系列导言, 本文是作者在学习 Peter D. Lax 线性代数及其应用的读书笔记, 侧重于记录我当时没有看懂的部分, 以及对书中部分知识点的一些扩展. 非常零散, 不成系统. 对本系列的使用最好是读者也在学习 Peter D. Lax 线代并且恰好有某处不太明白, 可以参考着本系列说不定这里就有答案. 本系列文章在写作时参考了互联网上零零散散非常多的资料在此表示感谢!
定理 7, 其证明很直观. 我这里好奇一个问题, 原文这里说相似变换是 $\mathcal{L}(X,X)$ 环的自同构, 即保持向量加法, 数乘, 乘法运算. 这里环的自同构是应该是指双射 f 且 f 满足 $f(1) = 1, f(ab) = f(a) f(b), f(a+b) = f(a) + f(b)$. 这里 $\mathcal{L}(X,X)$ 即是环又是线性空间. 看原文这里的意思是说若 f 是其环同构, 则 f 也是其线性同构. 当 f 为相似变换时, 根据相似变换的定义很容易证得结论. 但是当 f 是其他环同构呢? 能否推出 f 是线性同构? 我试了一下, 没有证出. 问题先放着吧. 另外若 f 是线性同构以及满足 $f(ab)=f(a)f(b)$ 是能推出 f 也是环自同构的.
定理 8, 相似关系就是代数学基础中提到的共轭, 我们已经正过共轭是等价关系了.
练习 14 解答. 首先证明 $T: X \to X, \dim X=1$ 时, $\exists c, T(x) = cx, \forall x \in X$. 这里 X 是域 K 上的线性空间, 由 2.zy1 知 K 自身也是线性空间且 $\dim K=1$, 所以存在线性同构 $S: X \to K$. 易证 $S\circ T \circ S^{-1}: K \to K$ 是个线性映射, 线性映射的复合也是线性映射. 记 $c = S\circ T \circ S^{-1}(1)$. 则 $S\circ T \circ S^{-1}(k)=kc=ck$, 别忘了域 K 是满足交换律的. 即 $T \circ S^{-1}(k) = S^{-1}(ck) = c S^{-1}(k)$, 即 $\forall k, T(S^{-1}(k)) = cS^{-1}(k)$. 考虑到 $\forall x \in X, \exists k \in K, S(x) = k, S^{-1}(k) = x$ 所以有 $T(x) = cx, \forall x$.
现在考虑 $\dim X \ne 1$ 情况, 由上可知 $\exists c, \forall y\in R_T, T(y) = cy$. 所以有 $\forall x \in X, T(T(x)) = T(y) = cy = cT(x)$ 成立.
当 $c \ne 1$ 时易证 $(I + \frac{1}{1-c}T)(I-T) = I$ 由练习 9 可知 I-T 可逆.
练习 15, $\text{rank}(ST) \le \min(\text{rank}(S), \text{rank}(T))$.
证明: 易证 $R_{ST} \subseteq R_S$ 所以 $\dim R_{ST} \le \dim R_S$. 由定理 6 可知 $\text{rank}(S) = \text{rank}(S’)$. 即 $\text{rank}(ST) = \text{rank}(T’S’) \le \text{rank}(T’) = \text{rank}(T)$.
$\dim N_{ST} \le \dim N_S + \dim N_T$
证明: 易证 $\forall x \in N_T, ST(x) = 0, x \in N_{ST}, N_T \subseteq N_{ST}$. 定义 $f: N_{ST}/N_T \to R_T \cap N_S; f([x]) = Tx$. 易证 f 是个合法的映射, 且是线性映射. $\forall x_1, x_2, f(x_1) = f(x_2), T(x_1 - x_2) = 0$, 即 $x_1 - x_2 \in N_T, [x_1] = [x_2]$, 即 f 是单射. $\forall y \in R_T \cap N_S, \exists x, T(x) = y, S(y) = 0, S(T(x)) = 0, x \in N_{ST}$, 即 f 是满射. 所以 f 是线性同构 $\dim N_{ST}/N_T = \dim R_T \cap N_S$.
\[\begin{align} \dim N_{ST} &= \dim N_T + \dim N_{ST}/N_T = \dim N_T + \dim R_T \cap N_S \\ & \le \dim N_T + \dim N_S. \end{align}\]3.4.zy1 若线性映射 S, T 相似, 则 $\mbox{rank}(S) = \mbox{rank}(T)$.
证明: 若 S, T 相似意味着 $\exists P, S = PTP^{-1}, T=P^{-1}SP$, 由上可知 $\mbox{rank}(S) \le \mbox{rank}(T), \mbox{rank}(T) \le \mbox{rank}(S)$, 所以结论得证.
