2.4 作为希尔伯特公理体系模型的 $\mathbb{E}^3$. 原文在这一章也不是很详细, 我这里会参考着一本 1960 的书: Foundations of Geometry Euclidean, Bolyai-Lobachevskian and Projective Geometry by Karol Borsuk and Wanda Szmielew, 下以 FOGB 来引用这本书. 话说 1960 年这种书中的数学符号是怎么印刷的啊.
外积, 关于外积的定义, 一种是几何式定义, 就像原文一样, 最终根据几何含义得到了命题 2.3.12, 外积的坐标公式. 那么应该也可以像定义 2.2.12 一样, 跳过几何定义, 直接定义外积: $\forall (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2) \in \mathbb{R}^3$, 定义 $(x_1, y_1, z_1) \times (x_2, y_2, z_2) = (y_1 z_2 - z_1 y_2, z_1 x_2 - x_1 z_2, x_1 y_2 - y_1 x_2)$. 此时可以通过纯计算的方式验证命题 2.3.8, 命题 2.3.9, 命题 2.3.10 仍然成立.
2.4.zy1, $\forall u, v \in \mathbb{E}^3. u \times v = 0$ 意味着 u, v 线性相关. $u \times v \ne 0$ 意味着 u, v 线性无关.
证明: 由 2.3.8 可知 $u \times v = 0$ 意味着 $\vert u \cdot v\vert = \vert u\vert \vert v\vert $, 由 A.3.9 柯西-施瓦茨不等式可知此时 $\exists \lambda, u = \lambda v$. 反之若 $u \times v \ne 0$, 假设 u, v 线性相关, 则可以推出 $\vert u \times v\vert = 0$ 矛盾了.
2.4.zy2, 接着 2.4.zy1 求证 $(u \times v) \cdot v = (u \times v) \cdot u = 0$. 即而得 $u \times v$ 与 $u, v$ 任一线性组合的内积都为 0.
证明: 用纯代数的方法, 直接套坐标公式计算即得结论.
2.4.zy3, 当 $u \times v \ne 0$ 时, $u \times v$ 不能表示为 u, v 线性组合.
证明: 假设 $\exists \lambda, \mu; u \times v = \lambda u + \mu v$, 则此时 $(u \times v) \cdot (\lambda u + \mu v) = \vert u \times v\vert ^2 \ne 0$, 与 2.4.zy2 矛盾了.
2.4.zy2, $\forall u, v \in \mathbb{E}^3. w = u \times v \ne 0$, 此时 $u, v, w$ 是基.
证明: 首先我们看下纯代数的证明. 假设 $\exists a, b, c; a u + b v + cw = 0$, 则此时 c 必为 0. 反证设 c 不为 0, 则 w 可以写作 a, b 线性组合, 与 2.4.zy3 矛盾了. 进而得 $au+bv = 0$, 由 2.4.zy1 可得此时 a, b 必为 0.
再来看下几何证明. 由原文 “利用双射 c，可以把 $\mathcal{V}$ 上的向量加法、数乘与内积结构都移植到 $\mathbb{R}^3$ 上” 易证 $\mathcal{V}$ 与 $\mathbb{R}^3$ 是线性同构的. 由 A.3.5.zy1 可知这俩空间 “基” 是一致的. 接下来就像定理 2.2.10. (空间勾股定理) 一样易证 $\vec u, \vec v, \vec w$ 是 $\mathcal{V}$ 的基. 这里 $u = c(\vec u)$.
向量, 原文未明确定义过 $\mathbb{E}^3$ 中向量 $\overrightarrow{AB}$ 是什么样的. FOGB 中对此进行了详细定义.
An ordered pair of points (x,y) will be called a bound vector and denoted by $\overrightarrow{xy}$. The distance p(x,y) will be called the length of vector $\overrightarrow{xy}$. The coordinates of point y—x will be called the coordinates of vector. Two vector $\overrightarrow{xy}, \overrightarrow{x’y’}$ have the same coordinates iff y - x = y’ - x’.
The class of all bound vectors having the same coordinates $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ will be called the free (Cartesian) vector with coordinates $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ and will be denoted by $[\alpha_1, \cdots, \alpha_n]$ . Obviously, every sequence $[\alpha_1, \cdots, \alpha_n]$ of real numbers denotes some free vector. If a free vector $\mathbb{a} = [\alpha_1, \cdots, \alpha_n]$ is given, then by $(\mathbb{a})$ we understand the point $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$; if the point $x=(x_1, \cdots, x_n)$ is given,then by $[x]$ we understand the vector $[x_1, \cdots, x_n]$. If $\overrightarrow{xy} \in \mathbb{a}$, then we call the bound vector $\overrightarrow{xy}$ the representative of free vector $\mathbb{a}$. Then $\mathbb{a} = [y - x]$ and $y = x + (\mathbb{a})$. Thus there exists just one representative of free vector $\mathbb{a}$ with a given origin x. 也就是说 $x_1, \cdots, x_n$ 可能表示一个点, 也可能表示一个坐标; $(x_1, \cdots, x_n)$ 圆括号括起来的是表示点. $[x_1, \cdots, x_n]$ 方括号括起来的是向量.
向量的运算被定义为其对应点的运算. 这里 FOGB 也验证了下这里定义的运算与对应几何向量运算一致. 见 2.4.zy2 原文这里也已经验证过了.
free vector $\mathbb{a}, \mathbb{b}$ are parallel 被定义为 $\vert \mathbb{a} + \mathbb{b}\vert = \vert \mathbb{a}\vert + \vert \mathbb{b}\vert $ 或 $\vert \mathbb{a} + \mathbb{b}\vert = \vert \mathbb{a}\vert - \vert \mathbb{b}\vert $. In the first case we say that parallel vectors $\mathbb{a}, \mathbb{b}$ have the same sense; in the second case, that they have the opposite sense. 易证此时 $\vert (\mathbb{a}) \cdot (\mathbb{b})\vert = \vert (\mathbb{a})\vert \vert (\mathbb{b})\vert $, 即 $(\mathbb{a}) = \lambda (\mathbb{b})$. 容易看到此时 $\lambda \gt 0$, $\mathbb{a}, \mathbb{b}$ have the same sense; $\lambda \lt 0$, the opposite sense. We refer to the class of all vectors parallel to a given free vector $\mathbb{a}$ as the direction of $\mathbb{a}$.
isometry mapping, isometry space; 原文在定义这俩概念时未提到 isometry mapping 是双射. 但其实原文是依赖这个设定的, 并且我搜了一下都提到 isometry mapping 要求是双射.
Let us consider any isometry f mapping the point $x = (x_1, \cdots, x_n) \in C_n$ onto the point $\overline{x} = (\overline{x_1}, \cdots, \overline{x_n})\in C_n$. Let $f(0) = a, f(w_i) = a_i$ where:
- $w_1 = [1, 0, \cdots, 0], w_2 = [0, 1, \cdots, 0], \cdots, w_n = [0, \cdots, 0, 1]$.
- $a_i = [\alpha_{1i}, \cdots, \alpha_{ni}], i = 1, 2, \cdots, n$.
- $a = (\alpha_{10}, \cdots, \alpha_{n0})$
注意 $f(w_i) = a_i$, 这里 $w_i, a_i$ 是 free vector, 这里是指将所有 $\vec v \in w_i, f(\vec v) \in a_i$. 即 $\forall A, B \in C_n; \overrightarrow{AB} \in w_i. \overrightarrow{f(A) f(B)} \in a_i$. 我一开始以为 f 仅是将点 $(0, 1, \cdots, 0)$ 映射到点 $(\alpha_{12}, \cdots, \alpha_{n2})$ 呢!
(20) $a_i \cdot a_j$ 在 $i=j$ 时为 1. 其他为 0.
证明: 当 $i=j$ 时由 f 是保距映射显然得 $\vert a_i\vert = a_i \cdot a_i = \vert w_i\vert = 1$. 在 $i \ne j$ 时, 令 $\overrightarrow{0r} = w_i, \overrightarrow{0s} = w_j, r’=f(r), s’=f(s)$, 则 $\vert ar’\vert = \vert 0r\vert , \vert as’\vert = \vert 0s\vert , \vert s’r’\vert = \vert sr\vert $. 由 A.3.9.zy3 可得 $a_i \cdot a_j = \overrightarrow{ar’} \cdot \overrightarrow{as’} = w_i \cdot w_j = 0$.
由 A.3.9.zy4 可知 $A={a_1, \cdots, a_n}$ 线性无关, 考虑到此时 $C_n$ 的基中元素个数是 n, 所以 A 是 $C_n$ 的基.
2.4.zy5, 若 $\overrightarrow{0p} = \lambda w_i$, 则 $f(p) = a + \lambda a_i$.
证明: 先考虑 $\lambda$ 为自然数情况, 当 $\lambda = 1$ 时, $\overrightarrow{0p} \in w_i, f(\overrightarrow{0p}) \in a_i, f(p) - f(0) = a_i, f(p) = a + a_i$. 运行自然归纳法现在考虑到 $\overrightarrow{0p} = (k+1)w_i = kw_i + w_i$, 令 $\overrightarrow{0r} = kw_i, \overrightarrow{rp} = w_i, \overrightarrow{0p} = \overrightarrow{0r} + \overrightarrow{rp}$. 由 $\overrightarrow{rp} \in w_i, \overrightarrow{f(r)f(p)} = a_i, f(p) = f(r) + a_i$. 由归纳条件知 $f(r) = a + ka_i$ 可得 $\lambda = k + 1$ 时成立.
再考虑 $\lambda \in (0, 1)$ 情况, 令 $\overrightarrow{0r} = w_i$, 此时可知 p 点满足 $\vert 0p\vert + \vert pr\vert = \vert 0r\vert , \vert 0p\vert = \lambda \vert 0r\vert $, 由于 f 是保距映射, 所以 $p’=f(p)$ 也满足 $\vert ap’\vert + \vert p’r’\vert = \vert ar’\vert = \vert a_i\vert , \vert ap’\vert = \lambda \vert ar’\vert $. 由 A.3.9.zy2 可知这样的点只有一个且 $p’ = a + \lambda a_i$.
对于 $\lambda > 0$ 情况由 $\lambda = \lfloor \lambda \rfloor + \lambda’, \lambda’\in [0, 1)$ 易证. 同理 $\lambda \lt 0$ 情况易证.
(21) For any point $x = (x_1, \cdots, x_n) \in C_n, [x - 0] = \sum_{i=0}^n x_i w_i$, 则 $\overline{x} = f(x), [\overline{x} - a] = \sum_{i=0}^n x_i a_i$.
证明: 首先由 (20) 可知 $\overrightarrow{a\overline{x}} = \sum_{i=0}^n y_i a_i$. 已知 $\overrightarrow{0x} \cdot \overrightarrow{0r} = x_i, \overrightarrow{0r} = w_i, \overline{r}=f(r)$. 易知 $\vert 0r\vert = \vert a\overline{r}\vert , \vert 0x\vert = \vert a\overline{x}\vert , \vert rx\vert = \vert \overline{r}\overline{x}\vert $, 结合 A.3.9.zy3 可知 $\overrightarrow{a\overline{x}} \cdot \overrightarrow{a\overline{r}} = y_i = x_i$.
P.S. 此时 f 可以写成矩阵形式:
\[\begin{pmatrix} \overline{x_1} \\ \vdots \\ \overline{x_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{10} \\ \vdots \\ \alpha_{n0} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{n1} & \cdots & \alpha_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_1} \\ \vdots \\ {x_n} \end{pmatrix}\]并且这里的 nn 矩阵 $[\alpha_{ij}], i, j\in [1,n]$ 易证是个正交矩阵. 反之若某个映射可以写成这种形式, 则易证该映射是个保距映射.
