系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
矩阵的引入, 如 3.3.zy2 所示, 我们已经研究过对应域 K 上的线性空间 X, Y, $\mathcal{L}(X,Y)$ 都可以用矩阵来表示, 这里矩阵中的元素都是 K 中元素. 对于实数域 R 上的 $R^n \to R^m$ 自然成立.
$e_j$ 在 T 下的像即 T 对应矩阵第 j 列. 我这里继续以 3.3.zy2 探究下可以看到在 $T = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n c_{ij} T_{ij}$ 时:
\[T = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mn} \\ \end{pmatrix}\]$T(e_k^X) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n c_{ij} T_{ij}(e_k^X)$, 这里:
\[c_{ij} T_{ij}(e_k^X) = \begin{cases} 0 \ \ \ \mbox{ if } k \ne j; \\ c_{ik}e_i^Y \ \ \ \mbox{ if } k=j. \end{cases}\]$T(e_k^X) = \sum_{i=1}^m c_{ik} e_i^Y$. 即这里 T 矩阵表示的第 k 列也是 $T(e_k^X)$.
P.S. $T: X \to Y$, 在一组特定的 $X, Y, \mathcal{L}(X,Y)$ 基下我们能得到 T 矩阵表示的第 k 列也是 $T(e_k^X)$. 如果我们换个基表示呢? 没研究过== 就像数域 K 一样, 后面若不特殊说明, 我们选定的基总是 3.3.zy2 这里定义的基.
P.S. 这里说明若 T 不是单射, 则 T 列向量线性相关. 证明: T 不是单射意味着 $\exists x_1, x_2, T(x_1 - x_2) = 0$, 这里 $x_1 - x_2 = a_1 e_1^X + \cdots + a_n e_n^X$ 则有 $a_1 col_1 + \cdots + a_n col_n = 0$, 这里 $col_i$ 为 T 的第 i 列, 所以有列向量线性相关.
矩阵转置, 原文这里转置的引入没看懂, 还没有例 10 直观.. 尤其是公式 13 $(l, Tx) = (lT, x)$, $(l, x)$ 这种记法是在 $x \in X, l \in X’$ 时意义比较明确. 在公式 13 这里 $l, T, x$ 都是映射我理解不到 $(l, Tx)$ 是指什么? 还有公式 13’ $(T’l, x) = (l, Tx)$ 也是在 $x \in X, l \in X’$ 时才成立.
行秩, 列秩; 这里可以看到矩阵的列秩即矩阵列向量极大线性无关向量组的个数.
矩阵相似的引入. 嘿嘿, 我觉得原文这里不如我在 3.3.zy2 介绍地更清晰. 这里可以看出相似矩阵表示的是同一个映射, 只不过选择的基不一样.
单位矩阵, 结合 3.3.zy2 讨论, 我们知道在特定的基下, 单位矩阵对应着恒等映射. 如果选用的基不同, 那么这里的单位矩阵可能不再对应着恒等映射了吧?
相似矩阵具有相同的秩, 由 3.4.zy1 可得.
