7.21.zy1 置换群中奇置换, 偶置换个数一致.
证明: 令置换群所有奇置换组成的集合记为 $B_n$, 定义映射 $H(f) = f(1,2), f \in A_n$, 这里 f(1,2) 为置换 f 与对换 (1, 2) 的复合. 由 7.15.zy2 可知此时 $H(f) \in B_n$. 若对于 $f_1, f_2 \in A_n; g_1=H(f_1), g_2=H(f_2)$, 若 $g_1 = g_2$ 则易证 $f_1 = f_2$; 即 H 是单射. $\forall g \in B_n, f = g(1,2) \in A_n, H(f) = g$, 即 H 是满射. 所以 $A_n$ 与 $B_n$ 具有相同的阶.
接着 7.11.zy1, 继续探讨下共轭的一些性质.
7.22.zy1, 若 H 是 G 的正规子群, 则 H 包含 G 的一些共轭类. 即不会出现 G 中一个共轭类, 其元素仅有一部分在 H 中.
证明: 假设 G 中某个共轭类 $G’, \exists g_1, g_2 \in G’, g_1 \in H, g_2 \notin H$. 因为 $H \triangleleft G, \forall g, gg_1g^{-1}\in H$, 考虑到 $g_1, g_2$ 共轭, 所以 $\exists g, g_2 = gg_1g^{-1}, g_2 \in H$.
P.S. G 中若干个共轭类的并集并不一定是 G 的子群; 否则所有的群都不会是单群了.
P.S $H \triangleleft G$, 此时 H 包含 G 的一些共轭类, 同时共轭关系在 H 中又是一个等价关系. $\forall k, l \in H$, 若 k, l 在 H 中共轭, 易证 k, l 一定在 G 中共轭. 反之对于 H 中的 k, l, 若 k, l 在 G 中共轭, 则 k,l 在 H 中不一定共轭; 原因是 k, l 在 G 中共轭, 则 $\exists \sigma \in G, k = \sigma l \sigma^{-1}$, 此时 $\sigma$ 不一定位于 H 中. 这意味着 H 的共轭等价类将会是其从 G 中继承下来共轭类的一个分拆.
定理 7.22, 略作补充
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对于 $\forall g_1, g_2 \in Y, g_1 = f_1 (12345) f_1^{-1}, g_2 = f_2 (12345) f_2^{-1}, \exists h = f_2 f_1^{-1}$ 使得 $g_2 = h g_1 h^{-1}$, 即 Y 是 $A_5$ 中共轭类.
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证明映射 $h(\tau) = (12)\tau (12)$ 是定义在 $Y \to Z$ 上的双射.
证明: $\forall \tau \in Y, \exists \sigma, \tau = \sigma(12345)\sigma^{-1}, h(\tau) = (12)\sigma(12345)\sigma^{-1}(12) = (12)\sigma(12345)((12)\sigma)^{-1}$. 即 $h(\tau)\in Z$. 并且 $\forall y \in Z, y = \sigma (12345) \sigma^{-1}$, 令 $x = (12)\sigma(12345)((12)\sigma)^{-1}$, 此时 $h(x) = y$, 即 h 是满射.
令 $\sigma = h(\tau) = (12) \tau (12)$, 则 $\tau = (12) \sigma (12)$, 所以易证 h 是单射.
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$X_3$ 要么是 $A_5$ 中共轭类, 要么… 这句话让我有点迷惑, $A_5$ 就这么点元素, 我们完全可以把 $A_5$ 中所有元素都列举出来, 这样 $X_3$ 是否是 $A_5$ 共轭类不就一眼明了么, 为啥还要要么/要么.. 包括这里的若 $Y \cap Z = \emptyset$, 不也是明显的么. 我只能理解为原文是列举了这种思想. 这里若 $Y \cap Z = \emptyset$ 则意味着断言 (2) 中要么 $X_3 = Y \cup Z$ 这一条成立.
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若 $Y \cap Z \ne \emptyset$, 这里补齐下证明.
解: 此时意味着 $\exists \sigma, \sigma’, \sigma (12345) \sigma^{-1} = \sigma’ (12345) \sigma’^{-1}$, 则:
\[(12345) = \sigma^{-1} \sigma (12345) \sigma^{-1} \sigma = \sigma^{-1} \sigma' (12345) \sigma'^{-1} \sigma = \sigma^{-1} \sigma' (12345) (\sigma^{-1} \sigma')^{-1}\]$\tau = \sigma^{-1} \sigma’$, 即 $(12345) \in Y$; 考虑到 $(12345) = (12)(12)(12345)(12)(12), (12345) \in Z$, 结合 Y, Z 是 $A_5$ 中共轭类, 易证 $X_3 = Y = Z$.
P.S. 定理 7.24 应该只是为了展示, 不是为了让我们证明吧==
