本文章介绍了对富比尼定理的理解以及其用处, 下一篇文章会介绍富比尼定理的证明.
19.5 原文提到 $\int_\Omega f = \int_{R^2} f \chi_\Omega$, 但并未做任何证明. 这里我们补充下这个小结论.
19.5.zy1, f 在 $\Omega$ 上非负可测, 现有 $\Omega_1, \Omega_2$ 可测, $\Omega_1 \cup \Omega_2 = \Omega, \Omega_1 \cap \Omega_2 = \emptyset$. 则 $\int_{\Omega_1} f + \int_{\Omega_2} f = \int_{\Omega} f$.
证明:
\[\begin{align} \int_{\Omega_1} f &= \int_{\Omega} f \chi_{\Omega_1} \\ \int_{\Omega_2} f &= \int_{\Omega} f \chi_{\Omega_2} \\ \int_{\Omega_1} f + \int_{\Omega_2} f &= \int_{\Omega} (f \chi_{\Omega_1} + f \chi_{\Omega_2}) \end{align}\]而 $f \chi_{\Omega_1} + f \chi_{\Omega_2}$ 恰好就是 f.
19.5.zy2 若 f 在 $\Omega$ 上绝对可积, $\Omega’ \subseteq \Omega$ 且可测. 则 f 在 $\Omega’$ 也可积, 且 $\int_\Omega’ f = \int_\Omega f \chi_{\Omega’}$.
证明: $\int_\Omega’ |f| = \int_\Omega |f| \chi_{\Omega’} \le \int_\Omega |f|$, 即 $\int_\Omega’ |f|$ 为有限值, 所以 f 在 $\Omega’$ 上绝对可积. $\int_\Omega |f \chi_{\Omega’}| = \int_\Omega |f|\chi_{\Omega’} \le \int_\Omega |f|$, 所以 $f \chi_{\Omega’}$ 在 $\Omega$ 上也绝对可积. 这里 $(f \chi_{\Omega’})^+$ 非负可测, 应用 19.5.zy1 可得结论:
\[\begin{align} \int_\Omega f \chi_{\Omega'} &= \int_\Omega (f \chi_{\Omega'})^+ - \int_\Omega (f \chi_{\Omega'})^- \\ \int_\Omega (f \chi_{\Omega'})^+ &= \int_{\Omega'} (f \chi_{\Omega'})^+ + \int_{\Omega \setminus \Omega'} (f \chi_{\Omega'})^+ \end{align}\]这里 $(f \chi_{\Omega’})^+$ 在定义域 $\Omega \setminus \Omega’$ 取常值 0, 所以 $\int_{\Omega \setminus \Omega’} (f \chi_{\Omega’})^+=0$. 即 $\int_\Omega (f \chi_{\Omega’})^+ = \int_{\Omega’} (f \chi_{\Omega’})^+ $. 同理 $\int_\Omega (f \chi_{\Omega’})^- = \int_{\Omega’} (f \chi_{\Omega’})^-$. 即 $\int_\Omega f \chi_{\Omega’} = \int_{\Omega’} (f \chi_{\Omega’})^+ - \int_{\Omega’} (f \chi_{\Omega’})^- = \int_{\Omega’} (f \chi_{\Omega’}) = \int_{\Omega’} f$.
19.5.zy3, 根据 19.5.zy2 结合 19.5.zy1, 可知当 f 绝对可积时, 并不一定非负. 19.5.zy1 也是成立的.
19.5.1.zy1, $\Omega$ 可测集, 且 $m(\Omega) = 0$, f 为定义在 $\Omega$ 上的非负可测函数. 求证 $\int_\Omega f = 0$.
证明: 根据定义 19.2.2, $\int_\Omega f = \sup{\int_{\Omega} s}$, 这里 s 为非负简单函数且从下方控制 f. 根据引理 19.1.9 可知 $\forall s, \int_{\Omega} s = 0$, 所以 $\int_\Omega f = 0$.
19.5.1.zy2. 接着 19.5.1.zy1, 这里 f 为绝对可积函数时, 19.5.1.zy1 也仍然成立!
证明: 根据习题 19.3.1 可知 $|\int_\Omega f| \le \int_\Omega |f| = 0$ 可证.
定理 19.5.1, 再看富比尼定理的证明之前, 首先了解下这个定理讲述了什么.
- $\int_R F(x)dx$ 的理解.
首先要知道 F(x) 并不是在整个定义域 R 上都有定义的, 这里其实是存在可测集 B, m(B) = 0, 当 x 在 B 中时, f(x, y) 关于 y 并不是绝对可积的, 即此时 F(x) 是没有定义的. 所以 $\int_R F(x)dx$ 最正确的写法应该是 $\int_{R \setminus B} F(x)dx$, 这里 f 在 $R \setminus B$ 上可测且绝对可积.
定义 H(x), 其在 x 属于 B 时取任意值; 在 x 为 $R \setminus B$ 时取 F(x). 可证 H(x) 在 R 上可测且绝对可积, 且 $\int_R H = \int_{R \setminus B} F$.
证明: 根据引理 18.5.3, 对于任意开盒子 O, $H^{-1}(O) = F^{-1}(O) \cup B’, B’ = {x \in B, H(x) \in O}$, 这里 $B’ \subseteq B, m^*(B’) \le m^*(B) = 0$, 即 $B’$ 可测, 所以 $H^{-1}(O)$ 可测, 即 H 为可测函数.
考虑 $\int_R |H| = \int_{R \setminus B} |H| + \int_B |H|$, 根据 19.5.1.zy1 可知 $\int_B |H| = 0$. $\int_{R \setminus B} |H| = \int_{R \setminus B} |F|$ 为有限值, 所以 H 绝对可积. 根据 19.5.zy3, 19.5.1.zy2 可知 $\int_R H = \int_{R\setminus B}H + \int_B H = \int_{R\setminus B}H = \int_{R\setminus B}F$.
所以原文 $\int_R F(x)dx$ 的说法倒也合理, 其就是指 $\int_R H$.
- $F(x) = \int_R f(x,y) dy$, 这里 $ \int_R f(x,y) dy$ 仍然是指勒贝格积分, 不是指黎曼积分. 因为我们仅知道 f(x,y) 此时关于 y 绝对可积, 绝对可积并不意味着黎曼可积.
定理 19.5.1, 在了解富比尼定理讲了什么之后, 再看看该定理有什么作用. 我最好奇的是, 在我们知道 f 在闭盒子 $B = \prod_{i=1}^2[a_i, b_i]$ 上绝对可积之后, 我们能否用 $\int_{a_2}^{b_2}(\int_{a_1}^{b_1} f(x, y)dx)dy$ 这种黎曼积分的求法来算 f 在 B 上的勒贝格积分.
- 我第一开始是想着基于富比尼定理证明这样一个小结论: 已知 f 在 $\Omega \subseteq R^2$ 上绝对可积, $\Omega_x = {x \in R, \exists y, (x,y) \in \Omega}$ 为 $\Omega$ 在 x 轴上投影, $\Omega_y$ 为 $\Omega$ 在 y 轴投影; 证明 $\int_\Omega f = \int_{\Omega_y}(\int_{\Omega_x} f(x,y) dx)dy$.
我面对的第一个问题是证明 $\Omega_x$, $\Omega_y$ 可测性; 我真的一度以为这俩是可测的是很直观的事情. 但其实这俩并不一定可测. 举个反例: 令 A 为 x 轴上不可测集, $A \times {0} \subseteq R^2, m^*(A \times {0}) = 0$, 所以 $A \times {0}$ 为 $R^2$ 可测集, 此时 A 为该可测集在 x 轴投影…
或者更一般的例子, 令开盒子 $B = (x_1, y_1) \times (x_2, y_2)$, B 在 x 轴投影为 $(x_1, x_2), A \nsubseteq (x_1, x_2)$. 则 $A \times {0} \cup B$ 为 $R^2$ 可测集, 其在 x 轴投影为 $C= A \cup (x_1, x_2)$ 是不可测集合, 假设 C 可测, $A = C \setminus (x_1, x_2)$ 也可测了.
- 所以我接下来想探究的是: 已知 f 在 $\Omega \subseteq R^2$ 上绝对可积, $\Omega_x$ 为 $\Omega$ 在 x 轴投影, $\Omega_y$ 为 $\Omega$ 在 y 轴投影, $\Omega_x, \Omega_y$ 可测. $\int_\Omega f$ 与 $\int_{\Omega_y}(\int_{\Omega_x} f(x,y) dx)dy$ 有什么关系?
首先要明白这里 $\Omega \subseteq \Omega_x \times \Omega_y$, $\Omega = \Omega_x \times \Omega_y$ 并不一定成立! 经过一系列计算可得
\[\int_\Omega f = \int_{\Omega_x}(\int_{\Omega_y} f(x,y) \chi_{\Omega}(x,y) dy)dx\]计算: $\int_\Omega f = \int_{R^2}f\chi_\Omega$, 根据富比尼定理:
\[\begin{align} \int_{R^2}f\chi_\Omega &= \int_R(\int_R f(x,y) \chi_{\Omega}(x,y) dy)dx \\ &= \int_{\Omega_x}(\int_R f(x,y) \chi_{\Omega}(x,y) dy)dx + \int_{R \setminus \Omega_x}(\int_R f(x,y) \chi_{\Omega}(x,y) dy)dx \quad L1 \\ &= \int_{\Omega_x}(\int_R f(x,y) \chi_{\Omega}(x,y) dy)dx \\ &= \int_{\Omega_x}(\int_{\Omega_y} f(x,y) \chi_{\Omega}(x,y) dy + \int_{R \setminus \Omega_y} f(x,y) \chi_{\Omega}(x,y) dy)dx \quad L2 \\ &= \int_{\Omega_x}(\int_{\Omega_y} f(x,y) \chi_{\Omega}(x,y) dy)dx \end{align}\]L1, L2 的解释: 对于 $\forall x \in R \setminus \Omega_x, f(x,y) \chi_{\Omega}(x,y) = 0$,
这里对于一个特定的 x, $\Omega_y$ 又可以分为 $\Omega_{y_1} = {y \in \Omega_y, (x,y) \in \Omega}, \Omega_{y_2} = \Omega_y \setminus \Omega_{y_1}$. 这里 $\Omega_{y_1}$ 是否可测?
其实也是不一定. 举个反例: 令 A 为 y 轴上不可测集, $A \times {33}$, $B = (x_1, y_1) \times (x_2, y_2), A \subseteq (y_1, y_2), x_1 \lt x_2 \lt 33$. 则 $A \cup B$ 可测, 其在 x 轴, y 轴投影也可测. 则 x = 33 时, $\Omega_{y_1} = A $.
- 根据上面计算, 可得结论: 可以用 $\int_{a_2}^{b_2}(\int_{a_1}^{b_1} f(x, y)dx)dy$ 这种黎曼积分的求法来算 f 在 B 上的勒贝格积分.
