2.3.2 应用：球面几何初步 这个章节一开始看就明白其内容不会深入介绍, 只是为了让读者对非欧氏几何有个感性认知. 所以我没仔细看, 对球面几何感兴趣的话另找书籍.
2.3.18.zy1, 过圆心的直线与圆交于 2 点.
解: 首先明确下圆的定义: 平面上到一个给定点(称为圆心)距离等于给定正数(称为半径)的点的集合. 因直线 L 穿过圆心 (O)，我们可以在 (L) 上取圆心 (O) 两侧距离等于 (r) 的两点 (A) 和 (B)。根据圆的定义，所有这样的点均在圆上，因此点 (A) 和 (B) 在圆 (C) 上。
对于直线 L 上其他点, 这些点要么是线段 OA, OB 内部的点, 要么是线段 AB 外部的点; 易证这些点到 O 的距离都不等于 r, 即这些点都不会在圆上.
P.S. 这些涉及到的概念都是我们目前在几基中接触到的.
2.3.18.zy2, 显然，球面上的任意两条完整的测地线均相交于球面上对径的两个点。
解: 关于这个显然, 我这里好好说道下. 首先已知两条完整的不重合的测地线 C, D 所在的平面 PC, PD 都包含球心 O, 即两个平面交于 1 点, 即两个平面交于 1 条直线 L. L 与 C 交于 2 点 C1, C2; 易知 C1, C2 位于平面 PC, PD 上. 易证她们都位于 C, D 圆上.
二面角: 由两个非平行且非重合的平面相交形成的空间角.
平面角: 以二面角的公共直线 L 上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2.3.19.zy1: 同一二面角的任意两个平面角相等
证明: 在 L 上任取点 O1, O2; 以此作平面角 $\angle A_1 O_1 B_1, \angle A_2 O_2 B_2$, 易证射线 $O_1 A_1 \parallel O_2 A_2 , O_1 B_1 \parallel O_2 B_2$. 在射线 $O_1 A_1, O_2 A_2$ 上分别选择点 $C_1, C_2$ 使得线段 $O_1 C_1, O_2 C_2$ 长度相同, 根据方向定义易知 $O_1 C_1, O_2 C_2$ 方向也相同, 即 $\overrightarrow{O_1 C_1} = \overrightarrow{O_2 C_2}$. 同理在射线 $O_1 B_1, O_2 B_2$ 上分别选择点 $D_1, D_2, \overrightarrow{O_1 D_1} = \overrightarrow{O_2 D_2}$. 由余弦定理易证 $\angle C_1 O_1 D_1 = \angle C_2 O_2 D_2$.
P.S. 这个证法有点过犹不及了, 但我确实想不到纯几何的证法了.
P.S. 由此定义二面角的大小为其上任一平面角的大小.
切平面, 首先定义下球面上点 A 对应的切平面为与 OA 垂直且过点 A 的平面.
2.3.19.zy2 切平面与球面仅交于 1 点.
证明: 假设除点 A 之外还交于点 B, 已知 $OA \perp AB, OB = OA$, 在等腰三角形中这意味着 $OB \perp AB$, 这不可能.
2.3.19.zy2. 原文: 该角也等于这两个大圆在球面上该交点处的切线的夹角
解: 大圆所在平面分别是 P1, P2, 在球面交点 A, 切平面 P. P, P1 交于直线 L1; P, P2 交于直线 L2. 我这里理解原文的意思是 L1, L2 形成的夹角=二面角. 由于 OA 垂直平面 P, 其与 P 内所有直线垂直, 即 OA 垂直 L1, L2; 所以 L1, L2 形成的夹角是平面角, 其大小确实是二面角.
命题 2.3.21, 略作补充
- 一个疑问, 夹角相同的球面二角形具有相同的面积么? 原文证明是依赖这个结论的.
