陶哲轩实分析: 隐函数定理

Posted by w@hidva.com on May 13, 2024

这一篇文章介绍陶哲轩 analysis ii, 6.8 节隐函数定理读书笔记.

定理 17.8.1, 我一开始完全不了解隐函数定理的意义, 解决了哪些问题?! 这里介绍下背景说明.

隐函数, 显函数; 显函数是形如 y=f(x) 这种具有明确表示的函数; 隐函数则是由方程或方程组确定的函数关系, 比如 $f(x, y) = x^2 + y = 33$, 此时 y 是 x 的一个函数, 即给定一个 x, 有唯一对应的 y, 而且这时也很容易写成 y = f(x) 的形式! 但有些方程则没有那么简单, 有些方程则仅在某一段区域内才能将 y 表示成 x 的函数, 比如 $f(x, y) = x^2 + y ^ 2 = 33$. 即利用方程定义函数时, 有两个问题: 未必能得到解析表达, 函数可能只在局部有定义.

超曲面, 图; 原文中超曲面就类似我们所说的方程; 图就类似于一个具有明确定义的函数. 未必能得到解析表达, 就类似于某些超曲面虽然对应着一个图, 但我们无法写出 y=f(x) 这种具有明确表示的函数. 函数可能只在局部有定义, 翻译过来就是, 某些超曲面可能仅其一个子集才对应着一个图.

定理 17.8.1.zy1, 隐函数定理. 这里我重新组织下描述. 已知: 开集 $E \subseteq R^n, f: E \to R$, f 连续可微, $\exists y=(y_1, \cdots, y_{n-1}, y_n), f(y) = 0, \frac{\partial f}{\partial x_n}(y) \neq 0$, 则:

  • 存在开集 $U \subseteq R^{n-1}, y’ = (y_1, \cdots, y_{n-1}), y’ \in U, \exists g: U \to R, g(y’) = y^n, g’(y’)$ 存在.
  • 存在开集 $V \subseteq R^n, y \in V, {x\in V, f(x) = 0} = {(y, g(y)), y \in U}$.

所以从隐函数定理中我们可以看到在满足一定条件之后, 超曲面 ${f(x) = 0, x\in E}$ 至少有一小部分是一个函数的图.


定理 17.8.1, 隐函数定理的证明, 这里对原文略作补充.

  • 在假设定理 17.8.1.zy1 成立的前提下, 证明 $\frac{\partial g}{\partial x_j}(y’) = -\frac{\partial f}{\partial x_j}(y)/\frac{\partial f}{\partial x_n}(y)$.

证明: 令 $h(x) = (x, g(x)): R^{n-1} \to R^n, h = (h_1, \cdots, h_{n-1}, h_n)$, 此时易知 $h_i(x) = x_i, R^{n-1} \to R, 1 \le i \le n - 1; h_n(x) = g(x), R^{n-1} \to R$, 结合 17.2.2.zy1 可知若 g 在 x 点可微, 则 h 也在 x 点可微, 且 $h’(x) = (I_1, \cdots, I_{n-1}, g’(x))$, $I_i: R^{n-1} \to R$ 为单位映射 I 的第 i 的分量.

已知 g, h 在 y’ 处可微, f 在 h(y’), 即 y 处可微; 所以 $f \circ g$ 在 y’ 处可微. 又因为 $f \circ g(x) = (x, g(x)) = 0, \forall x \in U$, 所以 $f’(h(y’))h’(y’) = 0$.

以 $e_1 = (1, 0, 0, 0, \cdots, 0)$ 为例:

\[\begin{align} 0 &= f'(h(y'))h'(y')(e_1) \\ &= f'(h(y'))(h'(y')(e_1)) \\ &= f'(h(y'))(1, 0, \cdots, 0, g'(y')(e_1)) \\ &= f'(h(y'))((1, 0, \cdots, 0, 0) + g'(y')(e_1)*(0, 0, \cdots, 1)) \\ &= f'(h(y'))(e_1) + g'(y')(e_1) * f'(h(y'))(e_n) \end{align}\]

这样自然可以推出 $g’(y’)(e_1) = -\frac{f’(h(y’))(e_1)}{f’(h(y’))(e_n)}$, 即 $\frac{\partial g}{\partial x_1}(y’) = -\frac{\partial f}{\partial x_1}(y)/\frac{\partial f}{\partial x_n}(y)$.

  • F 是连续可微的. 这同样可以利用 17.2.2.zy1 来证明, 各分量可微等同于函数可微.

  • U 是开集, 证明.

这个的证明我一开始想多了… 其实很简单. 欲证 U 是开集, 即 $\forall x \in U, \exists r, B(x,r) \subseteq U$ 即可, 对于 x 而言, 可知存在 $(x_1, \cdots, x_{n-1}, 0)\in W$, W 是个开集, 即 $\exists r, B((x_1, \cdots, x_{n-1}, 0), r) \subseteq W$. 易证 $\forall y \in B(x, r), (y_1, \cdots, y_{n-1}, 0) \in W$, 因为 $d((y_1, \cdots, y_{n-1}, 0), (x_1, \cdots, x_{n-1}, 0)) = d((y_1, \cdots, y_{n-1}), (x_1, \cdots, x_{n-1})) = r$. 所以 $B(x, r) \subseteq U$.

  • 证明 ${(y, g(y)), y \in U} \subseteq {x\in V, f(x) = 0}$.

对于$(x_1, \cdots, x_{n-1}) \in U, g(x_1, \cdots, x_{n-1}) = h_n(x_1, \cdots, x_{n-1}, 0)$, 这里

\[(x_1, \cdots, x_{n-1}, 0) \in W, F^{-1}(x_1, \cdots, x_{n-1}, 0) = (x_1, \cdots, x_{n-1}, h_n(x_1, \cdots, x_{n-1}, 0))\]

即存在 $(x_1’, \cdots, x_{n-1}’, x_n’) \in V, F(x_1’, \cdots, x_{n-1}’, x_n’) = (x_1, \cdots, x_{n-1}, 0)$

由于 F 是个双射, 所以 $(x_1’, \cdots, x_{n-1}’, x_n’) = (x_1, \cdots, x_{n-1}, h_n(x_1, \cdots, x_{n-1}, 0))$. 即

\[\begin{align} & F(x_1, \cdots, x_{n-1}, h_n(x_1, \cdots, x_{n-1}, 0)) \\ &= (x_1, \cdots, x_{n-1}, 0) \\ &= (x_1, \cdots, x_{n-1}, f(x_1, \cdots, x_{n-1}, h_n(x_1, \cdots, x_{n-1}, 0))) \end{align}\]

所以 $f(x_1, \cdots, x_{n-1}, h_n(x_1, \cdots, x_{n-1}, 0))=0$.


梯度 $\nabla{f}$ 在某个点 $x_0$ 处的确不存在. 这里翻译我觉得有问题, 陶原文是 if $\nabla{f}$ does vanish at some point $x_0$, 结合后面举例我理解应该是指 $\nabla{f}$ 在 $x_0$ 点全为 0.