定理 5.16, 韦达定理, 这里证明一下 (2)
证明: 只要我们能证明 $\prod_{i=1}^n(x - x_i)$ 中 $x^{n-k}$ 的系数是 $(-1)^k \sum_{1 \le i_1 \lt i_2 \lt \cdots \lt i_k \le n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}$ 即可. 即:
\[\begin{align} \prod_{i=1}^n(x - x_i) = x^n &+ ((-1)^1\sum_{1 \le i_1 \le n}x_{i_1})x^{n-1} \\ &+ ((-1)^2\sum_{1 \le i_1 \lt i_2 \le n}x_{i_1}x_{i_2})x^{n-2} + \cdots \\ &+ ((-1)^{n-1}\sum_{1 \le i_1 \lt \cdots \lt i_{n-1} \le n}x_{i_1}\cdots x_{i_{n-1}})x \\ &+ (-1)^n x_{i_1}\cdots x_{i_n} \end{align}\]这里使用归纳法, 首先易证 n = 1 时命题成立. 现在证 n+1 时情况:
\[\begin{align} \prod_{i=1}^{n+1}(x - x_i) &= (\prod_{i=1}^n(x - x_i))(x - x_{n+1}) \\ &= x(x^n + \cdots + (-1)^n x_{i_1}\cdots x_{i_n}) - x_{n+1}(x^n + \cdots + (-1)^n x_{i_1}\cdots x_{i_n}) \\ &= x^{n+1} + (-1)^1(\sum_{1 \le i_1 \le n}x_{i_1} + x_{n+1})x^n \\ &+ (-1)^2(\sum_{1 \le i_1 \lt i_2 \le n}x_{i_1}x_{i_2} + (\sum_{1 \le i_1 \le n}x_{i_1})x_{n+1})x^{n-1} + \cdots \\ &+ (-1)^{n+1} x_{i_1}\cdots x_{i_n}x_{i_{n+1}} \end{align}\]易求得 $\sum_{1 \le i_1 \lt i_2 \le n}x_{i_1}x_{i_2} + (\sum_{1 \le i_1 \le n}x_{i_1})x_{n+1} = \sum_{1 \le i_1 \lt i_2 \le n+1}x_{i_1}x_{i_2}$.
命题 5.18, $a \in \mathbb{F}_p$ 是多项式 $x^p - x$ 的根, 意味着 $[a]^p - [a] = [0]$, 这里 [a], [0] 是 $\mathbb{F}_p$ 的同余类, 不是普通的自然数. 由费马小定理可知 $\forall a \in (0, p), a^p \equiv a \mod p$, 即 $[a^p], [a]$ 是同一个元素, 即 $[a]^p = [a]$, 所以说 [a] 是多项式的解.
5.21.zy1, 同余方程 $ax \equiv b \mod m$ 有解当且仅当 $(a, m)\mid b$; 这里 a, x, b, m 均为集合 F[x] 中元素.
证明: 参见命题 4.9, 定理 5.5;
定理 5.21, 这里补充下缺失的证明.
- 求证乘法运算封闭性 $\forall a, b \in F[x]/m(x)F[x], ab \in F[x]/m(x)F[x]$.
证明: 这里若 $\deg(ab) \lt \deg(m)$, 则由定义可得 ab 位于集合中. 考虑 $\deg(ab) \ge \deg(m)$, 由 5.3 带余除法可得 $ab = mh + r, \deg(r) \lt \deg(m), ab \equiv r \mod m$, 即 [ab] 与 [r] 是同一元素, 所以 ab 此时也位于集合中.
- 求证单位群如原文所示.
证明: 若集合 F[x]/m(x)F[x] 中元素 a 可逆, 意味着存在元素 b, $ab \equiv 1 \mod m$, 由 5.21.zy1 可知此时 (a, m) = 1.
再证 $\deg a \lt \deg m$, 设 $\deg a \ge \deg m$, 则根据定理 5.3 $a = mh + r, \deg r \lt \deg m$, 由 (a, m) = 1 易证此时 (r, m)=1; 即 $r \in (F[x]/m(x)F[x])^{\times}$. 由上可知在集合 F[x]/m(x)F[x] 中 [a], [r] 为同一元素.
P.S. 当 m(x) 不可约时, $(F[x]/m(x)F[x])^{\times} = F[x]/m(x)F[x] - {[0]}$. 此时 F[x]/m(x)F[x] 是域.
- 求证: $\mathbb{F}_p[x]/m(x)\mathbb{F}_p[x]$ 包含 $p^n$ 的元素.
解: $\mathbb{F}_p[x]/m(x)\mathbb{F}_p[x]$ 中元素都可以写为 $a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x+a_0$ 形式. 这里 $a_i \in \mathbb{F}_p$, 可以取 [0], [1], 或 [p-1] 共 p 个选择. 所以$\mathbb{F}_p[x]/m(x)\mathbb{F}_p[x]$ 中元素个数为 $p * p * \cdots * p = p ^n$.
