定理 2.1.12, 略作补充
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这里对于 $\forall \tau \in \mathcal{T}$, 我一开始是用 $\tau$ 的平移向量作为映射后的结果. 即我假定了 $\tau$ 平移向量总是存在的. 这其实是不对的, 原文正确证明了平移向量一定存在.
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2.1.12.zy1, 考虑映射 $f: X \to Y, g: Y \to X$ 若 $f \circ g = Id_Y$, 则此时 f 是满射, g 是单射.
证明: $\forall y \in Y, f \circ g(y) = y, f(g(y)) = y$ 所以易证 f 是满射. $\forall y_1 \ne y_2, f(g(y_1)) = y_1, f(g(y_2)) = y_2$, 若 $g(y_1) = g(y_2)$, 则意味着 f 将一个值映射为两个不同的值, 矛盾了.
线段长度以及其运算, 原文后续依赖了这些但尚未明确定义过, 我们这里整理一下. 一种定义方式就是想希尔伯特几何基础第三章比例论一样, 先定义有序域, 之后按照几何的方式定义线段的加减乘除, 反正就是没有直接把线段映射成实数. 我们这里不这么折腾, 就直接用大家熟知的方式, 把线段映射到一个实数, 表明其长度; 线段的加减乘除就是其对应长度实数的加减乘除.
2.1.16.zy1, 对于方向相同的向量 $\vec u, \vec v$, 其相加得到的向量方向与 $\vec u$ 相同, 长度是 $\vec u, \vec v$ 之和.
证明: 设 $\vec u = \overrightarrow{AB}, \vec v = \overrightarrow{CD}$, 根据 III.1 可知存在在直线 AB 一侧存在 E, 使得 BE 与 CD 合同, B 在 A, E 之间. 根据定义 2.1.4 方向定义可知此时 $\overrightarrow{BE}$ 方向与 $\overrightarrow{AB}$ 一样, 即 $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CD}$. 所以 $\vec u + \vec v = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE}$.
P.S. 这时原文未定义向量相等的定义, 我将其定义想长度, 方向均相同.
P.S. 在定理 2.1.16, 第一分配律, $\lambda \gt 0, \mu \gt 0$ 情况时. 此时 $(\lambda + \mu) \vec v$ 方向与 $\vec v$ 相同, 长度是其 $\lambda + \mu$ 倍. $\lambda \vec v, \mu \vec v$ 方向相同, 由 2.1.16.zy1 可知 $\lambda \vec v + \mu \vec v$ 方向与 $\vec v$ 相同, 长度是其 $\lambda + \mu$ 倍. 这里我是有点心虚的, 唉, 就像我第一章所说, 对于教材而言, 离公理越近越是显然的就更要清晰明白地写清楚.
- 为啥能记 $\lambda \vec v = \overrightarrow{B’C’}$
解: 根据之前所说, 过 $B’$ 点可以做唯一一条直线与 BC 平行, 并且可以在该直线上选择一点 $C’’$ 使得 $C, C’’$ 位于 AB 同一侧. 之后可以在射线 $BC’’$ 上选择一点 $C’$ 使得 $BC’$ 长度是 $BC \lambda$ 倍, 根据向量方向定义可证 $\overrightarrow{BC’}, \overrightarrow{BC}$ 方向相同. 即 $\overrightarrow{BC’} = \lambda \overrightarrow{BC} = \lambda \vec v$.
命题 2.2.1 三角不等式, 略作补充. 同前文一样, 我们继续假设这里原文已经按照通常行为定义了线段长度比值, 即若线段 AB 是线段 CD 长度 a 倍, 则 AB/CD = a. 我们也假设原文也证明了三角形中任一边长线段长度不大于另外两边线段长度之和.
范数的定义, 令 $\vec v$ 表示我们选定的向量, 该向量的长度固定为单位长度. 则对于其他向量 $\vec u, \vert \vec u\vert $ 为向量 u 长度与向量 v 长度的比值.
三角不等式的证明, 如上已知 $\vec u, \vec v, \vec u + \vec v$ 构成一个三角形, 且 $\vec u + \vec v$ 线段长度不大于 $\vec u, \vec v$ 对应线段长度之和. 所以有 $\vert \vec u + \vec v\vert = \frac{\overline{\vec u + \vec v}}{\overline{\vec w}} \le \frac{\overline{\vec u} + \overline{\vec v}}{\overline{\vec w}} \le \vert \vec u\vert + \vert \vec v\vert $. 这里 $\overline{\vec u}$ 表示 $\vec u$ 对应线段的长度.
感觉这样定义麻烦了些, 索性直接把范数定义为向量对应线段的长度, 移除对单位向量 $\vec v$ 的需要.
定理 2.2.3, 略作补充
- 证明 $\vert \vec u + \vec{v_1}\vert ^2 + \vert \vec u - \vec{v_1}\vert ^2 = 2 \vert \vec u\vert ^2+2\vert \vec{v_1}\vert ^2$
证明: 由已知条件可知 $\exists \lambda, \vec{v_1} = \lambda \vec u$, 则代入计算即可得证.
2.2.4.zy1, $\forall a, b \in \mathbb{R}, \vert a + b\vert \ge \vert \vert a\vert - \vert b\vert \vert $
证明: 由 $\vert a + b\vert ^2 = a^2 + b^2 + 2ab, \vert \vert a\vert - \vert b\vert \vert ^2 = a^2 + b^2 - 2\vert a\vert \vert b\vert $ 易证.
2.2.4.zy2, $\vert f(\vec u, \vec v)\vert \le \vert \vec u\vert \vert \vec v\vert $
证明: 这个其实就是柯西-施瓦茨不等式, 但如下所示, 这时我们尚未证明 $f(\vec u, \vec v)$ 是内积更尚未证实 $\vert \vec u\vert $ 是 $f(\vec u, \vec v)$ 诱导范数, 所以不能直接使用.
由 $(\vert \vec u\vert - \vert \vec v\vert )^2 \le \vert \vec u + \vec v\vert ^2 \le (\vert \vec u\vert + \vert \vec v\vert )^2$ 一步步展开易证结论.
定理 2.2.4, 内积性质, 略作补充
- $\frac{m}{n} \le \lambda \lt \frac{m+1}{n}$
证明: 已知 $\forall n \in \mathbb{N}, \exists m \in \mathbb{Z}, m \le n \lambda \lt m + 1$ 得证.
- $\vert \vert \vec u + \vec v\vert ^2 - \vert \vec v\vert ^2\vert \le 3 \vert \vec u\vert ^2 + 2 \vert \vec u\vert \vert \vec v\vert $
证明: 我理解这里不能直接使用习题 2 第 5 题结论, 习题 2 第 5 题是在内积以及其对应诱导范数时成立, 但这时我们尚未证明 $f(\vec u, \vec v)$ 是内积更尚未证实 $\vert \vec u\vert $ 是 $f(\vec u, \vec v)$ 诱导范数.
$\vert \vert \vec u + \vec v\vert ^2 - \vert \vec v\vert ^2\vert = \vert \vert \vec u\vert ^2 + 2f(\vec u, \vec v)\vert \le \vert \vec u\vert ^2 + 2\vert f(\vec u, \vec v)\vert \le \vert \vec u\vert ^2 + 2\vert \vec u\vert \vert \vec v\vert $ 得证.
- $\vert f(\lambda \vec u, \vec v) - \lambda f(\vec u, \vec v)\vert \lt \epsilon$
证明: 由前文可知对于一个特定 $\vec u, \vec v; \forall n, \vert f(\lambda \vec u, \vec v) - \lambda f(\vec u, \vec v)\vert \le \frac{2}{n^2}\vert \vec u\vert ^2 + \frac{1}{n}\vert \vec u\vert \vert \vec v\vert + \frac{1}{n}\vert f(\vec u, \vec v)\vert $. 我本来想着就像陶 analysis 一样证 $\vert \vec u\vert ^2, \vert \vec u\vert \vert \vec v\vert , \vert f(\vec u, \vec v)\vert $ 这些都小于一个特定的上界来着. 后来意识没必要, 对应特定的 u, v 来说这些值是常数值, 因此 $\forall \epsilon$ 总可以找到一个足够大的 n 使得结论成立.
- 若抽象向量空间上的范数满足平行四边形法则，则一定存在内积诱导出该范数
如原文所示, 我们整个证明都依赖着平行四边形法则, 若某个范数定义满足平行四边形法则, 我们可以依此像原文一样定义 $f(u, v)$ 并可证 f(u, v) 是个内积.
定理 2.2.6. 余弦定理. 注意这里的夹角定义是中学阶段所学通常的角定义. 可以看到其与 A.3.9 定义的夹角性质是一致的. 这里要理清哪些是抽象的欧氏空间具有的概念与性质, 哪些是具体的几何空间具有的概念与性质, 以及它们是如何对应起来的.
三维欧氏空间 $\mathbb{E}^3$ 与之前通过几何定义的欧氏空间都是 A.3 欧氏空间的实例化对象. 并且可以看到几何定义的欧氏空间与$\mathbb{E}^3$是同构的.
