命题 2.4.6, 验证帕施公理, 对原文证明略作补充.
- $\Phi$ 是双射.
已知对于 ABC 平面任一一点 D, 其可以唯一表示为 $A+t(B-A) + s(C-A)$, 即 D 对应 (t, s) 是唯一的. 这是因为 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ 线性无关, $\overrightarrow{AD}$ 可以唯一表示为 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ 线性组合. 基于这个信息易证 $\Phi$ 是双射.
- $\Phi$ 把 $\mathbb{E}^2$ 中的直线映射成平面 ABC 上的直线，且反之亦然.
证明: 对于 ABC 上点 E, F 其分别对应着 $(t_1, s_1), (t_2, s_2)$. 此时 $L_{EF} = A + (B-A)(t_1 + r(t_2 - t_1)) + (C-A)(s_1 + r(s_2 - s_1))$. 即 $L_{EF}$ 上的点经过 $\Phi$ 映射之后对应着 $\mathbb{E}^2$ 上由 $E’=(t_1, s_1), F’=(t_2, s_2)$ 确定的直线. 反之易证.
P.S. 这里可以看到线段 EF 经过映射之后对应着线段 $E’F’$, 反之亦然.
P.S. 这里也可以看出若 $\mathbb{E}^3$ 中线段 ab, cd 有交点, 则经过映射之后对应的线段 $a’b’, c’d’$ 也存在交点.
引理 2.4.7, 直线上点的两侧的刻画. 这个一开始并不晓得要证啥, 后来意识到现在我们已经定义了 $\mathbb{E}^3$ 中的点, 线, 面. 自然也具有了定义 1.2.9 直线上一点的”同侧”/定义 1.2.11 平面上一直线的”同侧” 的概念. 所以引理 2.4.7 其实就是要证明在直线 L 上除 A 之外另择 B 点之后, L 上任一点都可以表示为 $A+s(B-A)$, 我们需要证明对于任一点 C, 其对应 s > 0, 则 C 与 B 在点 A 同一侧.
证明: 此时 A 点对应 s = 0, B 点对应 s=1, C.s > 0 意味着按照定义 2.4.1 介于, A 点不在 B, C 之间, 按照定义 1.2.9 直线上一点的”同侧”这意味着 B,C 在 A 的同一侧.
引理 2.4.8, 直线上点的两侧的刻画.
证明: 我们这里要证对于点 D, D.s>0, 则线段 CD 与直线 AB 不相交, 按照定义 1.2.11 平面上一直线的”同侧”这意味着 CD 在 AB 同一侧. 此时线段 CD $S_{CD} = A + rt(B-A) + (r(s-1) + 1) (C-A) \mid r \in [0,1]$. 线段 CD 与直线 AB 相交当且仅当 $\exists r, r(s-1) + 1 = 0$.
当 $s \ge 1$ 时, 易证此时不存在这样的 r, 即线段 CD 与直线 AB 不相交. 当 $s \in (0, 1)$ 时, $r = \frac{1}{1-s} \gt 1$, 即不存在这样的 r, 即线段 CD 与直线 AB 不相交.
命题 2.4.9. 验证角的迁移.
- 这题是要证明啥?
解: 公理 III.4 其实是说给定一个特定的角, 可以在给定的的平面, 直线, 点, 以及平面的一侧上作出与这个角合同的角. 在 $\mathbb{E}^3$ 模型中, 我们通过 $\alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\vert AB \vert \vert AC \vert}$ 来量化 $\angle BAC$, 由柯西-施瓦茨不等式可知 $\alpha \in [-1,1]$ 因此我们只需要证 $\forall \vert x \vert \le 1, \exists C, \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\vert AB \vert \vert AC \vert} = x$ 即可.
- x = 0 时唯一性证明.
证明: 由 2.4.zy7 可知过 A 点可做唯一条直线 L 与 AB 垂直, 即假设 $\exists E’, \overrightarrow{AE’} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$, 则 $E’$ 位于直线 L 上, 若 $E’, E$ 位于 AB 同一侧, 则 $E’$ 必在射线 AE 上.
- x != 0 时唯一性证明.
证明: 由存在性证明知此时存在点 C, $\overrightarrow{AC} = x \overrightarrow{AB} + s \overrightarrow{AE}, 1 = \sqrt{x^2 + s^2 k^2}, k = \vert AE \vert$. 假设还存在 $C’, \overrightarrow{AC’} = t’ \overrightarrow{AB} + s’ \overrightarrow{AE}, t’ = x \sqrt{t’^2 + s’^2 k^2}$. 即 $\frac{1}{\vert x \vert} = \sqrt{1 + (\frac{s}{|x|})^2 k^2} = \sqrt{1 + (\frac{s’}{t’})^2k^2}$. 即 $\frac{s}{\vert x \vert} = \frac{s’}{\vert t’ \vert}$. 考虑到这里 x, t’ 具有相同符号可得 $\frac{s}{x} = \frac{s’}{t’}$. 即可得 $\overrightarrow{AC’} = \frac{t’}{x} \overrightarrow{AC}$ 即 C’ 在射线 AC 上.
连续性公理 (V.1), 阿基米德公理, 应该对应着陶哲轩 analysis i 推论 5.4.13 阿基米德性质吧.
连续性公理 (V.2), 直线完备公理, 应该对应着陶哲轩 analysis ii 定义 12.4.10 完备度量空间中提到的 R 是完备的吧?
至此, 我对几何学基础的学习到此告一段落, 王作勤老师这本几何学基础在我看来是本非常好的教材, 以后有空时可以继续学习下后面几章.
