} -5 & -3 \\ -3 & -5 \end{pmatrix} \end{align}\]在 $p_A(s) = \det(sI - A)$ 推导过程中, 我们是将 s 视为标量, 即 s 是标量时, 如上等式是成立的. 但如果像上例一样将 s 视为矩阵, 那么将得到错误的结果.
