8.3 采用高斯引理对二次互反律的证明
利用几何图形证明公式 (8.19) 有意思. 这里对角线对应着 $y = \frac{q}{p}x, \left \lfloor \frac{iq}{p} \right \rfloor$ 为点 $(i, \frac{iq}{p})$ 作垂直 x 轴的直线上包含的整点数. 所以 $\sum_i \frac{iq}{p}$ 就是下面三角形内包含的整点数.
8.25.zy1, p,q 为奇素数. $\left(\frac{p}{q}\right) = 1$ 当且仅当 $\exists x \in (0, q), p \equiv x^2 \mod q$
证明: 在这个证明时要分清自然数, 以及同余类. $\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{p \mod q}{q}\right)$, p 是自然数, $p \mod q$ 是同余类. 令 g 为模 q 的原根, 则 $p \mod q = g^k, \left(\frac{p \mod q}{q}\right) = (-1)^k$, 这里 $(-1)^k = 1, \exists k’, k = 2k’$. 即 $p \mod q = g^{2k’}, p \mod q = (g^{k’})^{2}$, 令 $x \mod q = g^{k’}$, 可得结论.
若已知 $\exists x \in (0, q), p \equiv x^2 \mod q$, 即 $p \mod q = (x \mod q)^2$. $\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{p \mod q}{q}\right) = \left(\frac{x \mod q}{q}\right)^2 = 1$.
命题 8.25, 略作补充
- 假设 x 奇数. 为啥可以?
解: 首先易证 $\forall x, x \mod q = x - q \mod q$, 即 $x^2 \equiv (x-q)^2 \equiv (q-x)^2 \mod q$. 因此若 $\exists x \in (0, q), p \equiv x^2 \mod q$, 则此时 $p \equiv (q-x)^2 \mod q$. 即对于 p 有 x 满足要求, 就有 q-x 都满足要求, 而 x, q-x 总是一个奇数, 一个偶数. 所以总能选择一个奇数 x.
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$p \equiv x^2 \mod q, p \equiv x^2 \mod 4$ 结合 4.8(3) 可得 $p \equiv x^2 \mod 4q$.
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原文 $\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{-1}{q}\right)$
解: 首先根据 8.18 可知 $\left(\frac{-1}{q}\right) = (-1)^\frac{q-1}{2}$.
若 $g \equiv 1 \mod 4$, 此时由二次互反律可知 $\left(\frac{p}{q}\right) = 1 = \left(\frac{-1}{q}\right)$.
若 $g \equiv 3 \mod 4$, 此时由二次互反律可知 $\left(\frac{p}{q}\right) = -1$, 此时 $\left(\frac{-1}{q}\right)$ 也恰好为 -1. 所以得证.
P.S. 接下来我还被 $g \equiv 2 \mod 4$ 情况困了半天才意识到, g 是奇数, 不可能有这一情况…
